17년 1회차

인장시험으로 직접 얻을 수 없는 값은 상당응력이다.

인장시험은 단축 하중을 가해 응력-변형률 선도를 얻는 시험이다. 상당응력은 조합응력 상태를 단축 응력으로 환산한 계산값이며, 파손이론의 식으로 구한다.

• 탄성계수: 선도의 탄성 구간 직선 기울기로 얻는다.
• 항복응력: 선도에서 소성변형이 시작되는 지점의 응력으로 읽는다.
• 연신율: 파단 전후의 표점거리 변화로 구한다.
• 인장강도: 최대 하중을 원래 단면적으로 나누어 구한다.

옳지 않은 설명은 웜의 이 형상이 인벌류트 곡선이라는 내용이다.

웜은 나사 모양의 기어로, 일반적인 웜의 축 단면 치형은 사다리꼴(직선 치형)이다. 인벌류트 곡선은 평기어 등에서 쓰는 대표 치형이다.

• 큰 감속비와 부하용량: 줄 수가 적은 웜과 잇수가 많은 웜휠을 물려 한 쌍으로 큰 감속비를 얻고, 부하용량도 큰 편이다.
• 추력 발생: 치면이 경사져 있어 웜과 웜휠에 축 방향 힘이 생긴다.
• 미끄러짐과 저소음: 치면이 미끄럼 접촉을 하므로 충격이 적어 소음과 진동이 작다.
• 평기어보다 낮은 효율: 미끄럼 마찰 손실이 커서 효율이 낮다.

옳지 않은 설명은 확실한 속도비를 얻을 수 있다는 내용이다.

마찰차는 접촉면의 마찰력으로 동력을 전달하므로 미끄럼이 생길 수 있어 일정한 속도비를 보장하지 못한다.

• 운전 중 회전비 변화: 운전하면서 접촉 위치를 옮겨 회전비를 바꿀 수 있다.
• 연속적인 변속: 접촉 반지름이 연속으로 변하므로 단계 없이 변속할 수 있다.
• 큰 동력 전달의 어려움: 전달력이 마찰력에 제한되어 큰 동력에는 적합하지 않다.
• 접촉점 이동 설계: 무단변속은 마찰 접촉점을 옮기는 구조로 실현한다.

나사의 효율은 $\eta=\dfrac{Ql}{2\pi T}$이다.

효율은 1회전 동안의 입력 일에 대한 출력 일의 비이다. 토크 $T$로 1회전 하면 입력 일은 $2\pi T$이고, 축방향 하중 $Q$는 리드 $l$만큼 이동하므로 출력 일은 $Ql$이다.

• $Qp/2\pi T$: 2줄 나사는 $l=2p$이므로 1회전 이동량을 피치로 잡으면 효율이 절반으로 계산된다.
• $Ql/T$: 입력 일에서 회전각 $2\pi$가 빠졌다.
• $Qp/T$: 회전각이 빠졌고 이동량도 피치로 잘못 잡았다.
• $Qp/Tl$: 분모에 길이가 더 곱해져 무차원량이 되지 않는다.

볼트의 안지름은 최소 $10\,\mathrm{mm}$로 설계해야 한다.

뚜껑 전체 하중을 16개 볼트가 나누어 받는다.
$Q=\dfrac{p\cdot\pi D^2/4}{16}=\dfrac{0.2\times\pi\times400^2/4}{16}=500\pi\,\mathrm{kgf}$

허용인장응력은 인장강도를 안전율로 나눈 값이다.
$\sigma_a=\dfrac{40}{2}=20\,\mathrm{kgf/mm^2}$

볼트 골단면의 인장응력이 허용응력 이하가 되도록 지름을 구한다.
$d=\sqrt{\dfrac{4Q}{\pi\sigma_a}}=\sqrt{\dfrac{4\times500\pi}{\pi\times20}}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{mm}$

리벳 2개가 판의 압축 파괴를 견디는 조건으로 구하면 최대 하중은 4,000 kgf이다.

