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1[전기기사 필기] 18년 1회차

진공 중에 균일하게 대전된 반지름 a[m]인 선전하 밀도 λ_l[C/m]의 원환이 있을 때, 그 중심으로부터 중심축상 x[m]의 거리에 있는 점의 전계의 세기는 몇 V/m 인가?

 $\dfrac{a\lambda_1x}{2\epsilon_0(a^2+x^2)^{\dfrac{3}{2}}}$

 $\dfrac{a\lambda_lx}{\epsilon_0(a^2+x^2)^{\dfrac{3}{2}}}$

 $\dfrac{\lambda_1 x}{2\epsilon_0(a^2+x^2)}$

 $\dfrac{\lambda_lx}{\epsilon_0(a^2+x^2)}$

해설

반지름  $a$ 인 원환 위의 미소 전하  $dQ$ 가 축상의 점  $x$ 에 만드는 전계의 크기는  $dE=\dfrac{dQ}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ ,  $R=\sqrt{a^2+x^2}$ 이다.
원환을 한 바퀴 돌면 축에 수직인 성분은 서로 상쇄되고 축방향 성분만 남는다. 축방향 성분은  $\cos\theta=\dfrac{x}{R}$ 를 곱한 것이므로
 $E=\oint\dfrac{dQ}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\cdot\dfrac{x}{R}=\dfrac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}$ 
총 전하는 선전하 밀도에 원환 둘레를 곱한  $Q=\lambda_l\cdot 2\pi a$ 이므로
 $E=\dfrac{2\pi a\lambda_l x}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}=\dfrac{a\lambda_l x}{2\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}$  [V/m]
분모의 지수가  $\dfrac{3}{2}$ 인 것은 거리 제곱  $R^2$ 에 축방향 성분  $\dfrac{x}{R}$ 가 곱해져  $R^3$ 이 되었기 때문이다.

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