21년 1회차

막대의 길이방향 변형률은 $10^{-3}$이다.

훅의 법칙에서 변형률은 응력을 탄성계수로 나눈 값이다.
공식: $\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}=\dfrac{P}{AE}$
응력: $\sigma=\dfrac{1000\,\mathrm{kN}}{0.01\,\mathrm{m^2}}=10^{8}\,\mathrm{Pa}=100\,\mathrm{MPa}$
변형률: $\varepsilon=\dfrac{10^{8}\,\mathrm{Pa}}{100\times10^{9}\,\mathrm{Pa}}=10^{-3}$

• $2\times10^{-3}$은 변형률에 길이 $2\,\mathrm{m}$를 곱한 신장량(단위 $\mathrm{m}$)의 수치로, 변형률이 아니다.
• $10^{-5}$는 단면적을 빠뜨리고 하중을 탄성계수로 바로 나눈 수치다.

최대 가속도는 $4\,\mathrm{m/s^2}$이다.

물체는 정적 평형 위치를 중심으로 진폭 $1\,\mathrm{cm}$의 단순조화운동을 하며, 중력은 평형 상태의 스프링 힘과 상쇄되므로 평형 위치에서 벗어난 변위의 복원력만 가속도를 만든다.

공식: $a_{\max}=\omega^{2}A=\dfrac{k}{m}A$
대입: $a_{\max}=\dfrac{400\,\mathrm{N/m}}{1\,\mathrm{kg}}\times0.01\,\mathrm{m}$
결과: $a_{\max}=4\,\mathrm{m/s^2}$

질량중심을 지나고 평판 면에 수직인 축에 대한 관성모멘트는 $5\,\mathrm{kg\cdot m^2}$이다.

직사각형 평판의 면에 수직인 축에서는 가로와 세로 길이가 모두 반영된다.
공식: $I=\dfrac{m(a^{2}+b^{2})}{12}$
대입: $I=\dfrac{3\,(4^{2}+2^{2})}{12}=\dfrac{3\times20}{12}$
결과: $I=5\,\mathrm{kg\cdot m^2}$

값 $4\,\mathrm{kg\cdot m^2}$는 가로 길이만 넣어 평판 면 안의 축처럼 계산한 경우다.

세 물체의 속도 관계는 $V_{A}=V_{B}\gt V_{C}$이다. 구름 운동의 속도는 질량이나 반경이 아니라 물체의 형상으로 정해진다.

미끄러짐 없이 구르면 위치에너지가 병진·회전 운동에너지로 바뀐다.
$mgh=\dfrac{1}{2}mV^{2}+\dfrac{1}{2}I\omega^{2},\quad \omega=\dfrac{V}{R}$
관성모멘트를 $I=kmR^{2}$로 두면 다음과 같다.
$V=\sqrt{\dfrac{2gh}{1+k}}$

디스크는 $k=\dfrac{1}{2}$이므로 $V=\sqrt{\dfrac{4gh}{3}}$이고, 반경과 질량이 식에서 사라져 A와 B의 속도가 같다.
고리는 $k=1$이므로 $V=\sqrt{gh}$이며, 에너지가 회전에 더 많이 쓰여 가장 느리다.

• 세 속도가 모두 같다는 관계는 틀리다. 디스크와 고리는 $k$가 달라 속도도 다르다.
• C가 A·B보다 빠르다는 관계는 틀리다. 고리는 $k$가 더 커서 오히려 느리다.
• A와 C가 같고 B보다 빠르다는 관계는 틀리다. A와 C는 형상이 달라 속도가 같을 수 없고, 반경 차이만 있는 A와 B는 속도가 같다.
• A와 C가 같고 B보다 느리다는 관계도 틀리다. 작은 디스크라고 더 빠르지 않으며, A와 C는 속도가 다르다.

튀어 오르는 높이는 4번째 충돌 이후에 처음으로 $h/2$ 이하가 된다. 충돌마다 높이가 반발계수의 제곱 배로 줄기 때문이다.

