진공 내 전위함수가 V = x 2 + y 2 (V)로 주어졌을 때, 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1인 공간에 저장되는 정전에너지(J)는?

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1[전기기사 필기] 22년 1회차

진공 내 전위함수가 V = x² + y²(V)로 주어졌을 때, 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1인 공간에 저장되는 정전에너지(J)는?

 $\dfrac{4}{3}\epsilon_0$

 $\dfrac{2}{3}\epsilon_0$

 $4\epsilon_0$

 $2\epsilon_0$

해설

공간에 저장된 정전에너지는 전계 에너지 밀도를 부피 적분해 얻는다. 먼저 전위에서 전계를 구한다.
 $\mathbf{E}=-\nabla V=-\left(\dfrac{\partial V}{\partial x}\mathbf{a}_x+\dfrac{\partial V}{\partial y}\mathbf{a}_y\right)=-(2x\,\mathbf{a}_x+2y\,\mathbf{a}_y)$ 
 $|\mathbf{E}|^{2}=4x^{2}+4y^{2}$ 
진공이므로 에너지 밀도는  $w=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0|\mathbf{E}|^{2}$  이고, 주어진 단위 정육면체에서 적분하면
 $W=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\int_0^{1}\!\!\int_0^{1}\!\!\int_0^{1}(4x^{2}+4y^{2})\,dx\,dy\,dz$ 
 $\int_0^{1}4x^{2}dx=\dfrac{4}{3}$  이고 나머지 두 변수의 적분 구간 길이가 1이므로  $x$  항이  $\dfrac{4}{3}$ , 대칭으로  $y$  항도  $\dfrac{4}{3}$  이다.
 $W=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\times\left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}\varepsilon_0$  J

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