그림과 같이 선형 스프링으로 지지되는 피스톤-실린 더 장치 내부에 있는… | [공조냉동기계기사 필기] 16년 3회차 기출문제 상세 페이지

그림은 피스톤 위에 선형 스프링이 얹힌 실린더다. 기체를 아래에서 가열하면 피스톤이 올라가면서 스프링이 더 압축되므로, 스프링의 복원력이 커지는 만큼 기체 압력도 함께 커진다. 문제 조건대로 이 관계가 $P=aV$ 이면 P–V 선도에서 상태 1과 상태 2를 잇는 경로는 원점을 지나는 직선이 된다.
기체가 피스톤에 한 일은 경로 아래 면적, 즉 $W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$ 이다. $P=aV$ 를 넣으면 $W=\int_{V_1}^{V_2}aV\,dV=\frac{a}{2}\left(V_2^{2}-V_1^{2}\right)=\frac{a}{2}(V_2+V_1)(V_2-V_1)$ 이다.
여기서 $aV_1=P_1$, $aV_2=P_2$ 이므로 $W=\frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)$ 이다. 이는 두 평행한 변이 $P_1$, $P_2$ 이고 그 사이 간격이 $V_2-V_1$ 인 사다리꼴 면적과 같다.
$P_2V_2-P_1V_1$ 이나 $P_2V_2+P_1V_1$ 처럼 각 상태의 압력과 체적을 그대로 곱해 더하거나 뺀 식은 이 사다리꼴 면적이 되지 않으며, 체적의 합 $(V_2+V_1)$ 이 들어간 식은 밑변이 체적 변화량 $V_2-V_1$ 이 아니므로 면적 계산에서 나올 수 없다.