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1[철도신호기사 필기] 09년 1회차

선형 시불변 시스템의 상태 방정식  $\dfrac{d}{dt}x(t) = Ax(t) + Bu(t)$  에서  $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ ,  $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$  일 때, 특성 방정식은?

s² + s – 5 = 0

s₂ - s – 5 = 0

s² + 3s + = 0

s² - 3s + 1 = 0

해설

특성방정식은  $s^2 + s - 5 = 0$ 이다.
상태방정식  $\dot{x} = Ax + Bu$ 의 특성방정식은 계통행렬  $A$ 만으로 정해지며  $|sI - A| = 0$ 으로 구한다. 입력행렬  $B$ 는 특성방정식에 관여하지 않는다.
주어진  $A$ 의 1행이  $(1,\;3)$ , 2행이  $(1,\;-2)$ 이므로  $sI - A$ 의 1행은  $(s-1,\;-3)$ , 2행은  $(-1,\;s+2)$ 가 된다.
행렬식을 전개하면  $(s-1)(s+2) - (-3)(-1) = s^2 + s - 2 - 3 = s^2 + s - 5$ 이므로  $s^2 + s - 5 = 0$ 을 얻는다. 상수항  $-5$ 가 음수라는 것은 이 계통이 우반평면 근을 가져 불안정하다는 뜻이기도 하다.

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