23년 1회차

옳지 않은 것은 열이 열량이 높은 곳에서 낮은 곳으로 전달된다는 설명이다.

열전달의 방향을 정하는 것은 열량이 아니라 온도이며, 열은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 자연스럽게 이동한다.

• 저온부에서 고온부로 열이 저절로 이동하지 않는다는 설명은 열역학 제2법칙의 클라우지우스 표현으로 옳다.
• 단열 상태에서 계가 한 일만큼 내부에너지가 변한다는 설명은 $Q = \Delta U + W$에서 $Q = 0$이므로 옳다.
• 단일 열원의 열을 사이클로 모두 일로 바꾸는 열기관을 만들 수 없다는 설명은 켈빈-플랑크 표현으로 옳다.
• 제2종 영구기관이 제2법칙에 위배된다는 설명은 단일 열원만으로 열을 전부 일로 바꾸려는 기관이기 때문에 옳다.

단위가 J인 물리량은 일(ㄱ)과 에너지(ㄷ)이다.

줄은 $1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N\cdot m}$로 정의되며, 일과 에너지는 같은 차원을 갖는다.

• ㄱ 일: 힘과 이동 거리의 곱이므로 단위가 J이다(해당).
• ㄴ 일률: 단위 시간당 한 일이므로 단위가 $\mathrm{J/s} = \mathrm{W}$이다(해당 없음).
• ㄷ 에너지: 일을 할 수 있는 능력으로 단위가 J이다(해당).
• ㄹ 운동량: 질량과 속도의 곱이므로 단위가 $\mathrm{kg\cdot m/s}$이다(해당 없음).

따라서 맞는 조합은 ㄱ과 ㄷ을 함께 고른 것 하나뿐이다.

밀폐계가 한 일은 $0.8\ \mathrm{J}$이다. 일은 P-V 선도 아래 면적과 같다.

상태 1에서 상태 2까지 압력이 직선으로 변하므로 면적은 사다리꼴이다.
$W=\displaystyle\int P\,dV$
$W=\dfrac{(5+3)\ \mathrm{N/m^{2}}}{2}\times(0.3-0.1)\ \mathrm{m^{3}}$
$W=0.8\ \mathrm{J}$

• $0.5$는 틀리다. 낮은 압력으로만 계산한 하한값보다도 작다.
• $0.6$은 틀리다. 낮은 압력 $3$만 곱한 직사각형 면적으로, 위쪽 삼각형 넓이가 빠졌다.
• $1.0$은 틀리다. 높은 압력 $5$를 곱한 직사각형 면적으로, 실제 면적보다 크다.
• $1.2$는 틀리다. 높은 압력으로 계산한 상한값도 넘는다.

설명에 해당하는 사이클은 카르노(Carnot) 사이클이다.

카르노 사이클은 가역 등온 2개와 가역 단열 2개로 이루어지며, 효율 $\eta = 1 - \dfrac{T_L}{T_H}$은 열원의 온도만의 함수이다.

• 디젤 사이클은 단열 압축·정압 가열·단열 팽창·정적 방열로 이루어진다.
• 재열 랭킨 사이클은 팽창 도중의 증기를 다시 가열하는 증기 동력 사이클이다.
• 재생 사이클은 팽창 중인 증기 일부를 뽑아 급수를 가열하는 증기 동력 사이클이다.
• 오토 사이클은 단열 과정 2개와 정적 과정 2개로 이루어진다.

끝단 처짐이 가장 커지는 경우는 단면 높이 $h$를 $h/2$로 줄일 때로, 처짐이 8배가 된다.

외팔보 끝단 처짐과 직사각형 단면의 단면 2차 모멘트는 다음과 같다.
$\delta=\dfrac{PL^{3}}{3EI}$
$I=\dfrac{bh^{3}}{12}$
두 식을 합치면 처짐은 $h^{3}$에 반비례한다.
$\delta=\dfrac{4PL^{3}}{Ebh^{3}}$

• 탄성계수를 $E/2$로 바꾸면 처짐은 2배에 그친다.
• 길이를 $L/2$로 바꾸면 처짐은 $1/8$배로 오히려 줄어든다.
• 하중을 $2P$로 바꾸면 처짐은 2배에 그친다.
• 폭을 $b/2$로 바꾸면 처짐은 2배에 그친다.

최대 전단응력은 $\dfrac{4T}{15\pi c^{3}}$이다. 비틀림 전단응력은 바깥 표면에서 가장 크다.

