진공 중 반지름이 a(m)인 무한길이의 원통 도체 2개가 간격 d(m)… | [전기기사 필기] 22년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[전기기사 필기] 22년 1회차

진공 중 반지름이 a(m)인 무한길이의 원통 도체 2개가 간격 d(m)로 평행하게 배치되어 있다. 두 도체 사이의 정전용량(C)을 나타낸 것으로 옳은 것은?

 $\pi\epsilon_0\ln\dfrac{d-a}{a}$

 $\dfrac{\pi\epsilon_0}{\ln\dfrac{d-a}{a}}$

 $\pi\epsilon_0\ln\dfrac{a}{d-a}$

 $\dfrac{\pi\epsilon_0}{\ln\dfrac{a}{d-a}}$

해설

두 도선에 단위 길이당  $+\lambda$  와  $-\lambda$  가 있다고 두고 전위차를 적분으로 구한다. 두 축을 잇는 직선 위에서 한쪽 축으로부터 거리  $x$  인 점의 전계는 두 도체가 만드는 성분이 같은 방향으로 더해져
 $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 x}+\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0(d-x)}$ 
이다. 한쪽 도체 표면  $x=a$  에서 다른 쪽 도체 표면  $x=d-a$  까지 적분하면
 $V=\int_a^{d-a}E\,dx=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left(\ln\dfrac{d-a}{a}+\ln\dfrac{d-a}{a}\right)=\dfrac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{d-a}{a}$ 
따라서 단위 길이당 정전용량은
 $C=\dfrac{\lambda}{V}=\dfrac{\pi\varepsilon_0}{\ln\dfrac{d-a}{a}}$ 
형태를 검산해 보면, 간격  $d$  가 커질수록 정전용량은 작아져야 하므로 로그는 분모에 와야 한다. 로그를 곱하는 형태는 간격이 넓어질수록 정전용량이 커지는 잘못된 거동을 준다. 또  $d\gg a$  이면  $d-a\fallingdotseq d$  이므로 흔히 쓰는 근사식  $C=\dfrac{\pi\varepsilon_0}{\ln\dfrac{d}{a}}$  가 된다.

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