22년 1회차

옳지 않은 설명은 $V_{i} \lt V_{2}$일 때 $I_{R}=\dfrac{V_{2}-V_{i}}{R}$라는 내용이다.

$I_{R}$의 기준 방향은 입력에서 출력 쪽이다. 이 구간에서는 $D_{2}$가 도통해 출력이 $V_{2}$에 고정되므로 저항 양단 전압으로 쓰면 다음과 같다.
$I_{R}=\dfrac{V_{i}-V_{2}}{R}$

값은 음수이며, 실제 전류가 기준 방향의 반대로 흐른다는 뜻이다. 제시된 식은 부호가 반대이다.

• $V_{i} \gt V_{1}$ 구간의 동작: 출력이 $V_{1}$을 넘으려 하므로 $D_{1}$만 도통해 $V_{o}=V_{1}$이다.
• $V_{i} \lt V_{2}$ 구간의 동작: $D_{2}$의 애노드가 더 높아 $D_{2}$만 도통하고 $V_{o}=V_{2}$이다.
• $V_{2} \lt V_{i} \lt V_{1}$ 구간의 동작: 두 다이오드가 모두 역바이어스라 전류가 없고 $V_{o}=V_{i}$이다.
• $V_{i} \gt V_{1}$ 구간의 전류: 저항 양단 전압이 $V_{i}-V_{1}$이므로 $I_{R}=\dfrac{V_{i}-V_{1}}{R}$이다.

권선비는 $n=\dfrac{1}{5}$이다.

정합 조건은 1차측에서 본 부하 저항이 $R_{G}$와 같아지는 것이다. 변압기는 저항을 권선비의 제곱으로 환산한다.
$R_{L}\left(\dfrac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}=R_{G}$

$n=N_{2}/N_{1}$을 대입해 계산한다.
$\dfrac{8}{n^{2}}=200$
$n^{2}=0.04$
$n=\dfrac{1}{5}$

• $n=5$: 권선비를 $N_{1}/N_{2}$로 뒤집어 본 값이다.
• $n=\dfrac{1}{25}$: 제곱근을 취하지 않은 $8/200$에 해당하며, 임피던스비를 권선비로 본 값이다.
• $n=25$: 임피던스비를 권선비로 보고 위아래까지 뒤집은 값이다.
• $n=1$: 변압기가 없는 것과 같아 $200\,\Omega$과 $8\,\Omega$이 정합되지 않는다.

전달함수는 $H(s)=\dfrac{s^{2}}{s^{2}+s/RC+1/LC}$이다.

출력은 $R$과 $L$의 병렬 임피던스에 걸리고 $C$와 전압 분배를 이룬다.
$Z=\dfrac{sLR}{R+sL}$
$H(s)=\dfrac{Z}{Z+\dfrac{1}{sC}}$

대입해 정리하면 다음과 같다.
$H(s)=\dfrac{s^{2}LRC}{s^{2}LRC+sL+R}$
분자와 분모를 $LRC$로 나누면 위 결과가 된다.

분자가 $s^{2}$뿐이므로 $s\to 0$에서 0, $s\to\infty$에서 1이 되어 고역통과 특성과도 맞는다.

• 분자가 $R$인 식: 고주파에서 0으로 가므로 저역통과 꼴이다.
• 분자가 $s/LC$인 식: 고주파에서 0으로 가므로 대역통과 꼴이다.
• 분자가 $sR$인 식: 역시 대역통과 꼴이며 차원도 맞지 않는다.
• 분자가 $s^{2}/LC$인 식: 고주파 이득이 1이 아니라 $1/LC$가 되어 수동 회로의 결과와 어긋난다.

CC 증폭기(이미터 폴로워)는 입력 전압과 출력 전압이 동위상이다.

CC 증폭기의 출력은 이미터에서 얻으므로 이미터 전압이 베이스 전압을 그대로 따라간다. 전압이득은 $A_{v} \approx \dfrac{R_{E}}{r_{e} + R_{E}}$ 로, 양수이면서 1보다 약간 작다.

