다음 중 f(t)=e-at의 z 변환은? | [철도신호기사 필기] 15년 1회차 기출문제 상세 페이지

지수함수의 z변환은 $\mathcal{Z}\{e^{-at}\}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 이므로, 분자가 $z$이고 분모가 $z-e^{-at}$ 인 식이 정답이다.
정의식으로 유도하면 샘플값이 $f(kT)=e^{-akT}$ 이므로 $F(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}e^{-akT}z^{-k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{-aT}z^{-1}\right)^{k}$ 이고, 공비가 $e^{-aT}z^{-1}$ 인 등비급수의 합이므로 $F(z)=\dfrac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 가 된다.
함께 외워둘 쌍은 $u(t)\to\dfrac{z}{z-1}$, $t\to\dfrac{Tz}{(z-1)^2}$ 이다. 단위계단의 $\dfrac{z}{z-1}$ 에서 1이 $e^{-aT}$ 로 바뀐 꼴로 기억하면, 분자가 1인 식이나 분모의 부호가 $+$인 식은 곧바로 걸러낼 수 있다.