리벳과 판의 압축 면적은 리벳 1개당 지름×판 두께로 잡고, 그림의 리벳 수를 곱한다.
$W=n\,d\,t\,\sigma_{c}$
$W=2\times 20\times 10\times 10$
$W=4000\ \mathrm{kgf}$

• 500 kgf는 리벳 1개가 견디는 값의 4분의 1로, 압축 면적을 지나치게 작게 잡아야 나온다.
• 1,000 kgf는 리벳 1개가 견디는 값의 절반으로, 압축 면적이 맞지 않는다.
• 2,000 kgf는 리벳 1개만 계산한 값으로, 2개가 함께 하중을 받는다는 점을 빠뜨렸다.
• 3,000 kgf는 리벳 1.5개에 해당하는 값으로, 그림의 리벳 수와 맞지 않는다.

축경은 최소 $10\sqrt[3]{400}\,\mathrm{mm}$로 설계해야 한다.

먼저 상당모멘트를 구한다.
$T_e=\sqrt{M^2+T^2}=\sqrt{(30\pi)^2+(40\pi)^2}=50\pi\,\mathrm{kgf\cdot m}$
$M_e=\dfrac{1}{2}(M+T_e)=\dfrac{1}{2}(30\pi+50\pi)=40\pi\,\mathrm{kgf\cdot m}$

전단 기준으로 지름을 구한다. $T_e=50\pi\times10^3\,\mathrm{kgf\cdot mm}$이다.
$d^3=\dfrac{16T_e}{\pi\tau_a}=\dfrac{16\times50\pi\times10^3}{\pi\times2}=400\times10^3$

굽힘 기준으로 지름을 구한다. $M_e=40\pi\times10^3\,\mathrm{kgf\cdot mm}$이다.
$d^3=\dfrac{32M_e}{\pi\sigma_a}=\dfrac{32\times40\pi\times10^3}{\pi\times4}=320\times10^3$
두 조건을 모두 만족하려면 더 큰 지름을 택하므로 $d=10\sqrt[3]{400}\,\mathrm{mm}$이다.

바흐의 축 공식은 축길이 1 m에 대한 비틀림각이 0.25° 이내인 조건을 전제로 한다.

이 공식은 강도가 아니라 비틀림 강성을 기준으로 축지름을 정한다. 기준은 단위 길이인 1 m당 허용 비틀림각이다.

• 축길이 1 m에 1° 이내: 기준 길이는 맞지만 허용 비틀림각이 네 배로 크다.
• 축직경 20배 길이에 0.25° 이내: 기준 길이가 1 m가 아니라 축직경에 따라 달라진다.
• 축직경 20배 길이에 1° 이내: 기준 길이와 허용 비틀림각이 모두 바흐의 조건과 다르다.
• 전체 축길이에 1° 이내: 단위 길이 기준이 아니며 허용 비틀림각도 다르다.

볼트에 발생하는 전단응력은 약 $7.16/\pi\,\mathrm{kgf/mm^2}$이다.

전달 토크를 구한다.
$T=716\,200\times\dfrac{H}{N}=716\,200\times\dfrac{100}{200}=358\,100\,\mathrm{kgf\cdot mm}$

마찰이 없으므로 토크는 볼트의 전단력만으로 전달된다. 피치원 반지름은 $125\,\mathrm{mm}$이다.
$F=\dfrac{T}{4R}=\dfrac{358\,100}{4\times125}=716.2\,\mathrm{kgf}$

볼트 1개의 단면적으로 나누어 전단응력을 구한다.
$\tau=\dfrac{F}{\pi d^2/4}=\dfrac{716.2}{\pi\times20^2/4}=\dfrac{7.162}{\pi}\,\mathrm{kgf/mm^2}$

체인의 평균 속도는 $6\,\mathrm{m/s}$이다.

스프로킷이 1회전 하면 체인은 피치 × 잇수만큼 이동한다.
$v=\dfrac{pzN}{60\,000}$

값을 대입하여 계산한다.
$v=\dfrac{15\times40\times600}{60\,000}=6\,\mathrm{m/s}$

옳지 않은 설명은 축간거리가 두 풀리 직경 합의 1/2이라는 내용이다.

