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1[전기기사 필기] 22년 2회차

다음의 상태방정식으로 표현되는 시스템의 상태천이 행렬은?
 $\begin{bmatrix}\dfrac{d}{dt}x_{1}\\[4pt]\dfrac{d}{dt}x_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-3&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}$

해설

그림의 상태방정식에서 계수행렬은  $A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -3 & -4\end{bmatrix}$ 이므로  $sI-A=\begin{bmatrix}s & -1\\ 3 & s+4\end{bmatrix}$ ,  $\det(sI-A)=s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3)$ 이다.
따라서  $(sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+3)}\begin{bmatrix}s+4 & 1\\ -3 & s\end{bmatrix}$ 이고, 상태천이행렬은 이것의 역라플라스 변환이다.
각 원소를 부분분수로 나누면  $\frac{s+4}{(s+1)(s+3)}\to 1.5e^{-t}-0.5e^{-3t}$ ,  $\frac{1}{(s+1)(s+3)}\to 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t}$ ,  $\frac{-3}{(s+1)(s+3)}\to -1.5e^{-t}+1.5e^{-3t}$ ,  $\frac{s}{(s+1)(s+3)}\to -0.5e^{-t}+1.5e^{-3t}$ 이다.
고유값이  $-1$ 과  $-3$ 이므로 지수항은  $e^{-t}$ 와  $e^{-3t}$ 뿐이며, 위 네 원소를 그대로 배열한 행렬이 답이다.

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