시간 구간 a, 진폭이 1/a인 단위 펄스에서 a → 0 에 접근할 때… | [철도신호기사 필기] 03년 1회차 기출문제 상세 페이지

단위 충격함수의 라플라스 변환은 1이다.
그림처럼 $0 \le t \le a$ 구간에서 높이가 $1/a$인 펄스는 $f(t) = \dfrac{1}{a}\left\{u(t) - u(t-a)\right\}$로 쓰이고 면적은 언제나 1이다. 이를 변환하면 $F(s) = \dfrac{1 - e^{-as}}{as}$가 된다.
$a \to 0$에서 $e^{-as} \approx 1 - as$로 두면 $F(s) \to \dfrac{as}{as} = 1$이므로, 단위 충격함수 $\delta(t)$의 라플라스 변환은 1이다.
a나 $1/a$가 남는 답은 극한을 취하기 전의 값이고, 0이라는 답은 폭이 좁아져도 면적이 1로 유지된다는 단위 충격함수의 정의와 어긋난다.