19년 1회차

치수공차는 최대 허용치수와 최소 허용치수의 차이로, 허용되는 치수 범위의 크기를 나타낸다.

큰 한계치수에서 작은 한계치수를 뺀 값이며, 위 치수허용차에서 아래 치수허용차를 뺀 값과 같다. 즉 허용 범위의 폭을 뜻한다.

• 최대허용치수에서 호칭치수를 뺀 값은 위 치수허용차이다.
• 최소허용치수에서 호칭치수를 뺀 값은 아래 치수허용차이다.
• 허용한계치수의 기준이 되는 것은 기준치수(호칭치수)이다.
• 실제 치수에 대해 허용되는 최소 치수는 범위의 아래쪽 한계일 뿐, 두 한계의 차이가 아니다.

기어 E의 회전속도는 $120\,\mathrm{rpm}$이다.

그림에서 B는 D와 맞물리고, C와 D는 한 축에 고정된 복합 기어여서 회전속도가 같다. C는 다시 E와 맞물린다.

맞물린 기어의 회전속도는 잇수에 반비례하므로 단계별로 구한다.
$N_{B}=100\times\dfrac{12}{36}=\dfrac{100}{3}\,\mathrm{rpm}$
$N_{C}=N_{D}=\dfrac{100}{3}\times\dfrac{36}{15}=80\,\mathrm{rpm}$
$N_{E}=80\times\dfrac{36}{24}=120\,\mathrm{rpm}$

• $60\,\mathrm{rpm}$은 C의 $80\,\mathrm{rpm}$보다 느린 값이지만, E는 C보다 잇수가 적어 더 빨리 돌아야 한다.
• $180\,\mathrm{rpm}$은 C에서 E로의 증속비 $\dfrac{36}{24}$를 한 번 더 곱한 값이다.
• $240\,\mathrm{rpm}$은 B에서 D로의 증속비 $\dfrac{36}{15}$만 적용한 값이다.
• $360\,\mathrm{rpm}$은 A에서 B로의 감속비 $\dfrac{12}{36}$를 빠뜨린 값이다.

단순지지보 중앙의 굽힘처짐은 $20\,\mathrm{mm}$이다.

그림 (b)의 하중은 양쪽 지지점에서 각각 $L$ 떨어진 중앙에 있으므로 전체 경간은 $2L$이다.

외팔보의 처짐에서 $\dfrac{PL^{3}}{EI}$ 값을 구한다.
$\delta_{a}=\dfrac{PL^{3}}{3EI}=40\,\mathrm{mm}$
$\dfrac{PL^{3}}{EI}=120\,\mathrm{mm}$

단순지지보 공식에 경간 $2L$을 대입한다.
$\delta_{b}=\dfrac{P(2L)^{3}}{48EI}=\dfrac{PL^{3}}{6EI}=\dfrac{120}{6}=20\,\mathrm{mm}$

• $10\,\mathrm{mm}$는 처짐비를 외팔보의 $\dfrac{1}{4}$로 본 값으로, 실제 비 $\dfrac{1}{2}$과 다르다.
• $30\,\mathrm{mm}$는 처짐비를 $\dfrac{3}{4}$로 본 값이어서 맞지 않는다.
• $40\,\mathrm{mm}$는 두 보의 처짐이 같다고 본 값이지만, 지지 조건과 경간이 달라 처짐도 다르다.
• $50\,\mathrm{mm}$는 외팔보보다 큰 값으로, 계산된 처짐비 $\dfrac{1}{2}$과 어긋난다.

볼베어링의 수명 시간은 4배가 된다.

