F(s)=\dfrac{1}{s(s+a)}의 라플라스 역변환은? | [철도신호기사 필기] 15년 2회차 기출문제 상세 페이지

$F(s)=\dfrac{1}{s(s+a)}$ 의 역변환은 $\dfrac{1}{a}\left(1-e^{-at}\right)$ 이다.
부분분수로 나누면 $\dfrac{1}{s(s+a)}=\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+a}\right)$ 이다.
각 항을 역변환하면 $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s}\right]=1$, $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s+a}\right]=e^{-at}$ 이므로 $f(t)=\dfrac{1}{a}\left(1-e^{-at}\right)$ 가 된다.
검산하면 $f(0)=0$, $f(\infty)=\dfrac{1}{a}$ 로 최종값이 1/a여야 하므로, 계수 1/a가 빠지거나 a를 곱한 형태, 지수항만 남는 형태는 모두 성립하지 않는다.