벤젠과 톨루엔이 혼합된 시료를 길이 30\ \mathrm{cm}, 내경 상세 페이지

벤젠과 톨루엔이 혼합된 시료를 길이 $30\ \mathrm{cm}$, 내경 $3\ \mathrm{mm}$인 충진관이 장치된 기체크로마토그래피로 분석한 결과가 아래와 같을 때, 혼합 시료의 분리효율을 $99.7\ \%$로 증가시키는 데 필요한 충진관의 길이$\rm(cm)$는? (단, $\mathrm N$, $\mathrm H$, $\mathrm L$, $\mathrm W$, $\mathrm{R_s}$, $\mathrm{t_R}$은 각각 이론단수, 높이(HETP), 길이, 봉우리 너비, 분리계수, 머무름 시간을 의미하며, 문자 위 "$-$"(bar)는 평균값을, 하첨자 $\mathrm A$와 $\mathrm B$는 각각의 물질을 의미하며, 분리효율이 $99.7\ \%$가 되기 위한 $\mathrm{R_s}$는 $1.5$이다.)
     
[크로마토그램 결과]
분석물질
머무름 시간(Retention time)
봉우리 너비(Peak width)
벤젠
16.4분
1.15분
톨루에
17.6분
1.25분
[크로마토그램 관계식]
$\mathrm{N} = 16\left(\dfrac{\mathrm{t_R}}{\mathrm{W}}\right)^{2}$, $\mathrm{H} = \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{N}}$
$\mathrm{R_s} = \dfrac{2(\mathrm{t_{R,A}} - \mathrm{t_{R,B}})}{\mathrm{W_A} + \mathrm{W_B}}$, $\dfrac{\overline{\mathrm{N_1}}}{\overline{\mathrm{N_2}}} = \dfrac{\mathrm{R_{s,1}}^{2}}{\mathrm{R_{s,2}}^{2}}$
     

$60$

$62.5$
 

$67.5$

$72.5$
 

필요한 충진관의 길이는 67.5 cm이다.
벤젠은 머무름 시간 16.4분, 봉우리 너비 1.15분이고 톨루엔은 17.6분, 1.25분이다. 먼저 현재의 분리계수를 구하면
$R_s=\frac{2(t_{R,A}-t_{R,B})}{W_A+W_B}=\frac{2(17.6-16.4)}{1.25+1.15}=\frac{2.4}{2.4}=1.0$ 이다.
관계식 $N=16\left(\frac{t_R}{W}\right)^2$ 과 $\frac{\overline{N_1}}{\overline{N_2}}=\frac{R_{s,1}^{\,2}}{R_{s,2}^{\,2}}$ 로부터 이론단수는 분리계수의 제곱에 비례하고, $L=N \times H$ 에서 충진관 종류가 같아 단높이 $H$가 일정하므로 관 길이도 분리계수의 제곱에 비례한다.
따라서
$L_2=L_1\left(\frac{R_{s,2}}{R_{s,1}}\right)^2=30 \times \left(\frac{1.5}{1.0}\right)^2=30 \times 2.25=67.5\ \mathrm{cm}$ 이다.
분리계수가 1.5배라고 해서 길이도 1.5배(45 cm)가 되는 것이 아니라 제곱배가 된다는 점이 핵심이며, 내경 3 mm는 계산에 쓰이지 않는 조건이다.