볼베어링의 수명 시간은 하중비의 세제곱에 비례하고 회전속도에 반비례한다.
$L_h \propto \left(\dfrac{C}{P}\right)^{3}\dfrac{1}{N}$

하중이 $P/2$, 회전속도가 $2N$이 되므로 다음과 같다.
$\dfrac{L_h'}{L_h}=\left(\dfrac{P}{P/2}\right)^{3}\times\dfrac{N}{2N}=8\times\dfrac{1}{2}=4$

• 하중의 영향을 세제곱하지 않고 1제곱으로 보면 1배가 되어 수명지수를 놓친 값이다.
• 수명지수를 2로 잡으면 2배가 되지만, 볼베어링의 수명지수는 3이다.

1회전 시 축방향 이동거리는 리드와 같으므로 리드 $4\,\mathrm{mm}$이다.

호칭 M50×2에서 지름 뒤의 2는 피치이고, 2줄 나사이므로 줄 수는 2이다. 리드는 줄 수와 피치의 곱이다.
$L=np$
$L=2\times 2=4\,\mathrm{mm}$

• 줄 수를 빠뜨리고 피치만 쓰면 $2\,\mathrm{mm}$가 되는데, 이는 1줄 나사의 리드이다.
• 피치를 줄 수로 나누면 $1\,\mathrm{mm}$가 되지만 줄 수는 곱해야 한다.
• 뒤의 6H는 암나사의 공차 등급으로, 이동거리와 관계없다.

나사의 최소 안지름은 $\sqrt{\dfrac{8}{\pi}}\,\mathrm{mm}$이다.

4개가 동일하게 나눠 받으므로 볼트 1개의 하중은 $Q=400/4=100\,\mathrm{N}$이다.

안지름 단면의 인장응력이 허용값이 되도록 지름을 구한다.
$\sigma=\dfrac{4Q}{\pi d^{2}}$
$d=\sqrt{\dfrac{4Q}{\pi\sigma}}=\sqrt{\dfrac{4\times 100}{\pi\times 50}}=\sqrt{\dfrac{8}{\pi}}\,\mathrm{mm}$

• $\sqrt{32/\pi}$는 총하중 $400\,\mathrm{N}$을 1개에 건 값으로, 하중 분담을 빠뜨렸다.
• $\sqrt{4/\pi}$는 단면적이 $1\,\mathrm{mm^2}$뿐이라 응력이 $100\,\mathrm{MPa}$로 허용값을 넘는다.
• $\sqrt{4/(3\pi)}$는 단면적이 더 작아 응력이 $300\,\mathrm{MPa}$에 이른다.
• $\sqrt{4/(5\pi)}$도 응력이 $500\,\mathrm{MPa}$로 허용값을 넘는다.

최대 전단응력 기준의 상당 비틀림 모멘트는 $\tilde{T}=\sqrt{M^{2}+T^{2}}$이다.

굽힘응력 $\sigma=\dfrac{32M}{\pi d^{3}}$과 비틀림 전단응력 $\tau=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}$를 최대 전단응력 식에 넣는다.
$\tau_{max}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}=\dfrac{16}{\pi d^{3}}\sqrt{M^{2}+T^{2}}$

• $\dfrac{1}{2}\left(M+\sqrt{M^{2}+T^{2}}\right)$은 최대 주응력 기준의 상당 굽힘 모멘트이다.
• $\dfrac{1}{2}\sqrt{M^{2}+T^{2}}$은 올바른 값의 절반으로, 최대 전단응력을 작게 평가한다.
• $M+\sqrt{M^{2}+T^{2}}$은 상당 굽힘 모멘트의 2배이다.
• $M+\sqrt{M^{2}+\dfrac{2}{3}T^{2}}$은 위 유도에서 나오지 않는 형태이다.

축의 최소 지름은 $20\,\mathrm{mm}$이다.

유효장력이 풀리 반지름에 작용해 만드는 토크를 구한다.
$T=F\times\dfrac{D}{2}$
$T=200\times 150=30\,000\,\mathrm{N\cdot mm}$

중실축의 비틀림 응력 식으로 지름을 구한다.
$\tau=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}$
$d^{3}=\dfrac{16\times 30\,000}{3\times 20}=8000$
$d=20\,\mathrm{mm}$

• $15\,\mathrm{mm}$이면 전단응력이 약 $47\,\mathrm{N/mm^2}$로 허용값을 넘는다.
• $25\,\mathrm{mm}$는 강도는 충분하지만 최소 지름이 아니며, 풀리 반지름 대신 지름을 곱하면 이 근처 값이 나온다.

