\dfrac{d}{dt}x(t) = Ax(t) + Bu(t), A = … | [철도신호기사 필기] 19년 1회차 기출문제 상세 페이지

상태 천이행렬은 $\phi(t)=\begin{bmatrix} e^{-3t} & 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t} \\ 0 & e^{-t}\end{bmatrix}$ 이다.
상태 천이행렬은 $\phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]$ 로 구한다. 주어진 $A=\begin{bmatrix}-3 & 1\\ 0 & -1\end{bmatrix}$ 에 대해 $sI-A=\begin{bmatrix}s+3 & -1\\ 0 & s+1\end{bmatrix}$ 이고 행렬식은 (s+3)(s+1)이다.
역행렬은 $(sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{s+3} & \dfrac{1}{(s+3)(s+1)}\\ 0 & \dfrac{1}{s+1}\end{bmatrix}$ 이고, 비대각 항을 부분분수로 나누면 $\dfrac{1}{(s+3)(s+1)}=\dfrac{0.5}{s+1}-\dfrac{0.5}{s+3}$ 이다.
각 항을 역라플라스 변환하면 대각성분은 e−3t와 e−t, 비대각성분은 0.5e−t − 0.5e−3t가 된다. t = 0을 넣으면 단위행렬이 되어야 하므로, 대각성분이 2e−t이거나 비대각성분이 0.5e−t + 0.5e−3t인 형태는 이 검산에서 바로 걸러진다.