• CE 증폭기에 바이패스되지 않은 이미터 저항을 넣는 경우: 전압이득이 $\dfrac{R_{C}}{r_{e} + R_{E}}$ 크기로 작아지므로 증가한다는 설명은 틀리다. 대신 동작이 안정해진다.
• CC 증폭기의 출력임피던스가 가장 크다는 설명: 세 유형 중 출력임피던스는 CC가 가장 작아 버퍼로 쓰인다.
• CB 증폭기로 큰 전류이득을 얻는다는 설명: CB의 전류이득은 $\alpha$ 로 1보다 약간 작다. CB는 전류이득이 아니라 전압이득을 얻는 구성이다.
• CE 증폭기의 전압이득이 1보다 약간 작다는 설명: 이는 CC의 특성이다. CE는 큰 전압이득을 내며 출력 위상이 반전된다.

세 값은 $I_{n}=0.2\,\mathrm{A}$, $R_{n}=12\,\Omega$, $I_{L}=0.12\,\mathrm{A}$이다.

노턴 전류는 단자 a-a'을 단락했을 때의 전류로, 각 전원 가지의 전류를 더한다.
$I_{n}=\dfrac{2}{20}+\dfrac{3}{30}=0.1+0.1=0.2\,\mathrm{A}$

등가 저항은 전압원을 단락한 상태의 병렬 합성이다.
$R_{n}=\dfrac{20\times 30}{20+30}=12\,\Omega$

부하 전류는 전류 분배로 구한다.
$I_{L}=0.2\times\dfrac{12}{12+8}=0.12\,\mathrm{A}$

• 0.048 A / 12 Ω / 0.0062 A: 등가 저항만 맞고 노턴 전류가 단락 전류와 다르며 부하 전류도 전류 분배 결과와 맞지 않는다.
• -0.048 A / 50 Ω / -0.0062 A: 두 전지가 같은 극성으로 놓여 있어 전류가 음수가 될 수 없고, 등가 저항도 직렬 합이다.
• 0.1 A / 50 Ω / 0.0139 A: 두 저항을 직렬로 보아 전압 합 5 V를 50 Ω으로 나눈 값이다.
• -0.1 A / 50 Ω / -0.0139 A: 같은 직렬 오인에 부호까지 반대로 잡은 값이다.

임피던스 행렬은 $\begin{bmatrix}2-j4 & -j4\\ -j4 & -j2\end{bmatrix}$이다.

T형 회로에서 가운데 가지 $-j4\,\Omega$은 두 포트에 공통이므로 상호 임피던스가 된다.
$Z_{12}=Z_{21}=-j4$

자기 임피던스는 각 포트 쪽 직렬 소자에 공통 가지를 더한 값이다.
$Z_{11}=2+(-j4)=2-j4$
$Z_{22}=j2+(-j4)=-j2$

• $Z_{12}=j4$, $Z_{22}=j2$인 행렬: 상호 임피던스의 대칭이 깨져 있고 $Z_{22}$에 공통 가지가 빠졌다.
• $Z_{11}=2+j4$, $Z_{12}=Z_{21}=j4$, $Z_{22}=j2$인 행렬: 커패시터의 부호를 인덕터처럼 잡고 $Z_{22}$도 틀렸다.
• $Z_{11}=2+j4$, $Z_{12}=Z_{21}=j4$, $Z_{22}=-j2$인 행렬: $Z_{22}$만 맞고 나머지는 공통 가지의 부호가 반대이다.
• $Z_{11}=2+j4$, $Z_{12}=j4$, $Z_{21}=-j4$인 행렬: 수동 소자만의 회로는 가역이어서 $Z_{12}=Z_{21}$이어야 한다.

컷오프 주파수는 $f_{c}=\dfrac{100}{\pi}\,\mathrm{Hz}$이다.