충돌 직전 속도는 $v=\sqrt{2gh}$이고, 충돌 직후 속도는 $ev$이다. 높이는 속도의 제곱에 비례하므로 다음과 같다.
$h_{n}=e^{2n}h$
$e^{2}=0.9^{2}=0.81$

충돌 횟수별로 높이를 계산한다.
$n=3:\ 0.81^{3}h\approx 0.531h$
$n=4:\ 0.81^{4}h\approx 0.430h$
3회 충돌 뒤에는 아직 $0.5h$보다 높고, 4회 충돌 뒤에 처음으로 $0.5h$ 이하가 된다.

• 5번째 이후는 틀리다. 높이는 이보다 한 번 앞선 충돌에서 이미 $0.430h$로 내려갔다.
• 6번째 이후는 틀리다. 이때 높이 $0.282h$는 $0.5h$보다 한참 낮다.
• 7번째 이후는 틀리다. 이때 높이는 $0.229h$로 기준을 넘어선 지 오래다.
• 8번째 이후는 틀리다. 이때 높이는 $0.185h$이다.

막대가 수평을 유지하는 길이 비는 a : b = 2 : 3이다. 왼쪽 두 스프링을 직렬로 합성한 뒤 양쪽 처짐이 같다는 조건과 모멘트 평형을 함께 쓴다.

왼쪽 직렬 스프링의 등가 상수는 다음과 같다.
$\dfrac{1}{k_{L}}=\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{6k}=\dfrac{2}{3k}$
$k_{L}=1.5k$

수평이면 양쪽 처짐 $\delta$가 같으므로 스프링 힘은 다음과 같다.
$F_{L}=1.5k\delta,\quad F_{R}=k\delta$
힘 F의 작용점에 대한 모멘트 평형을 세운다.
$F_{L}a=F_{R}b$
$1.5a=b$
$a:b=2:3$

• 1 : 1이면 양쪽 힘이 같아, 강성이 작은 오른쪽이 왼쪽의 1.5배 처진다.
• 1 : 8은 두 스프링을 병렬처럼 $2k+6k=8k$로 더했을 때의 비이다. 실제로는 직렬 연결이므로 왼쪽이 더 처진다.
• 3 : 4이면 왼쪽과 오른쪽 힘의 비가 4 : 3으로, 강성비 3 : 2에 못 미쳐 오른쪽이 더 처진다.
• 4 : 3이면 왼쪽 힘이 오른쪽보다 작아져 오른쪽이 왼쪽의 2배 처진다.

각 처짐량은 (a) x/2, (b) x/2, (c) x/2, (d) x/8이다. 처짐은 단면 2차 모멘트에 반비례하므로 기준 빔과 I의 비만 비교하면 된다.

단순지지보 중앙 집중하중의 처짐과 기준 빔의 단면 2차 모멘트는 다음과 같다.
$\delta=\dfrac{FL^{3}}{48EI}$
$I_{0}=\dfrac{h^{4}}{12}$

(a) 나란한 두 빔이 하중을 절반씩 받으므로 처짐은 x/2이다.
(b) 폭 2h, 높이 h이므로 $I=\dfrac{2h\cdot h^{3}}{12}=2I_{0}$이고 처짐은 x/2이다.
(c) 마찰이 없어 두 빔이 각각 따로 휜다. 전체 I가 $2I_{0}$이므로 처짐은 x/2이다.
(d) 폭 h, 높이 2h이므로 $I=\dfrac{h(2h)^{3}}{12}=8I_{0}$이고 처짐은 x/8이다.

• 네 경우가 모두 x/2라는 조합은 (d)가 틀리다. 높이가 2배이면 I는 세제곱에 따라 8배가 된다.
• (c)와 (d)가 모두 x/8이라는 조합은 (c)를 한 덩어리로 본 것이다. 마찰이 없으면 겹친 두 빔은 일체로 휘지 않는다.
• (b)와 (d)가 모두 x/4라는 조합은 폭과 높이의 영향을 제곱으로 잡은 것이다. 폭은 1제곱, 높이는 세제곱으로 작용한다.
• (b)만 x/4로 둔 조합은 폭의 영향을 잘못 잡은 것이다. 폭이 2배이면 I도 2배이므로 (b)는 x/2이다.

