f(t) = t2e-at를 라플라스 변환하면? | [철도신호기사 필기] 11년 2회차 기출문제 상세 페이지

$f(t)=t^2e^{-at}$의 라플라스 변환은 $\dfrac{2}{(s+a)^3}$이다.
먼저 $\mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}$이므로 $\mathcal{L}\{t^2\}=\dfrac{2!}{s^{3}}=\dfrac{2}{s^{3}}$다.
여기에 $e^{-at}$가 곱해지면 복소추이(주파수 이동) 정리에 따라 s 자리에 s+a를 대입하면 되므로 $\mathcal{L}\{t^2e^{-at}\}=\dfrac{2}{(s+a)^{3}}$가 된다.
분모 지수가 3제곱이 아닌 2제곱인 것은 $te^{-at}$의 변환이고, 분자가 1인 것은 $2!=2$를 빠뜨린 결과다. 분자에 음부호가 붙은 것은 $t^2$이 항상 0 이상이라는 점과도 어긋난다.