진공 내 전위함수가 V = x2 + y2(V)로 주어졌을 때, 0≤x≤… | [전기기사 필기] 22년 1회차 기출문제 상세 페이지

공간에 저장된 정전에너지는 전계 에너지 밀도를 부피 적분해 얻는다. 먼저 전위에서 전계를 구한다.
$\mathbf{E}=-\nabla V=-\left(\dfrac{\partial V}{\partial x}\mathbf{a}_x+\dfrac{\partial V}{\partial y}\mathbf{a}_y\right)=-(2x\,\mathbf{a}_x+2y\,\mathbf{a}_y)$
$|\mathbf{E}|^{2}=4x^{2}+4y^{2}$
진공이므로 에너지 밀도는 $w=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0|\mathbf{E}|^{2}$ 이고, 주어진 단위 정육면체에서 적분하면
$W=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\int_0^{1}\!\!\int_0^{1}\!\!\int_0^{1}(4x^{2}+4y^{2})\,dx\,dy\,dz$
$\int_0^{1}4x^{2}dx=\dfrac{4}{3}$ 이고 나머지 두 변수의 적분 구간 길이가 1이므로 $x$ 항이 $\dfrac{4}{3}$, 대칭으로 $y$ 항도 $\dfrac{4}{3}$ 이다.
$W=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\times\left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}\varepsilon_0$ J