중공축의 극단면 2차 모멘트는 다음과 같다.
$J=\dfrac{\pi}{2}\left[(2c)^{4}-c^{4}\right]=\dfrac{15\pi c^{4}}{2}$

바깥 반지름 $r=2c$를 대입한다.
$\tau_{\max}=\dfrac{Tr}{J}$
$\tau_{\max}=\dfrac{T\cdot 2c}{15\pi c^{4}/2}=\dfrac{4T}{15\pi c^{3}}$

• 계수가 2이고 분모가 $15\pi c^{3}$인 식은 틀리다. 분자의 $r=2c$와 $J$ 분모의 2를 함께 반영하면 계수는 4가 된다.
• 계수가 4이고 분모가 $7\pi c^{2}$인 식은 틀리다. 응력의 차원이 맞으려면 $c^{3}$이어야 하고, 분모의 15는 $2^{4}-1$에서 나온다.
• 계수가 2이고 분모가 $7\pi c^{2}$인 식은 틀리다. $c$의 차수와 분모의 계수가 모두 맞지 않는다.
• 분모가 $3\pi c$인 식은 틀리다. 역시 $c$의 차수가 맞지 않는다.

정적 인장시험의 응력-변형률 선도에서 알 수 없는 것은 피로한도이다.

피로한도는 반복하중을 가하는 피로시험의 S-N 곡선에서 구하므로, 하중을 한 번 서서히 늘려 가는 정적 시험으로는 얻을 수 없다.

• 연신율은 파단 시의 변형량을 원래 표점거리로 나누어 구한다.
• 항복강도는 선도에서 항복이 시작되는 응력으로 읽는다.
• 탄성계수는 선도 초기 직선 구간의 기울기로 구한다.
• 인장강도는 선도의 최대 공칭응력으로 읽는다.

압력 차이는 $\Delta p=\dfrac{\rho}{2}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)$이다. 정상·비점성·비압축성 유동이므로 베르누이 정리를 쓴다.

높이 변화를 고려하지 않으면 입구와 출구 사이에 다음이 성립한다.
$p_{1}+\dfrac{\rho v_{1}^{2}}{2}=p_{2}+\dfrac{\rho v_{2}^{2}}{2}$
$p_{2}-p_{1}=\dfrac{\rho}{2}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)$

연속 방정식 $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$를 쓰면 다른 형태로도 바꿀 수 있지만, 아래 면적비 식들은 이와 일치하지 않는다.

• $\rho\dfrac{v_{2}^{2}}{2}\left(1+(S_{2}/S_{1})^{2}\right)$은 틀리다. 두 속도 항의 차가 아니라 합이 되어 있다.
• $\rho\dfrac{v_{1}^{2}}{2}\left(1-(S_{2}/S_{1})^{2}\right)$은 틀리다. $v_{2}=v_{1}S_{1}/S_{2}$이므로 면적비가 $S_{1}/S_{2}$여야 한다.
• $\rho\dfrac{v_{2}^{2}}{2}\left(1-(S_{1}/S_{2})^{2}\right)$은 틀리다. 올바른 식은 $\rho\dfrac{v_{2}^{2}}{2}\left((S_{2}/S_{1})^{2}-1\right)$이다.
• $\dfrac{\rho}{2}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)$은 틀리다. 동압 항은 더해지지 않고 차로 남는다.

이동평판 벽면의 전단응력은 $40\ \mathrm{Pa}$이다. 뉴턴의 점성법칙에 따라 점성계수와 속도구배의 곱으로 구한다.

속도분포가 선형이므로 속도구배는 어디서나 같다.
$\dfrac{dv}{dy}=\dfrac{4\ \mathrm{m/s}}{0.02\ \mathrm{m}}=200\ \mathrm{s^{-1}}$

전단응력을 계산한다.
$\tau=\mu\dfrac{dv}{dy}$
$\tau=0.2\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}\times 200\ \mathrm{s^{-1}}$
$\tau=40\ \mathrm{N/m^{2}}=40\ \mathrm{Pa}$

• $10$은 틀리다. 속도구배가 $50\ \mathrm{s^{-1}}$일 때의 값이다.
• $20$은 틀리다. 속도구배가 $100\ \mathrm{s^{-1}}$일 때의 값이다.
• $30$은 틀리다. 속도구배가 $150\ \mathrm{s^{-1}}$일 때의 값이다.
• $50$은 틀리다. 속도구배가 $250\ \mathrm{s^{-1}}$일 때의 값이다.

옳지 않은 것은 레이놀즈 수가 점성력을 관성력으로 나눈 값이라는 설명이다. 실제로는 관성력을 점성력으로 나눈 값이다.

정의식은 $Re = \dfrac{\rho V L}{\mu}$이며, 분자가 관성력, 분모가 점성력의 크기를 나타낸다.

