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1[철도신호기사 필기] 10년 2회차

상태 방정식이  $\dfrac{d}{dt}x(t)=Ax(t)+Bu(t)$ ,  $A=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 3 & -2\end{bmatrix}$ ,  $B=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}$  으로 주어져 있다. 이 상태방정식에 대한 상태천이행렬(state transition matrix)의 2행 1열의 요소는?

3e^-^t - 3e^-2t

-3e^-^t + 3e^-2t

6e^-^t - 6e^-2t

-6e^-^t + 6e^-2t

해설

상태천이행렬  $\phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]$  를 구하면 2행 1열 요소는 3e^-t − 3e^-2t 이다.
계수행렬이  $A=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 3 & -2\end{bmatrix}$  이므로
 $sI-A=\begin{bmatrix}s+1 & 0\\ -3 & s+2\end{bmatrix}$ ,  $\det(sI-A)=(s+1)(s+2)$ 
역행렬은  $(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+2 & 0\\ 3 & s+1\end{bmatrix}$  이고, 찾는 2행 1열 성분은  $\dfrac{3}{(s+1)(s+2)}$  이다.
부분분수로 나누면  $\dfrac{3}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{3}{s+1}-\dfrac{3}{s+2}$  이므로 역라플라스 변환은  $3e^{-t}-3e^{-2t}$  가 된다. 계수가 6인 형태는 분자 3을 두 배로 잡은 것이고, 부호가 뒤바뀐 형태는 부분분수의 앞뒤를 맞바꾼 것이다.

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