그 관계는 두 풀리가 맞닿을 때의 거리로, 맞물리는 기어의 중심거리 식과 같다. 벨트 전동은 두 풀리를 떨어뜨려 벨트를 걸므로 축간거리를 더 크게 잡는다.

• 정숙한 운전: 유연한 벨트가 충격을 흡수해 비교적 조용하다.
• 타이밍 벨트의 정확한 속도비: 이가 풀리에 맞물려 미끄럼이 없으므로 V벨트보다 속도비가 정확하다.
• 단차를 이용한 변속: 지름이 다른 단을 골라 벨트를 걸면 속도비가 달라진다.
• 반대 방향 회전: 벨트를 엇걸기(십자걸기)하면 두 축이 반대로 회전한다.

설명에 해당하는 나사는 톱니나사이다.

톱니나사는 한 방향으로만 큰 축하중을 받도록 하중면과 반대쪽 면의 경사를 다르게 만든 나사로, 바이스나 압착기에 쓰인다.

• 사각나사: 나사산이 사각형이며 양방향 축하중의 동력전달에 쓰인다.
• 사다리꼴나사: 나사산이 대칭 사다리꼴이므로 양방향 동력전달에 쓰인다.
• 둥근나사: 나사산이 둥글어 먼지나 이물질이 많은 곳의 체결과 전구 소켓 등에 쓰인다.
• 볼나사: 나사축과 너트 사이의 볼이 구름 접촉을 하여 정밀 이송에 쓰인다.

설명에 해당하는 축이음은 플렉시블 커플링이다.

플렉시블 커플링은 연결부의 고무나 스프링 같은 탄성체가 축심 불일치를 흡수하고 충격을 완화한다.

• 올덤 커플링: 두 축이 평행하고 약간 어긋난 경우에 중간 원판의 미끄럼으로 동력을 전달한다.
• 고정 커플링: 일직선상의 두 축을 탄성체 없이 강하게 고정한다.
• 유니버설 조인트: 두 축이 일정 각도로 교차할 때 쓴다.
• 플랜지 커플링: 두 플랜지를 볼트로 죄는 고정식 축이음이다.

가할 수 있는 하중은 $12\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$이다. 위 강판의 양 옆면이 용접되어 있으므로 용접선 2줄이 하중을 나누어 받는다.

필렛 용접은 목두께 단면의 전단으로 계산한다. 목두께는 다리길이에 $\cos 45^\circ$를 곱한 값이다.

허용전단응력: $\tau_a = \dfrac{150}{3} = 50\,\mathrm{MPa}$
목두께: $a = 4\cos 45^\circ = 2\sqrt{2}\,\mathrm{mm}$
전단면적: $A = 2 \times 2\sqrt{2} \times 60 = 240\sqrt{2}\,\mathrm{mm^2}$
하중: $F = \tau_a A = 50 \times 240\sqrt{2} = 12000\sqrt{2}\,\mathrm{N} = 12\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$

• $6\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$: 용접선을 1줄로만 계산한 값이다.
• $18\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$: 안전계수가 2일 때 나오는 값이다.
• $24\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$: 목두께를 다리길이보다 큰 $4\sqrt{2}\,\mathrm{mm}$로 잘못 잡은 값이다.
• $30\sqrt{2}\,\mathrm{kN}$: 허용전단응력이 $125\,\mathrm{MPa}$여야 나오는 값으로, 안전계수 3과 맞지 않는다.

압력속도계수는 $\pi/10\,\mathrm{kgf/mm^2\cdot m/s}$이다.

베어링 압력은 하중을 투영면적으로 나눈 값이다.
$p=\dfrac{W}{dl}=\dfrac{3\,000}{50\times300}=0.2\,\mathrm{kgf/mm^2}$

저널의 원주속도를 구한다.
$v=\dfrac{\pi dN}{60\,000}=\dfrac{\pi\times50\times600}{60\,000}=\dfrac{\pi}{2}\,\mathrm{m/s}$

두 값을 곱한다.
$pv=0.2\times\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{10}$

키의 폭은 최소 약 $6.3\,\mathrm{mm}$ 이상으로 설계해야 한다.