옳은 설명은 ㄴ과 ㄷ이다.

ㄱ과 ㄹ은 틀린 설명이므로, 옳은 것을 정확히 ㄴ·ㄷ으로 묶은 조합 하나만 성립한다.

• ㄱ(틀림): 베어링메탈은 마찰열을 빨리 내보내야 하므로 열전도율이 높을수록 좋다.
• ㄴ(옳음): 스러스트베어링은 축방향 하중을 받치는 베어링이다.
• ㄷ(옳음): 롤러베어링은 선접촉이라 점접촉인 볼베어링보다 하중 능력이 크고 충격에 강하다.
• ㄹ(틀림): 켈밋(kelmet)은 구리(Cu)와 납(Pb)을 주성분으로 하는 합금이다.

설명에 해당하는 용접결함은 스패터(spatter)이다.

스패터는 용접 중 용융금속이 작은 방울로 튀어 용접부 주변에 달라붙는 결함이며, 전류나 아크가 과다하거나 용접봉에 결함이 있을 때 생긴다.

• 기공은 가스가 용착금속 안에 갇혀 생긴 빈 구멍이다.
• 균열은 용접부나 주변이 수축 응력 등으로 갈라지는 결함이다.
• 언더컷(undercut)은 용접 경계의 모재가 패여 홈으로 남는 결함이다.
• 오버랩(overlap)은 용융금속이 모재와 융합되지 않고 겹쳐 덮이는 결함이다.

소성가공에 속하지 않는 것은 주조이다.

소성가공은 고체 금속에 힘을 가해 영구변형시켜 모양을 만드는 방법이고, 주조는 금속을 녹여 주형에 부어 응고시키는 방법이다.

• 전조는 다이 사이에서 소재를 굴려 나사나 기어 형상을 만드는 소성가공이다.
• 단조는 해머나 프레스로 소재를 압축해 성형하는 소성가공이다.
• 인발은 소재를 다이 구멍으로 잡아당겨 단면을 줄이는 소성가공이다.
• 압연은 회전하는 롤 사이로 소재를 통과시켜 두께를 줄이는 소성가공이다.

기체의 엔탈피 변화는 $45\,\mathrm{kJ}$이다.

엔탈피는 내부에너지에 $PV$를 더한 상태량이므로, 처음과 나중 상태만으로 구한다.
공식: $\Delta H=\Delta U+(P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1})$
대입: $\Delta H=30+(250\times0.1-200\times0.05)$
정리: $\Delta H=30+(25-10)$
결과: $\Delta H=45\,\mathrm{kJ}$ ($\mathrm{kPa\cdot m^3}=\mathrm{kJ}$)

• $30\,\mathrm{kJ}$은 내부에너지 변화만 본 값으로 $PV$ 변화가 빠져 있다.
• $15\,\mathrm{kJ}$은 $PV$ 변화만 본 값으로 내부에너지 변화가 빠져 있다.

두 지점 간 압력 차는 1지점 동압의 3배이다.

연속방정식으로 속도를 구한 뒤, 높이가 같은 수평관이므로 베르누이 방정식에서 위치 항을 지운다.
연속방정식: $AV_{1}=0.5AV_{2}$, 따라서 $V_{2}=2V_{1}$
베르누이: $P_{1}-P_{2}=\dfrac{1}{2}\rho V_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}\rho V_{1}^{2}$
대입: $P_{1}-P_{2}=\dfrac{1}{2}\rho(4V_{1}^{2}-V_{1}^{2})$
결과: $P_{1}-P_{2}=3\times\dfrac{1}{2}\rho V_{1}^{2}$

4배는 2지점의 동압 자체를 나타낸 값이며, 압력 차는 두 지점 동압의 차이므로 1지점 동압을 빼야 한다.