밑변에 놓인 $x$축에 대한 단면 2차 모멘트는 $\dfrac{17}{4}bh^{3}$이다.

단면을 바깥 직사각형에서 가운데 구멍을 뺀 도형으로 보고, 평행축 정리로 각각 $x$축 기준 값을 구한다.

바깥 직사각형은 밑변이 $x$축과 일치한다.
$I_{1}=\dfrac{(2b)(2h)^{3}}{3}=\dfrac{16}{3}bh^{3}$
구멍의 도심은 $x$축에서 $h$만큼 떨어져 있다.
$I_{2}=\dfrac{bh^{3}}{12}+(bh)h^{2}=\dfrac{13}{12}bh^{3}$

두 값을 뺀다.
$I_{x}=\dfrac{16}{3}bh^{3}-\dfrac{13}{12}bh^{3}=\dfrac{51}{12}bh^{3}=\dfrac{17}{4}bh^{3}$

• $\dfrac{5}{4}bh^{3}$은 단면의 도심축에 대한 값으로, 평행축 항 $3bh\cdot h^{2}$이 빠졌다.
• $\dfrac{15}{4}bh^{3}$은 도심축 값에 더한 평행축 항이 $3bh^{3}$보다 작아 맞지 않는다.
• $\dfrac{4}{3}bh^{3}$은 구멍이 없는 바깥 직사각형의 도심축 값이다.
• $\dfrac{1}{12}bh^{3}$은 구멍만의 도심축 값이다.

두 걸기방법의 벨트길이 차이는 $\dfrac{D_1D_2}{C}$이다.

$\phi$가 작을 때의 근사 벨트길이 식은 다음과 같다.
$L_1=2C+\dfrac{\pi(D_1+D_2)}{2}+\dfrac{(D_2-D_1)^{2}}{4C}$
$L_2=2C+\dfrac{\pi(D_1+D_2)}{2}+\dfrac{(D_2+D_1)^{2}}{4C}$

앞의 두 항이 같으므로 마지막 항의 차만 남는다.
$L_2-L_1=\dfrac{(D_2+D_1)^{2}-(D_2-D_1)^{2}}{4C}=\dfrac{4D_1D_2}{4C}=\dfrac{D_1D_2}{C}$

• $\dfrac{4D_1D_2}{C}$는 분자의 $4D_1D_2$를 $4C$로 나누지 않고 $C$로만 나눈 값이다.
• $\dfrac{D_1D_2}{4C}$는 분자의 계수 4를 빠뜨린 값이다.

스프링 상수는 약 4배가 된다.

스프링 상수는 와이어 지름의 네제곱에 비례하고, 코일 평균지름의 세제곱과 유효권수에 반비례한다.
$k=\dfrac{Gd^{4}}{8nD^{3}}$

와이어 지름과 평균지름이 2배, 유효권수가 $1/2$배이므로 다음과 같다.
$\dfrac{k'}{k}=2^{4}\times\dfrac{1}{2^{3}}\times 2=4$

• 유효권수 감소를 빠뜨리면 2배가 되는데, 권수가 줄면 스프링 상수는 더 커진다.
• 권수 영향을 반대로 적용하면 변하지 않는 것으로 나오지만, 권수와 스프링 상수는 반비례이다.

시편의 푸아송 비는 $\nu=0.2$이다.

