단순회귀모형 Yi=α+βXi+ei(i=1,2,…,n)에서 잔차 의 성질… | 임상심리사1급 필기 13년 4회차 기출문제 상세 페이지

정답은 ㄱ, ㄴ이다. 최소제곱법으로 추정한 단순회귀모형의 잔차 $e_i = y_i - \hat{y}_i$는 잔차의 합이 0($\sum_{i=1}^{n} e_i = 0$)이고 설명변수와 잔차의 곱합이 0($\sum_{i=1}^{n} x_i e_i = 0$)이라는 두 성질을 가진다. 두 식은 잔차제곱합을 $\alpha$, $\beta$로 각각 편미분하여 0으로 놓은 정규방정식에서 곧바로 나온다.
반면 $\sum_{i=1}^{n} y_i e_i = 0$은 성립하지 않는다. $y_i = \hat{y}_i + e_i$이고 적합값과 잔차는 직교하므로 $\sum y_i e_i = \sum \hat{y}_i e_i + \sum e_i^2 = \sum e_i^2$가 되어, 잔차가 모두 0이 아닌 한 0이 될 수 없다. 0이 되는 것은 적합값과 잔차의 곱합($\sum \hat{y}_i e_i = 0$)이다.
※ 그림의 ㄱ은 $\sum y_i = 0$으로 인쇄되어 있으나, 이는 잔차의 성질을 묻는 문맥상 $\sum e_i = 0$(잔차의 합)의 오식으로 보아야 한다. 관측값 $y_i$의 합이 0이라는 것은 회귀 잔차의 성질이 아니므로, 공인 정답 ①은 오식을 바로잡은 식을 기준으로 성립한다.