필요한 전열기 전력은 $1400\,\mathrm{W}$이다.

물이 얻는 열량을 가열 시간으로 나누면 전력이 된다. 물 $500\,\mathrm{ml}$의 질량은 $0.5\,\mathrm{kg}$이다.
열량: $Q=mc\Delta T=0.5\times4.2\times(100-20)=168\,\mathrm{kJ}$
전력: $P=\dfrac{Q}{t}=\dfrac{168\,\mathrm{kJ}}{120\,\mathrm{s}}=1.4\,\mathrm{kW}$
환산: $1.4\,\mathrm{kW}=1400\,\mathrm{W}$

값 $2800\,\mathrm{W}$는 2분을 $60\,\mathrm{s}$로 잘못 환산했을 때 나오는 수치다.

과정 1→4→3에서 출입한 열은 60 kJ(흡수)이다. 내부에너지는 상태량이므로 처음과 끝 상태가 같으면 경로가 달라도 변화량이 같다.

경로 1→2→3에 열역학 제1법칙을 적용한다.
$\Delta U=Q-W=120-80=40\,\mathrm{kJ}$

같은 $\Delta U$를 경로 1→4→3에 적용한다.
$Q=\Delta U+W=40+20=60\,\mathrm{kJ}$

• 열이 -140 kJ이면 $\Delta U=-160\,\mathrm{kJ}$이 되어 경로 1→2→3의 값과 어긋난다.
• 열이 -80 kJ이면 $\Delta U=-100\,\mathrm{kJ}$이 되어 역시 맞지 않는다.
• 열이 0이면 $\Delta U=-20\,\mathrm{kJ}$이 되어 내부에너지 증가와 모순이다.
• 열이 40 kJ이면 $\Delta U$ 값을 그대로 열로 본 것으로, 계가 한 일 20 kJ이 빠졌다.

해당 점에서의 속도 크기는 $\sqrt{17}$이다.

2차원 유동에서 속도 성분은 유선함수의 편미분으로 구한다.
공식: $u=\dfrac{\partial\psi}{\partial y},\ v=-\dfrac{\partial\psi}{\partial x}$
미분: $u=1,\ v=-2x$
위치: $\psi=5,\ x=2$이면 $y=1$이고, $x=2$에서 $v=-4$
속도 크기: $V=\sqrt{u^{2}+v^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{17}$

유선함수의 부호 규약을 반대로 잡아도 성분의 부호만 바뀌므로 속도의 크기는 같다.

원통모양 물체의 부피는 0.04 m³이다. 물체에는 줄의 장력, 부력, 무게가 작용하며 세 힘이 평형을 이룬다.

줄의 장력은 추의 무게와 같고, 부력은 잠긴 부피 $\dfrac{3}{4}V$만큼의 물 무게이다.
$T=50g$
$B=1000\times\dfrac{3}{4}V\times g=750Vg$
$W=2000Vg$

위쪽 힘의 합이 무게와 같다고 놓으면 g가 소거된다.
$50g+750Vg=2000Vg$
$1250V=50$
$V=0.04\,\mathrm{m^{3}}$

• 0.05 m³이면 평형에 필요한 추가 $1250\times 0.05=62.5\,\mathrm{kg}$이 되어 주어진 50 kg과 맞지 않는다.
• 0.06 m³이면 필요한 추가 75 kg이 된다.
• 0.07 m³이면 필요한 추가 87.5 kg이 된다.
• 0.08 m³이면 필요한 추가 100 kg이 된다.

기름막의 점성계수는 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{N\cdot s/m^{2}}$이다. 등속이므로 경사 방향 중력 성분이 기름막의 점성 전단력과 평형을 이룬다.