반전 증폭기 구조이므로 이득은 귀환 임피던스와 입력 임피던스의 비이다. 귀환부는 $R_{1}$과 $C_{2}$의 병렬이고 입력부는 $C_{1}$이다.
$H(s)=-\dfrac{sR_{1}C_{1}}{1+sR_{1}C_{2}}$

분모의 극이 컷오프를 정하므로 $R_{1}$과 $C_{2}$의 시정수만 쓴다.
$f_{c}=\dfrac{1}{2\pi R_{1}C_{2}}$
$f_{c}=\dfrac{1}{2\pi\times 5\times 10^{3}\times 1\times 10^{-6}}=\dfrac{100}{\pi}\,\mathrm{Hz}$

• $\dfrac{\pi}{100}\,\mathrm{Hz}$: 위 식의 역수 꼴로, 분자와 분모를 뒤집은 값이다.
• $\dfrac{200}{\pi}\,\mathrm{Hz}$: $2\pi$를 $\pi$로 잘못 쓴 값이다.
• $\dfrac{\pi}{200}\,\mathrm{Hz}$: 위 오류의 역수이다.
• $100\,\mathrm{Hz}$: 분모의 $\pi$를 빠뜨린 값이다.

출력은 약 ±4 V로 위아래가 잘린 파형이다.

두 제너 다이오드는 캐소드끼리 마주 보는 역직렬 연결이다. 어느 극성이든 한쪽은 순방향, 다른 쪽은 항복 상태가 되어야 전류가 흐른다.

따라서 양쪽 제한 전압은 같다.
$V_{clip}=3.3\,\mathrm{V}+0.7\,\mathrm{V}=4\,\mathrm{V}$

입력 진폭 $7\,\mathrm{V}$가 이 값을 넘으므로 양의 피크와 음의 피크가 모두 잘린다.

• 0 V에서 -14 V 사이를 오가는 파형: 음의 직류 레벨로 이동시키는 클램퍼의 출력으로, 이 회로에는 충전 커패시터가 없다.
• 0 V에서 14 V 사이를 오가는 파형: 양의 클램퍼 출력이며 같은 이유로 맞지 않는다.
• 0 V에서 7 V까지의 반파 파형: 음의 구간을 없애는 정류기의 출력으로, 음의 구간도 전달되는 이 회로와 다르다.
• 0 V에서 -7 V까지의 반파 파형: 양의 구간을 없애는 정류기의 출력이며, 피크도 잘리지 않아 맞지 않는다.

최대 전력을 전달하는 부하는 $Z_{L}=1+j2\,\Omega$이다.

교류 회로의 최대 전력 조건은 부하가 테브난 임피던스의 켤레 복소수인 것이다.

전류원은 개방, 전압원은 단락하고 부하 단자에서 본다. $4\,\Omega$과 $j2\,\Omega$의 직렬이 $-j2\,\Omega$과 병렬이다.
$Z_{th}=\dfrac{(4+j2)(-j2)}{(4+j2)+(-j2)}$
$Z_{th}=\dfrac{4-j8}{4}=1-j2\,\Omega$

• $1-j2\,\Omega$: 테브난 임피던스 자체로, 켤레를 취하지 않은 값이다.
• $1-j\,\Omega$: 허수부 크기와 부호가 모두 맞지 않는다.
• $1\,\Omega$: 저항분만 맞추어 리액턴스가 상쇄되지 않는다.
• $1+j\,\Omega$: 부호는 맞지만 허수부 크기가 달라 리액턴스가 남는다.

출력은 0에서 $2V_{P}$ 사이를 오가는 사인파이다.

이 회로는 연산증폭기를 쓴 정밀 양의 클램퍼이다. 출력이 0보다 낮아지면 반전 입력이 비반전 입력(접지)보다 낮아져 연산증폭기 출력이 올라가고, 다이오드가 도통해 출력을 0으로 끌어올린다.

