함수 f(t) = e-at의 z 변환 함수 F(z)는? | [철도신호기사 필기] 21년 1회차 기출문제 상세 페이지

정답은 $F(z)=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 이다.
표본화 주기를 T라 하면 표본값은 $f(nT)=e^{-anT}$ 이고, z 변환의 정의에 따라 $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-anT}z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-aT}z^{-1}\right)^{n}$ 이다.
공비가 $e^{-aT}z^{-1}$ 인 등비급수이므로 $F(z)=\dfrac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 로 정리된다.
단위계단의 z 변환 $\dfrac{z}{z-1}$ 에서 극점 1이 $e^{-aT}$ 로 옮겨간 꼴로 기억하면 된다. 지수 부호가 $e^{aT}$ 로 뒤집힌 식이나 분모가 $z+e^{-aT}$ 인 식은 극점 위치가 맞지 않는다.