[9급 서울시 수학(지적)] 15년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

$x \ge a$는 $-5 \le x \le 6$이기 위한 필요조건이고, $b \le x \le 4$는 $-5 \le x \le 6$이기 위한 충분조건일 때, $a$의 최댓값과 $b$의 최솟값의 곱은? (단, $b \le 4$)

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식 $\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$ 를 간단히 하면?

$2\sqrt{2}$

$\sqrt{10}$

$2\sqrt{3}$

$\sqrt{15}$

이차함수 $y=-x^2+2x$의 그래프 위의 점 중에서 직선 $y=-2x+5$에 이르는 거리가 최소인 점의 좌표를 $(p,\ q)$라 할 때, $p$와 $q$의 곱은?

$-2$

0

2

4

실수 $x,\ y$가 $x^2+y^2=2$를 만족할 때, $2x-y$의 최댓값과 최솟값의 곱은?

$-20$

$-10$

10

20

$f(x)=x+\sqrt{x}$일 때, 역함수 $f^{-1}(12)$의 값은?

3

5

7

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$0 \le x \le 2\pi$일 때, $2\sin^2 x-\cos x-1=0$을 만족하는 모든 $x$의 값들의 합은?

$\frac{3}{2}\pi$

$2\pi$

$\frac{5}{2}\pi$

$3\pi$

함수 $f(x)=(3^{x+2}+3^{-x})^2-2(3^{x+2}+3^{-x})+12$의 최솟값은?

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$a,\ b,\ c$가 0이 아닌 실수이고 $\frac{3}{a}+\frac{4}{b}=\frac{12}{c}$, $16^a=27^b=x^c$이 성립할 때, 양수 $x$의 값은?

3

6

9

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이차 정사각행렬 $A$에 대하여 $A+2E$의 역행렬이 $A-E$일 때, 행렬 $A^2+(3A^{-1})^2$의 모든 성분의 합은? (단, $E$는 단위행렬이다.)

7

8

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부등식 $|\log_2 x-k| \le 2$를 만족시키는 $x$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M-m=30$일 때, $2^{k+1}$의 값은?

8

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양수로서 증가하는 수열 $\{a_n\}$이 다음과 같이 귀납적으로 정의되어 있다.
$a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$ (단, $n=1,\ 2,\ 3,\cdots$)
$a_8=97$이고 $a_5=23$일 때, $a_3$을 구하면?

6

7

8

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수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n=2n^2-n+1$일 때, $a_1+a_3+a_5$의 값을 구하면?

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$\lim_{x\to-\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}-3}$의 극한값을 $a$라 하고, $\lim_{x\to\infty}\frac{9}{x}\left[\frac{x}{3}\right]$의 극한값을 $b$라고 할 때, $a+b$의 값은? (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다.)

0

3

6

9

무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+3)}$의 합을 구하면?

$\frac{11}{18}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{11}{6}$

3

다항함수 $y=f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$가 $f'(x)=(x+1)(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4(x-4)^5$일 때, 함수 $f(x)$의 극솟점의 개수는?

2

3

4

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다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)=f(x)$를 만족한다. $\int_0^1 f(x)dx=1$일 때, $\int_{-1}^1(x^3+2x-2)f(x)dx$의 값은?

$-4$

$-2$

2

4

노란색 구슬 3개, 파란색 구슬 4개, 빨간색 구슬 5개가 있다. 이 구슬들을 서로 다른 두 주머니 $A$, $B$에 빈 주머니가 없도록 넣는 방법의 수는? (단, 같은 색의 구슬은 서로 구별되지 않는다.)

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$\left(x^2+\frac{a}{x}\right)^4$의 전개식에서 $x^5$의 계수가 $-8$일 때, $x^2$의 계수는?

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수험생 500명을 대상으로 실시한 수학 시험의 성적은 평균이 70점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 시험에서 50점 이상 70점 이하인 학생이 215명이라 할 때, 80점 이상인 학생은 전체 학생의 몇 %인가?
$z$
$\mathrm{P}(0\le Z\le z)$
0.75
0.27
1.0
0.34
1.25
0.39
1.5
0.43

7

11

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단위원에서 생성된 Cycloid, $x=\theta-\sin\theta$, $y=1-\cos\theta$의 한 개의 반원형의 호의 길이는? (단, $0 \le \theta \le 2\pi$)

1

2

4

8