입력이 $-V_{P}$일 때 출력이 0으로 유지되므로 커패시터는 $V_{P}$로 충전된다. $CR_{L}$이 주기보다 충분히 커서 이 전압은 거의 방전되지 않는다.
$v_{out}=v_{in}+V_{P}$

그 뒤에는 다이오드가 차단되고 출력은 입력을 $V_{P}$만큼 올린 파형이 된다.

• 피크가 $V_{P}$이고 0을 중심으로 진동하는 파형: 직류 이동이 없는 입력 그대로의 파형이다.
• 0에서 $-2V_{P}$ 사이의 파형: 음의 클램퍼 출력으로, 다이오드 방향이 반대일 때의 결과이다.
• 0에서 $V_{P}$까지의 반파 파형: 정밀 반파 정류기의 출력으로, 커패시터 충전을 고려하지 않은 것이다.
• 0에서 $-V_{P}$까지의 반파 파형: 다이오드 방향까지 반대로 본 정류기의 출력이다.

출력은 $V_{0}=-\dfrac{1}{RC}\int V_{1}\,dt$로, 이 회로는 반전 적분기이다.

가상 접지로 반전 입력이 $0\,\mathrm{V}$이므로 저항 전류는 $V_{1}/R$이다. 연산증폭기 입력으로는 전류가 들어가지 않아 이 전류가 모두 커패시터로 흐른다.
$\dfrac{V_{1}}{R}=-C\dfrac{dV_{0}}{dt}$

양변을 적분하면 위 결과가 된다.

• $-RC\,\dfrac{dV_{1}}{dt}$: 입력에 커패시터, 귀환에 저항을 둔 미분기의 출력이다.
• $RC\,\dfrac{dV_{1}}{dt}$: 미분기 꼴에 부호까지 반대이다.
• $\dfrac{1}{RC}\int V_{1}\,dt$: 적분 꼴은 맞지만 반전 입력을 쓰는 회로의 음의 부호가 빠졌다.
• $\dfrac{\omega}{RC}V_{1}$: 시간 영역의 입출력 관계로 성립하지 않으며 차원도 맞지 않는다.

콜렉터 전류는 $I_{C}\approx 7.11\,\mathrm{mA}$이다.

베이스 저항이 콜렉터에 연결된 콜렉터 궤환 바이어스이다. $1\,\mathrm{k\Omega}$에는 $I_{C}+I_{B}=101I_{B}$가 흐른다.

전원에서 저항 두 개와 베이스-에미터를 지나는 경로에 KVL을 적용한다.
$15=1\,\mathrm{k\Omega}\times 101I_{B}+100\,\mathrm{k\Omega}\times I_{B}+0.7$
$I_{B}=\dfrac{14.3\,\mathrm{V}}{201\,\mathrm{k\Omega}}\approx 71.1\,\mathrm{\mu A}$

콜렉터 전류는 다음과 같다.
$I_{C}=100I_{B}\approx 7.11\,\mathrm{mA}$

• 4.11 mA: 계산값보다 작아 위 KVL을 만족하지 않는다.
• 5.11 mA: 역시 KVL을 만족하지 않는다.
• 6.11 mA: 역시 KVL을 만족하지 않는다.
• 8.11 mA: 콜렉터 저항의 강하가 더 커져 위 KVL을 만족하지 않는다.

카르노맵을 간략화한 논리식은 $\bar{A}D + A\bar{B}\bar{C}$ 이다.

첫째 묶음은 $\bar{A}\bar{B}$, $\bar{A}B$ 행과 $\bar{C}D$, $CD$ 열이 만나는 네 칸이다. 여기서 변하지 않는 변수만 남기면 $\bar{A}D$ 가 된다.

둘째 묶음은 $A\bar{B}$ 행의 $\bar{C}\bar{D}$, $\bar{C}D$ 두 칸이다. $D$ 가 소거되어 $A\bar{B}\bar{C}$ 가 되고, 두 묶음으로 모든 1이 덮인다.