재료가 같으므로 허용전단응력 $\tau$도 같다. 키가 전달할 수 있는 토크가 축의 전달 토크 이상이면 키가 먼저 파괴되지 않는다.
$\tau bl\dfrac{d}{2}=\tau\dfrac{\pi d^3}{16}$

식을 키의 폭으로 정리한다.
$b=\dfrac{\pi d^2}{8l}$

값을 대입하여 계산한다.
$b=\dfrac{\pi\times40^2}{8\times100}=2\pi\approx6.3\,\mathrm{mm}$

양차를 밀어붙이는 힘은 약 $430\,\mathrm{kgf}$이다.

원주속도를 구한다.
$v=\dfrac{\pi D_1N_1}{60\,000}=\dfrac{\pi\times200\times1\,000}{60\,000}\approx10.47\,\mathrm{m/s}$

마력은 $1\,\mathrm{PS}=75\,\mathrm{kgf\cdot m/s}$로 환산하여 전달력을 구한다.
$F=\dfrac{75H}{v}=\dfrac{75\times12}{10.47}\approx85.9\,\mathrm{kgf}$

전달력은 마찰력으로 얻으므로 $F=\mu P$이다.
$P=\dfrac{F}{\mu}=\dfrac{85.9}{0.2}\approx430\,\mathrm{kgf}$

필요한 칼라 수는 6개이다.

칼라 1개의 유효 접촉면적은 바깥지름과 축 지름 사이의 고리 면적이다.
$A=\dfrac{\pi}{4}(D^2-d^2)=\dfrac{\pi}{4}(300^2-200^2)\approx39\,270\,\mathrm{mm^2}$

칼라 수는 스러스트와 허용압력으로 구한다.
$z=\dfrac{W}{pA}=\dfrac{2\,200}{0.01\times39\,270}\approx5.6$

칼라 수는 정수이고 허용압력을 넘지 않아야 하므로 올림하여 6개로 한다.

평기어의 전달 동력은 $9.15\,\mathrm{kW}$이다.

속도계수를 구한다.
$f_v=\dfrac{3.05}{3.05+3.05}=0.5$

루이스 굽힘강도식으로 전달하중을 구한다.
$F=f_vf_w\sigma bmY=0.5\times1\times10\times51\times4\times0.3=306\,\mathrm{kgf}$

$1\,\mathrm{kW}=102\,\mathrm{kgf\cdot m/s}$로 동력을 구한다.
$H=\dfrac{Fv}{102}=\dfrac{306\times3.05}{102}=9.15\,\mathrm{kW}$

수직력과 마찰력의 모멘트를 지점에 대해 세우면 레버 끝에 가할 힘은 235 N이다.

제동토크에서 마찰력을 구하고, 마찰계수로 수직력을 구한다.
$f=\dfrac{T}{D/2}=\dfrac{22500}{150}=150\ \mathrm{N}$
$N=\dfrac{f}{\mu}=\dfrac{150}{0.3}=500\ \mathrm{N}$

드럼이 좌회전하면 블록이 닿는 드럼 왼쪽 면은 아래로 움직이므로, 블록이 받는 마찰력은 아래쪽이다. 이 마찰력은 레버를 드럼 쪽으로 돌려 조작력을 줄여 준다.
$F_{1}a=Nb-fc$
$F_{1}\times 500=500\times 250-150\times 50$
$F_{1}=\dfrac{117500}{500}=235\ \mathrm{N}$

• 265 N은 마찰력의 모멘트를 더한 값으로, 드럼이 반대로 회전할 때의 조작력이다.
• 295 N은 마찰력 모멘트 자리에 제동토크를 그대로 더한 값이다.
• 325 N은 마찰력의 팔 길이를 $c$가 아닌 $b$로 잡아 더한 값이다.
• 355 N은 수직력 항만으로 구한 250 N보다 큰 값으로, 마찰력이 조작력을 줄여 주는 좌회전 조건과 맞지 않는다.