다음 중 f(t) = e-at의 Z변환은? | [철도신호기사 필기] 09년 2회차 기출문제 상세 페이지

지수함수의 Z변환 공식에 따라 $f(t)=e^{-at}$ 의 Z변환은 $F(z)=\dfrac{z}{z-e^{-at}}$ 이다.
Z변환 정의 $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)z^{-n}$ 에 대입하면 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{e^{-aT}}{z}\right)^{n}$ 인 무한등비급수가 되고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 이다.
즉 분자에 z가 남고 분모의 극점만 $e^{-at}$ 로 이동한 형태다. 분자가 1인 꼴은 급수 합에서 $z^{-1}$ 을 정리하지 않은 것이고, 분모가 $z+e^{-at}$ 나 $z+e^{at}$ 인 꼴은 공비의 부호·지수가 맞지 않는다.
$f(t)=1$ 의 Z변환이 $\dfrac{z}{z-1}$ 인 것과 같은 구조이며, 옛 회차 문항이라 샘플링 주기 T를 따로 쓰지 않고 $e^{-at}$ 로 표기했다.