어떤 방사성 동위원소의 반감기가 20일이다. 40일이 지난 후 남아 있는 원소의 분율 상세 페이지

40일이 지난 후 남아 있는 원소의 분율은 1/4이다.
반감기 $T_{1/2}$는 방사성 물질의 양이 처음의 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간이다. 경과 시간 t 동안 남는 분율은 다음 붕괴식으로 계산한다.
$\dfrac{N}{N_0}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$
먼저 40일이 반감기 몇 번에 해당하는지 구하면
$n=\dfrac{t}{T_{1/2}}=\dfrac{40\ \text{일}}{20\ \text{일}}=2$
즉 40일은 반감기가 정확히 2번 지난 시간이다.
반감기가 지날 때마다 양은 절반씩 되므로
$\dfrac{N}{N_0}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
단계별로 확인하면, 처음 양을 1이라 할 때 20일 후(1번째 반감기)
$1\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
40일 후(2번째 반감기)
$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
따라서 40일이 지난 후 남아 있는 원소의 분율은 $\dfrac{1}{4}$이다.
$\dfrac{1}{2}$은 반감기가 1번만 지난 20일 후의 값으로, 경과 시간(40일)을 반감기(20일)로 나누지 않고 그대로 「반으로 줄었다」고만 본 오류다. $\dfrac{1}{3}$은 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\dfrac{1}{3}$을 만족하는 정수 n이 없으므로 반감기 붕괴로는 나올 수 없는 값이며, 반감기를 「3등분」처럼 오해한 오류다. $\dfrac{1}{6}$은 남는 양을 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$이나 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}$ 등으로 잘못 조합한 값으로, 지수적 감소식과 무관하다.
본 문항은 「위험물안전관리법령」의 규정 적용 문제가 아니라 필기 시험과목 중 일반화학(물질의 물리·화학적 성질) 영역의 계산 문제이다. 방사성 붕괴는 반감기 붕괴식으로 판정하며, 남은 분율은 오직 「경과 시간 ÷ 반감기」의 지수로 결정된다.