상태방정식 \dfrac{d}{dt}x(t)=Ax(t)+Bu(t), 출력… | [철도신호기사 필기] 08년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[철도신호기사 필기] 08년 1회차

상태방정식  $\dfrac{d}{dt}x(t)=Ax(t)+Bu(t)$ , 출력방정식 y(t)=Cx(t)에서  $A=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\ 0 & -4 & 0\\ 0 & 1 & -5\end{bmatrix}$ ,  $B=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$ ,  $C=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\end{bmatrix}$  일 때 아래 설명 중 맞는 것은?

이 시스템은 가제어(controllable)하고, 가관측(observable) 하다.

이 시스템은 가제어(controllable)하나, 가관측하지 않다(unobservable).

이 시스템은 가제어하지 않으나(uncontrollable), 가관측하다(observable).

이 시스템은 가제어하지 않고(uncontrollable), 가관측하지 않다(unobservable).

해설

이 계는 가제어하지 않으나(uncontrollable) 가관측하다(observable). 제어가능성 행렬의 계수가 부족한 반면, 관측가능성 행렬은 정칙이기 때문이다.
가제어성은  $M_c=[\,B\ \ AB\ \ A^2B\,]$  의 계수로 판정한다.
 $AB=\begin{bmatrix}3\\ 0\\ -5\end{bmatrix}$ ,  $A^2B=\begin{bmatrix}-18\\ 0\\ 25\end{bmatrix}$  이므로 세 열 모두 둘째 성분이 0이다.
즉  $M_c$  의 둘째 행이 통째로 영행이 되어 rank  $M_c=2 < 3$ , 두 번째 상태변수를 입력으로 움직일 수 없어 완전 가제어가 아니다. B 의 둘째 성분이 0이고 A 의 둘째 행이  $[\,0\ \ -4\ \ 0\,]$  이라 그 상태가 입력·타 상태와 끊겨 있는 것이 원인이다.
가관측성은  $M_o=\begin{bmatrix}C\\ CA\\ CA^2\end{bmatrix}$  로 판정한다.
 $C=[\,1\ \ 0\ \ 0\,]$ ,  $CA=[\,-1\ \ 2\ \ 3\,]$ ,  $CA^2=[\,1\ \ -7\ \ -18\,]$ 
행렬식은  $1\times\{2\times(-18)-3\times(-7)\}=-36+21=-15\neq 0$  이므로 rank  $M_o=3$  으로 완전 가관측이다.
따라서 가제어·가관측을 동시에 만족한다거나 둘 다 만족하지 않는다는 서술, 가제어인데 가관측이 아니라는 서술은 모두 성립하지 않는다.

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