경사 방향 중력 성분은 다음과 같다.
$F=mg\sin 45^\circ=1\times 9.8\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4.9\sqrt{2}\,\mathrm{N}$

뉴턴의 점성법칙에서 전단력은 면적과 속도에 비례하고 막 두께에 반비례한다.
$F=\mu A\dfrac{V}{t}$
면적은 $A=0.02\,\mathrm{m^{2}}$, 두께는 $t=0.002\,\mathrm{m}$이다.
$\mu=\dfrac{Ft}{AV}=\dfrac{4.9\sqrt{2}\times 0.002}{0.02\times 0.98}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

• $\sqrt{2}/5$이면 전단력이 $1.96\sqrt{2}\,\mathrm{N}$에 그쳐 중력 성분보다 작으므로 등속이 유지되지 않는다.
• $\sqrt{2}/4$이면 전단력이 $2.45\sqrt{2}\,\mathrm{N}$으로 역시 부족하다.
• $\sqrt{2}/3$이면 전단력이 중력 성분의 3분의 2에 그친다.
• $1/4$이면 전단력이 $2.45\,\mathrm{N}$으로 중력 성분에 크게 못 미친다.

옳은 설명은 방출하는 열량이 흡수하는 열량보다 많다는 것이다. 응축기 방출열은 증발기 흡수열에 압축일을 더한 값이기 때문이다.

선도의 엔탈피 값을 읽으면 상태 1은 $4h_{0}$, 상태 2는 $5h_{0}$, 상태 3과 4는 $h_{0}$이다.
흡수열: $q_{L}=4h_{0}-h_{0}=3h_{0}$
압축일: $w=5h_{0}-4h_{0}=h_{0}$
방출열: $q_{H}=5h_{0}-h_{0}=4h_{0}$

성능계수는 다음과 같다.
냉동기: $\dfrac{q_{L}}{w}=3$
열펌프: $\dfrac{q_{H}}{w}=4$

• 냉동기로 쓸 때 성능계수가 4라는 설명은 틀리다. 냉동기 성능계수는 3이고, 4는 열펌프의 값이다.
• 열펌프로 쓸 때 성능계수가 5라는 설명은 틀리다. 열펌프 성능계수는 4이다.
• 3에서 4로 갈 때 열을 방출한다는 설명은 틀리다. 이 과정은 엔탈피가 일정한 팽창 과정이고, 열 방출은 2에서 3으로 가는 응축 과정이다.
• 1에서 2로 갈 때 열을 흡수한다는 설명은 틀리다. 이 과정은 압축 과정이고, 열 흡수는 4에서 1로 가는 증발 과정이다.

축류수차로만 짝지어진 것은 카플란수차와 프로펠러수차이다.

축류수차는 물이 회전축과 나란한 방향으로 러너를 통과하는 수차로, 카플란수차는 날개 각도를 조절할 수 있고 프로펠러수차는 날개가 고정된 형식이다.

• 프란시스수차와 바커수차의 짝: 프란시스수차가 물이 반지름 방향으로 들어와 축 방향으로 나가는 형식이라 축류수차가 아니다.
• 카플란수차와 프란시스수차의 짝: 카플란수차는 축류수차지만 프란시스수차가 축류수차가 아니다.
• 펠톤수차와 프로펠러수차의 짝: 프로펠러수차는 축류수차지만 펠톤수차는 노즐의 분사수가 버킷을 때리는 충동수차다.
• 펠톤수차와 프란시스수차의 짝: 둘 다 축류수차가 아니다.

설명에 적절한 현상은 수격현상(water hammer)이다.

밸브가 갑자기 닫히면 유체의 운동량이 급격히 변하면서 압력파가 관로를 왕복하고, 이 충격이 지속되면 관로가 손상될 수 있다.

• 공동현상(cavitation)은 압력이 포화증기압 아래로 떨어져 기포가 생기고 터지는 현상이다.
• 맥동현상은 유량이나 압력이 주기적으로 오르내리는 현상으로, 밸브 급폐쇄의 압력파와는 구분된다.
• 축추력현상은 회전체에 축 방향 힘이 작용하는 현상이다.
• 서징현상(surging)은 펌프나 송풍기 운전 중 압력과 유량이 주기적으로 변동하는 현상이다.