다음의 상태방정식으로 표현되는 시스템의 상태천이행렬은? \begin{b… | [철도신호기사 필기] 22년 1회차 기출문제 상세 페이지

상태천이행렬은 $\Phi(t)=\begin{bmatrix}1.5e^{-t}-0.5e^{-3t} & 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t}\\ -1.5e^{-t}+1.5e^{-3t} & -0.5e^{-t}+1.5e^{-3t}\end{bmatrix}$ 이다.
시스템 행렬이 $A=\begin{bmatrix}0&1\\-3&-4\end{bmatrix}$이므로 $sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\3&s+4\end{bmatrix}$이고, 특성방정식은 $s^2+4s+3=(s+1)(s+3)=0$이라 극점이 −1과 −3이다. 따라서 모든 성분은 e−t와 e−3t의 조합으로만 나온다.
역행렬은 $(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{(s+1)(s+3)}\begin{bmatrix}s+4&1\\-3&s\end{bmatrix}$이고, 성분마다 부분분수로 나눠 역라플라스하면 $\dfrac{s+4}{(s+1)(s+3)}\to 1.5e^{-t}-0.5e^{-3t}$, $\dfrac{1}{(s+1)(s+3)}\to 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t}$, $\dfrac{-3}{(s+1)(s+3)}\to -1.5e^{-t}+1.5e^{-3t}$, $\dfrac{s}{(s+1)(s+3)}\to -0.5e^{-t}+1.5e^{-3t}$가 된다.
지수가 e−4t로 적힌 식은 극점을 −1, −4로 잘못 잡은 것이라 곧바로 배제된다. 성분 위치가 뒤바뀐 식은 $\dot{\Phi}(0)=A$로 걸러지는데, 1행 2열의 미분값이 A의 1행 2열인 1이 되어야 하고 이를 만족하는 것은 $0.5e^{-t}-0.5e^{-3t}$(−0.5+1.5 = 1)뿐이다.