• 속도는 분자에 있으므로 속도가 증가하면 레이놀즈 수가 커진다.
• 밀도도 분자에 있으므로 밀도가 증가하면 레이놀즈 수가 커진다.
• 기하학적으로 닮은 두 유동의 레이놀즈 수가 같으면 동적 상사가 성립하므로, 이를 판별 기준으로 쓸 수 있다.
• 분자와 분모의 단위가 서로 상쇄되므로 레이놀즈 수는 무차원이다.

바르게 연결된 것은 동점성계수와 단위 $\mathrm{m^2/s}$이다.

동점성계수는 점성계수를 밀도로 나눈 값으로, $\nu = \dfrac{\mu}{\rho}$의 단위를 정리하면 $\mathrm{m^2/s}$가 된다.

• 비중량은 단위 체적당 무게이므로 단위가 $\mathrm{N/m^3}$이다.
• 압력은 단위 면적당 힘이므로 단위가 $\mathrm{N/m^2}$이다.
• 힘의 단위는 $\mathrm{N}$이다.
• 표면장력은 단위 길이당 힘이므로 단위가 $\mathrm{N/m}$이다.

드로잉 성형의 결함으로 옳지 않은 것은 스프링백(springback)이다.

스프링백은 하중을 제거한 뒤 탄성 회복으로 형상이 되돌아가는 현상으로, 주로 굽힘 가공에서 다룬다.

• 플랜지부 주름은 플랜지가 안쪽으로 끌려 들어가며 받는 원주 방향 압축으로 생긴다.
• 용기 벽에 나타나는 주름은 플랜지의 주름이 다이 안쪽으로 끌려 들어가며 나타나는 결함이다.
• 이어링(earing)은 판재의 이방성 때문에 용기 끝단이 귀 모양으로 물결치는 결함이다.
• 파열은 벽부에 걸리는 인장응력이 판재가 견딜 수 있는 한계를 넘을 때 생긴다.

옳지 않은 것은 재결정 온도 이상으로 가열하고 서서히 식히는 방법이다. 이는 어닐링(annealing)으로, 금속을 오히려 연화시킨다.

금속의 항복강도는 전위의 이동을 방해할수록 높아지는데, 어닐링은 전위를 줄이고 새 결정립을 만들어 항복강도를 낮춘다.

• 결정립을 작게 하면 전위 이동의 장벽인 결정립계가 늘어나 항복강도가 높아진다.
• 가공경화는 소성변형으로 늘어난 전위가 서로 얽혀 이동을 방해하므로 항복강도가 높아진다.
• 전위의 밀도를 증가시키면 전위끼리의 상호작용이 커져 항복강도가 높아진다.
• 왜곡된 결정 구조는 격자 변형이 전위 이동을 방해하므로 항복강도가 높아진다.

옳지 않은 것은 순간가속도 방향이 경로의 접선방향이라는 설명이다. 등속원운동의 가속도는 원의 중심을 향하는 구심가속도이다.

속력이 일정하므로 접선방향 가속도는 0이고, 속도의 방향 변화에 따른 법선방향 가속도 $a = \dfrac{v^2}{r}$만 남는다.

• 순간속도의 방향은 어느 위치에서나 경로의 접선방향이다.
• 접선방향은 위치마다 다르므로 순간속도의 방향은 위치에 따라 변한다.
• 순간속도는 $x$, $y$ 성분으로 나누어 직각좌표계로 표현할 수 있다.
• 순간가속도의 크기는 $\dfrac{v^2}{r}$로 일정하다.

충돌 후 물체 A의 속도는 $v_{A}'=\dfrac{1}{4}v_{A}$이다. 운동량 보존과 반발계수 정의를 연립한다.

질량이 같고 B가 정지해 있으므로 운동량 보존식은 다음과 같다.
$v_{A}=v_{A}'+v_{B}'$
반발계수는 충돌 전후 상대속도의 비이다.
$e=\dfrac{v_{B}'-v_{A}'}{v_{A}}=0.5$

두 식을 빼면 결과가 나온다.
$2v_{A}'=(1-0.5)v_{A}$
$v_{A}'=\dfrac{1}{4}v_{A}$

• $\dfrac{1}{8}v_{A}$는 틀리다. 이 경우 $v_{B}'=\dfrac{7}{8}v_{A}$가 되어 반발계수가 $0.75$이다.
• $\dfrac{3}{8}v_{A}$는 틀리다. 이 경우 $v_{B}'=\dfrac{5}{8}v_{A}$가 되어 반발계수가 $0.25$이다.
• $\dfrac{1}{2}v_{A}$는 틀리다. 두 물체가 같은 속도로 움직이는 완전 비탄성 충돌의 값이다.
• $\dfrac{3}{5}v_{A}$는 틀리다. 이 경우 $v_{B}'=\dfrac{2}{5}v_{A}$가 되어, 뒤에서 온 A가 앞선 B보다 빨라 충돌 뒤 상황으로 성립하지 않는다.

