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1[전기기사 필기] 17년 3회차

점전하에 의한 전위 함수가  $V = \dfrac{1}{x^2+y^2}[V]$ 일 때 gradV는?

 $-\dfrac{ix+jy}{(x^2+y^2)^2}$

 $-\dfrac{i2x+j2y}{(x^2+y^2)^2}$

 $-\dfrac{i2x}{(x^2+y^2)^2}$

 $-\dfrac{j2y}{(x^2+y^2)^2}$

해설

기울기는 성분별 편미분으로 직접 구한다.
 $V=\dfrac{1}{x^2+y^2}=(x^2+y^2)^{-1}$ 
 $\dfrac{\partial V}{\partial x}=-(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x=-\dfrac{2x}{(x^2+y^2)^2}$ 
같은 방법으로  $\dfrac{\partial V}{\partial y}=-\dfrac{2y}{(x^2+y^2)^2}$ 
따라서
 $\nabla V=\dfrac{\partial V}{\partial x}i+\dfrac{\partial V}{\partial y}j=-\dfrac{i2x+j2y}{(x^2+y^2)^2}$ 
합성함수 미분에서 나오는 계수 2가 살아 있어야 하고,  $x$ 와  $y$ 는 대칭이므로 두 성분이 모두 남는다.

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