응력과 변형률로 세로탄성계수를 구한다.
$\sigma=\dfrac{72\,000}{30}=2400\,\mathrm{N/mm^2}$
$\varepsilon=\dfrac{1}{1000}=0.001$
$E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}=2.4\times 10^{6}\,\mathrm{N/mm^2}$

등방성 재료의 탄성계수 관계식에 대입한다.
$E=2G(1+\nu)$
$2.4\times 10^{6}=2\times 10^{6}\times(1+\nu)$
$\nu=0.2$

• $\nu=0.5$라면 $E=3\times 10^{6}\,\mathrm{N/mm^2}$이어야 하므로 측정값과 맞지 않는다.
• $\nu=0.3$이라면 $E=2.6\times 10^{6}\,\mathrm{N/mm^2}$이어야 하므로 측정값과 맞지 않는다.

판의 최소 두께는 $6\,\mathrm{mm}$이다.

세로 이음은 원주방향 응력을 받으므로 허용응력에 이음효율을 곱하고 부식여유를 더한다.
$\sigma_a=\dfrac{400}{4}=100\,\mathrm{MPa}$
$t=\dfrac{pD}{2\sigma_a\eta}+c$

값을 대입하면 다음과 같다.
$t=\dfrac{1.2\times 500}{2\times 100\times 0.6}+1=5+1=6\,\mathrm{mm}$

• $5\,\mathrm{mm}$는 부식여유를 더하지 않은 값이다.
• 축방향 응력 식을 쓰면 두께가 작게 나오지만, 세로 이음의 설계 기준은 그보다 큰 원주방향 응력이다.

스퍼 기어의 모듈은 4이다.

속도비가 $1/5$이므로 종동기어의 잇수는 원동기어의 5배이다.
$z_2=5\times 20=100$

중심거리 식에 대입한다.
$C=\dfrac{m(z_1+z_2)}{2}$
$240=\dfrac{m(20+100)}{2}=60m$
$m=4$

• 분모의 2를 빠뜨리면 모듈이 2로 나오는데, 중심거리는 두 피치원 지름 합의 절반이다.
• 종동기어 잇수만 쓰면 모듈이 $4.8$이 되어 5에 가깝지만, 두 기어의 잇수를 모두 넣어야 한다.

브레이크 제동토크는 $60\,\mathrm{N\cdot m}$이다.

수직력에 마찰계수를 곱한 제동력이 드럼 반지름에 작용한다.
$f=\mu Q=0.1\times 3000=300\,\mathrm{N}$

드럼 반지름은 $0.2\,\mathrm{m}$이다.
$T=f\times\dfrac{D}{2}$
$T=300\times 0.2=60\,\mathrm{N\cdot m}$

• 드럼 지름 $0.4\,\mathrm{m}$를 곱하면 값이 2배가 되어 틀린다.
• 수직력 $3\,\mathrm{kN}$은 제동력이 아니므로 마찰계수를 곱해야 한다.

종동축의 최대 회전각속도는 $N/\cos\delta$이다.

유니버설 조인트는 원동축이 등속으로 돌아도 종동축 속도가 주기적으로 변동한다. 변동 범위는 다음과 같다.
$N\cos\delta\le N_2\le\dfrac{N}{\cos\delta}$

• $N\cos\delta$는 최소 회전각속도이다.
• $N\sin\delta$는 $\delta=0$일 때 0이 되어, 두 축이 일직선이면 $N$이라는 사실과 어긋난다.
• $N/\sin\delta$는 $\delta=0$일 때 무한대가 되어 역시 어긋난다.
• 상수 1은 $N$과 $\delta$에 무관한 값이어서 종동축의 회전각속도가 될 수 없다.

구멍 사이 판의 인장응력은 $\dfrac{W}{(p-d)t}$이다.

