2차원 평면 유동장에서 어떤 이상 유체의 유속이 다음과 같이 주어질 때… | [가스기사 필기] 15년 3회차 기출문제 상세 페이지

1[가스기사 필기] 15년 3회차

2차원 평면 유동장에서 어떤 이상 유체의 유속이 다음과 같이 주어질 때, 이 유동장의 흐름함수(stream function, Ψ)에 대한 식으로 옳은 것은? (단, u, v는 각각 2차원 직각좌표계(x, y)상에서 x방향과 y방향의 속도를 나타내고 K는 상수이다.)

해설

그림의 속도장은  $u=\dfrac{-2Ky}{x^2+y^2}$ ,  $v=\dfrac{2Kx}{x^2+y^2}$  이다. 2차원 비압축성 유동의 흐름함수는  $u=\dfrac{\partial \Psi}{\partial y}$ ,  $v=-\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}$  로 정의된다.
 $\Psi=-K\ln(x^2+y^2)$  로 두고 확인하면  $\dfrac{\partial \Psi}{\partial y}=-K\cdot\dfrac{2y}{x^2+y^2}=\dfrac{-2Ky}{x^2+y^2}=u$  로 주어진  $u$ 와 정확히 같다.
또  $-\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}=-\left(-K\cdot\dfrac{2x}{x^2+y^2}\right)=\dfrac{2Kx}{x^2+y^2}=v$  로  $v$ 도 만족한다. 따라서 자연로그 형태  $\Psi=-K\ln(x^2+y^2)$  가 이 유동장의 흐름함수이다.
참고로  $\sqrt{x^2+y^2}$  꼴을 미분하면 분모가  $\sqrt{x^2+y^2}$  로 남아 주어진 속도식의 분모  $x^2+y^2$  와 맞지 않는다. 이 속도장은 원점을 중심으로 도는 자유와류(포텐셜 와류)에 해당한다.

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