필요한 액체의 질량은 금속이 잃은 열량과 액체가 얻은 열량이 같다는 조건으로 구하며, 결과는 $m = \dfrac{C_1 t_1}{C_2 (t_1 - 2t_2)} m_1$이다.

공식: 평형온도가 $\dfrac{t_1}{2}$이므로 열평형식은 $m_1 C_1 \left( t_1 - \dfrac{t_1}{2} \right) = m C_2 \left( \dfrac{t_1}{2} - t_2 \right)$이다.

대입: 양변을 정리하면 $m_1 C_1 \dfrac{t_1}{2} = m C_2 \dfrac{t_1 - 2t_2}{2}$이다.
결과: $m$에 대해 풀면 분자에 $C_1 t_1$, 분모에 $C_2 (t_1 - 2t_2)$가 온다.

• $\dfrac{C_2 t_1}{C_1 (t_1 - 2t_2)} m_1$은 두 비열의 위치가 뒤바뀐 식이다.
• $\dfrac{C_2 t_2}{C_1 (t_1 - 2t_2)} m_1$은 비열이 뒤바뀌고 분자의 온도도 다른 식이다.
• $\dfrac{C_2 (t_1 - 2t_2)}{C_1 t_1} m_1$은 비례계수를 역수로 뒤집은 식이다.
• $\dfrac{C_1 (t_1 - 2t_2)}{C_2 t_1} m_1$은 온도 항의 분자와 분모가 뒤바뀐 식이다.

옳지 않은 설명은 질량 $M$이 고유진동수에 영향을 미친다는 것이다. 단진자의 고유진동수에는 질량이 들어가지 않는다.

접선 방향 운동방정식에서 양변의 질량이 약분되고, 작은 각도에서 $\sin\theta\approx\theta$로 선형화한다.
$M\ell\ddot{\theta}+Mg\sin\theta=0$
$\ell\ddot{\theta}+g\theta=0$
$\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}$

• 위치에너지 변화가 $Mg\ell(1-\cos\theta)$라는 설명은 맞다. 물체가 $\ell(1-\cos\theta)$만큼 올라가기 때문이다.
• 중력가속도가 고유진동수에 영향을 미친다는 설명은 맞다. $g$가 식에 들어 있다.
• 선형 운동방정식이 $\ell\ddot{\theta}+g\theta=0$이라는 설명은 맞다. 위 유도 결과와 같다.
• 줄이 길수록 고유진동수가 낮아진다는 설명은 맞다. $\ell$이 분모에 있다.

옳지 않은 설명은 고유진동수가 각각 $\sqrt{k_{1}/m_{1}}$, $\sqrt{k_{2}/m_{2}}$라는 것이다. 두 질량이 $k_{2}$로 이어져 있어 연성되므로 따로 구할 수 없다.

고유진동수는 강성행렬과 질량행렬로 만든 특성방정식을 풀어 얻는다.
$\det\left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)=0$
$\left(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2}\right)\left(k_{2}-m_{2}\omega^{2}\right)-k_{2}^{2}=0$

• 2자유도 진동계라는 설명은 맞다. 변위 $x_{1}$, $x_{2}$ 두 개로 운동이 정해진다.
• 고유진동수가 2개라는 설명은 맞다. 특성방정식이 $\omega^{2}$에 대한 이차식이다.
• 제시된 행렬 운동방정식은 맞다. $m_{1}$에는 $k_{1}$과 $k_{2}$가, $m_{2}$에는 $k_{2}$만 작용한다.
• 두 질량이 모두 증가하면 고유진동수가 감소한다는 설명은 맞다. 강성이 그대로일 때 질량이 커지면 특성방정식의 근 $\omega^{2}$가 모두 작아지기 때문이다.

금속판을 통해 1분 동안 전달되는 열량은 4,800 kJ이다.

공식: 푸리에 열전도 법칙에 따른 열전달률은 $\dot{Q} = kA \dfrac{\Delta T}{L}$이다.

대입: $\dot{Q} = 20 \times 1 \times \dfrac{80 - 40}{0.01} = 80000\ \mathrm{W} = 80\ \mathrm{kJ/s}$
결과: $Q = 80\ \mathrm{kJ/s} \times 60\ \mathrm{s} = 4800\ \mathrm{kJ}$

두께는 m 단위로 환산(10 mm = 0.01 m)하고, 시간은 초 단위로 곱해야 한다.