시간함수 f(f)=sinωt의 z변환은? (단, T는 샘플링 주기이다.) | [철도신호기사 필기] 20년 1회차 기출문제 상세 페이지

$\sin\omega t$ 의 z 변환은 $\dfrac{z\sin\omega T}{z^{2}-2z\cos\omega T+1}$ 이다.
유도는 오일러 공식 $\sin\omega t=\dfrac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$ 와 지수함수의 z 변환 $\mathcal{Z}\left[e^{\pm j\omega t}\right]=\dfrac{z}{z-e^{\pm j\omega T}}$ 로 한다.
두 항의 차를 통분하면 분모는 $(z-e^{j\omega T})(z-e^{-j\omega T})=z^{2}-2z\cos\omega T+1$, 분자는 $z\sin\omega T$ 가 된다.
분모 가운데 항이 부호는 −, 함수는 cos 라는 점이 판별 기준이다. 가운데 항을 $+2z\cos\omega T$ 로 두거나 $\sin\omega T$ 로 둔 식은 극점이 단위원 위의 $e^{\pm j\omega T}$ 가 되지 않아 정현파가 될 수 없다.
같은 분모를 갖는 $\mathcal{Z}[\cos\omega t]=\dfrac{z(z-\cos\omega T)}{z^{2}-2z\cos\omega T+1}$ 와 짝으로 외워 두면 분자만 비교해 고를 수 있다.