1줄 이음에서는 한 피치 폭 $p$마다 리벳 구멍이 하나이므로 유효 폭은 $p-d$이고, 파단 단면적은 $(p-d)t$이다.
$\sigma=\dfrac{W}{A}=\dfrac{W}{(p-d)t}$

• $\dfrac{W}{(p-2d)t}$는 한 피치에서 구멍 2개를 뺀 식이어서 1줄 이음에 맞지 않는다.
• $\dfrac{W}{2(p-d)t}$는 단면적을 2배로 잡아 응력을 작게 평가한다.
• $\dfrac{W}{2(p-2d)t}$는 구멍 수와 단면 수를 모두 잘못 잡은 식이다.
• $\dfrac{W}{4(p-d)t}$는 한 피치 구간의 단면이 하나뿐인데 4배로 잡은 식이다.

원주속도는 $5\,\mathrm{m/sec}$, 밀어붙이는 최소 힘은 $1.2\,\mathrm{kN}$이다.

원주속도는 원동차의 지름과 회전속도로 구한다.
$v=\dfrac{\pi DN}{60\,000}$
$v=\dfrac{3\times 250\times 400}{60\,000}=5\,\mathrm{m/sec}$

전달력을 구한 뒤 마찰계수로 나누어 미는 힘을 구한다.
$F=\dfrac{H}{v}=\dfrac{1800}{5}=360\,\mathrm{N}$
$P=\dfrac{F}{\mu}=\dfrac{360}{0.3}=1200\,\mathrm{N}=1.2\,\mathrm{kN}$

• 원주속도 $3\,\mathrm{m/sec}$와 최소 힘 $1.0\,\mathrm{kN}$의 조합은 두 값 모두 계산과 다르다.
• 원주속도 $4\,\mathrm{m/sec}$와 최소 힘 $1.0\,\mathrm{kN}$의 조합은 마찰력이 $300\,\mathrm{N}$뿐이라 전달력에 못 미친다.
• 원주속도 $4\,\mathrm{m/sec}$와 최소 힘 $1.1\,\mathrm{kN}$의 조합은 마찰력이 $330\,\mathrm{N}$으로 역시 부족하다.
• 원주속도 $5\,\mathrm{m/sec}$와 최소 힘 $1.3\,\mathrm{kN}$의 조합은 전달은 되지만 최소 힘이 아니다.

저널의 최대 길이는 $150\,\mathrm{mm}$이다.

압력이 균일하면 하중은 저널 길이 중앙에 모인 것으로 볼 수 있으므로, 뿌리의 굽힘 모멘트는 $M=\dfrac{Pl}{2}$이다.
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{Pl/2}{\pi d^{3}/32}=\dfrac{16Pl}{\pi d^{3}}$

길이에 대해 풀고 값을 대입한다.
$l=\dfrac{\pi d^{3}\sigma}{16P}$
$l=\dfrac{3\times 50^{3}\times 64}{16\times 10\,000}=150\,\mathrm{mm}$

• $160\,\mathrm{mm}$이면 굽힘응력이 약 $68\,\mathrm{MPa}$로 허용값을 넘는다.
• $140\,\mathrm{mm}$는 안전하지만 최대 길이가 아니다.
• 회전속도 $500\,\mathrm{rpm}$은 이 굽힘강도 계산에 쓰이지 않는다.

키의 전단응력은 $40\,\mathrm{N/mm^2}$이다.

풀리 둘레의 회전력으로 토크를 구한 뒤, 축 표면에서 키가 받는 접선력으로 바꾼다.
$T=2000\times 135=270\,000\,\mathrm{N\cdot mm}$
$F=\dfrac{T}{d/2}=\dfrac{270\,000}{15}=18\,000\,\mathrm{N}$

전단면은 키의 너비와 길이로 이루어진 면이다.
$\tau=\dfrac{F}{bl}$
$\tau=\dfrac{18\,000}{10\times 45}=40\,\mathrm{N/mm^2}$

• 너비 대신 높이 $8\,\mathrm{mm}$를 쓰면 $50\,\mathrm{N/mm^2}$가 되는데, 높이는 압축응력 계산에 쓰는 치수이다.
• 토크를 축 반지름이 아닌 지름으로 나누면 $20\,\mathrm{N/mm^2}$가 되어 접선력을 절반으로 평가한다.