• $\bar{A}D$ 단독: $A\bar{B}$ 행의 두 칸이 빠진다.
• $A\bar{B}\bar{C}$ 단독: 위쪽 네 칸이 빠진다.
• $\bar{A}B + \bar{C}D$: 0인 칸 $\bar{A}B\bar{C}\bar{D}$ 까지 1로 만들고, $A\bar{B}\bar{C}\bar{D}$ 칸은 덮지 못한다.
• $\bar{A}B + \bar{B}D$: 0인 칸 $A\bar{B}CD$ 까지 1로 만들고, $A\bar{B}\bar{C}\bar{D}$ 칸은 덮지 못한다.

출력은 $C=\overline{A\oplus B}$, 즉 XNOR이다.

앞단의 NAND 게이트 4개는 XOR을 만드는 표준 구성이다. 첫 게이트 출력을 $X=\overline{AB}$라 하면 다음과 같다.
$\overline{\overline{AX}\cdot\overline{BX}}=AX+BX=A\overline{B}+\overline{A}B=A\oplus B$

마지막 NAND 게이트는 두 입력을 묶었으므로 인버터로 동작해 위 결과를 반전한다.

• XOR인 식: 마지막 인버터를 빠뜨린 결과이다.
• $\overline{AB}$: 첫 NAND 게이트의 출력일 뿐이다.
• $\overline{A+B}$: $A=B=1$에서 0이 되어 회로의 출력 1과 다르다.
• $A+B$: $A=B=0$에서 0이 되어 회로의 출력 1과 다르다.

출력은 $C=\overline{AB}$, 즉 DTL NAND 게이트이다.

$A$나 $B$ 중 하나라도 Low이면 해당 입력 다이오드가 도통해 공통 노드가 낮아진다. 베이스 쪽 다이오드와 트랜지스터를 켤 전압이 안 되므로 트랜지스터가 차단되고 $C$는 High이다.

두 입력이 모두 High이면 입력 다이오드가 차단되고, 저항을 통한 전류가 베이스로 흘러 트랜지스터가 포화된다. 이때만 $C$가 Low이다.

• $C=AB$: 트랜지스터의 콜렉터 출력이 반전됨을 빠뜨린 결과이다.
• $C=A+B$: 입력이 모두 Low일 때 High가 되는 회로의 동작과 반대이다.
• $C=\overline{A+B}$: 입력 하나만 High여도 Low가 되어야 하는데, 이 회로는 그때 High를 유지한다.
• XNOR인 식: 입력이 하나만 High일 때와 모두 Low일 때 출력이 달라야 하는데, 이 회로는 둘 다 High이다.

옳지 않은 설명은 입력 전류 $i^{+}$, $i^{-}$가 입력 전원의 내부 임피던스에 의해 결정된다는 내용이다.

이상적인 연산증폭기는 입력 임피던스가 무한대이므로 입력 전류는 항상 0이다. 전원의 내부 임피던스가 얼마든 값이 달라지지 않는다.

• 개루프 이득: 이상적 모델에서 $A_{o}=\infty$로 둔다.
• 대역폭: 모든 주파수에서 이득이 일정하다고 보아 무한대이다.
• 입력 임피던스: 입력 전류가 0이 되는 근거로 무한대이다.
• 출력 임피던스: 부하와 무관하게 출력 전압을 유지하도록 0으로 둔다.

옳은 설명은 콜렉터-베이스 접합이 순방향이 되면 $I_{C}$가 감소한다는 내용이다.

$V_{CE}$가 줄어 $V_{CB} \lt 0$이 되면 트랜지스터는 활성영역을 벗어나 포화영역에 들어간다.

순방향이 된 콜렉터-베이스 접합이 콜렉터 쪽 캐리어 수집을 방해하므로 $V_{CE}$가 작아질수록 $I_{C}$가 줄어든다.

• $I_{C}$가 항상 일정하다는 설명: 포화영역과 Early 효과 때문에 $V_{CE}$의 영향을 받는다.
• 포화영역에서 $V_{CE}$ 증가에 따라 $I_{C}$가 감소한다는 설명: 포화영역에서는 $V_{CE}$가 커질수록 $I_{C}$가 증가한다.
• Early 효과로 $I_{C}$가 감소한다는 설명: 베이스 폭이 좁아져 $I_{C}$는 오히려 증가한다.
• $V_{CB} \lt 0$에서 $I_{C}$가 빠르게 증가한다는 설명: 이 조건은 포화 진입이므로 전류가 감소한다.

옳지 않은 식은 $\nabla \cdot \vec{J} = -\dfrac{\partial (\nabla \cdot \vec{B})}{\partial t}$ 이다.

전하 보존을 나타내는 연속 방정식은 $\nabla \cdot \vec{J} = -\dfrac{\partial \rho}{\partial t}$ 이다. 여기에 $\rho = \nabla \cdot \vec{D}$ 를 넣으면 우변의 벡터는 $\vec{B}$ 가 아니라 $\vec{D}$ 여야 한다.

나머지 식은 모두 맥스웰 방정식으로 옳다.

• $\nabla \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$: 패러데이 법칙이다.
• $\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}$: 변위전류를 포함한 앙페르 법칙이다.
• $\nabla \cdot \vec{B} = 0$: 자기 홀극이 없다는 자기장의 가우스 법칙이다.
• $\nabla \cdot \vec{D} = \rho$: 전기장의 가우스 법칙이다.

옳지 않은 설명은 비선형 왜곡이 증가한다는 내용이다.

부궤환은 이득을 희생해 특성을 개선한다. 폐루프 이득은 다음과 같고, 비선형 왜곡은 감소한다.
$A_{f}=\dfrac{A}{1+A\beta}$

• 왜곡 감소와 이득 감소를 함께 말한 설명: 부궤환의 대표적 교환 관계이다.
• 대역폭 확장과 이득 감소를 함께 말한 설명: 이득-대역폭 교환 관계로 옳다.
• 이득 감소 정도가 $\beta$로 결정된다는 설명: 이득은 $1+A\beta$로 나뉘므로 궤환량에 달려 있다.
• 입출력 임피던스 조절: 궤환의 연결 방식(직렬·병렬)에 따라 임피던스를 높이거나 낮출 수 있다.

유전체 안에서 전자파는 $0.5c_{o}$ 의 속도로 전파되고 파장은 $5\ \mathrm{cm}$ 이다.

매질이 바뀌어도 주파수는 일정하고, 속도와 파장이 굴절률에 반비례하여 줄어든다.

전파 속도: $v = \dfrac{c_{o}}{n}$
$v = \dfrac{3 \times 10^{10}\ \mathrm{cm/s}}{2} = 1.5 \times 10^{10}\ \mathrm{cm/s} = 0.5c_{o}$
파장: $\lambda = \dfrac{v}{f}$
$\lambda = \dfrac{1.5 \times 10^{10}\ \mathrm{cm/s}}{3 \times 10^{9}\ \mathrm{Hz}} = 5\ \mathrm{cm}$

• $2c_{o}$ 속도와 $20\ \mathrm{cm}$ 파장: 굴절률로 곱하지 않고 나누어야 하므로 속도와 파장이 모두 틀리다.
• $2c_{o}$ 속도와 $5\ \mathrm{cm}$ 파장: 파장은 맞지만 유전체에서 속도가 빨라질 수 없다.
• $0.5c_{o}$ 속도와 $20\ \mathrm{cm}$ 파장: 속도는 맞지만 공기 중 파장 $10\ \mathrm{cm}$ 의 절반이 아니라 두 배로 잡은 값이다.
• 속도와 파장이 공기 중과 동일하다는 설명: 공기 중과 같은 것은 주파수뿐이다.