19년 1회차

스위치가 닫히기 직전 인덕터 전류는 $12\ \mathrm{A}$이다.

스위치가 오래 열려 있었으므로 회로는 정상상태이고, 직류에서 인덕터는 단락으로 본다. 전류원 전류는 $3\ \mathrm{\Omega}$과 $2\ \mathrm{\Omega}$ 두 가지로 나뉜다.

전류 분배를 적용한다.
$I_L=20\times\dfrac{3}{3+2}=12\ \mathrm{A}$

두 가지의 전압이 같아야 하므로 $2I_L=3(20-I_L)$을 만족해야 한다.

• $10\ \mathrm{A}$: $2\ \mathrm{\Omega}$ 가지 $20\ \mathrm{V}$, $3\ \mathrm{\Omega}$ 가지 $30\ \mathrm{V}$로 전압이 다르다.
• $14\ \mathrm{A}$: $28\ \mathrm{V}$와 $18\ \mathrm{V}$로 전압이 다르다.
• $16\ \mathrm{A}$: $32\ \mathrm{V}$와 $12\ \mathrm{V}$로 전압이 다르다.
• $18\ \mathrm{A}$: $36\ \mathrm{V}$와 $6\ \mathrm{V}$로 전압이 다르다.

전류 $I$는 $0.5\ \mathrm{A}$이다.

네 변의 저항이 모두 같아 브리지 평형이 성립하므로 가운데 저항에는 전류가 흐르지 않는다. 따라서 가운데 저항을 없는 것으로 본다.

남는 회로는 $2R$ 가지 둘의 병렬이다.
$R_{eq}=\dfrac{2R}{2}=R=200\ \mathrm{\Omega}$
$I=\dfrac{100}{200}=0.5\ \mathrm{A}$

전원이 $100\ \mathrm{V}$이므로 다른 전류값은 합성저항이 $200\ \mathrm{\Omega}$보다 작아야 나온다.

• $1.0\ \mathrm{A}$: 합성저항이 $100\ \mathrm{\Omega}$이어야 한다.
• $1.5\ \mathrm{A}$: 합성저항이 약 $66.7\ \mathrm{\Omega}$이어야 한다.
• $2.0\ \mathrm{A}$: 합성저항이 $50\ \mathrm{\Omega}$이어야 한다.
• $2.5\ \mathrm{A}$: 합성저항이 $40\ \mathrm{\Omega}$이어야 한다.

두 동심구 도체 사이의 정전용량은 $5\,\mathrm{pF}$이다.

동심구 정전용량 공식에 내구 반지름 $a=0.03\,\mathrm{m}$, 외구 반지름 $b=0.09\,\mathrm{m}$를 넣는다.
$C=\dfrac{4\pi\epsilon_{0}ab}{b-a}$

$4\pi\epsilon_{0}=\dfrac{1}{9}\times10^{-9}$이고 $\dfrac{ab}{b-a}=\dfrac{0.03\times0.09}{0.06}=0.045\,\mathrm{m}$이다.
$C=\dfrac{1}{9}\times10^{-9}\times0.045=5\times10^{-12}\,\mathrm{F}$

같은 전원에서 Y 결선을 Δ 결선으로 바꾸면 소비전력은 $3$배가 된다.

선간전압을 $V$, 상 임피던스를 $Z$, 역률을 $\cos\theta$라 하면 Y 결선의 상전압은 $\dfrac{V}{\sqrt{3}}$, Δ 결선의 상전압은 $V$이다. 상전압이 $\sqrt{3}$배가 되므로 전력은 그 제곱만큼 커진다.

$P_{Y}=3\times\dfrac{(V/\sqrt{3})^{2}}{Z}\cos\theta=\dfrac{V^{2}}{Z}\cos\theta$
$P_{\Delta}=3\times\dfrac{V^{2}}{Z}\cos\theta=3P_{Y}$

• $\frac{1}{3}$배: Δ 결선을 Y 결선으로 바꿀 때의 비율로, 변환 방향이 반대다.
• $9$배: 상전압이 $3$배가 된다고 본 값이다. 실제 상전압은 $\sqrt{3}$배만 커진다.

전송 파라미터는 $A=3,\ B=2,\ C=4,\ D=3$이다.

출력 쪽 $1\ \mathrm{\Omega}$에는 $V_2$가 걸리므로 가운데 $2\ \mathrm{\Omega}$의 전류는 다음과 같다.
$I_s=I_2+V_2$

입력 전압은 출력 전압에 $2\ \mathrm{\Omega}$의 전압강하를 더한 값이다.
$V_1=V_2+2(V_2+I_2)=3V_2+2I_2$

입력 전류는 입력 쪽 $1\ \mathrm{\Omega}$의 전류와 $I_s$의 합이다.
$I_1=V_1+I_s=(3V_2+2I_2)+(V_2+I_2)=4V_2+3I_2$

• $A=3,\ B=2,\ C=1,\ D=2$: $C$와 $D$가 계산값과 다르다.
• $A=2,\ B=3,\ C=2,\ D=2$: 네 값 모두 계산값과 다르다.
• $A=2,\ B=2,\ C=4,\ D=4$: $A$와 $D$가 계산값과 다르다.
• $A=3,\ B=4,\ C=2,\ D=3$: $B$와 $C$가 계산값과 다르다.

구하는 값은 $V_1=8\ \mathrm{V},\ I_1=-1\ \mathrm{A}$이다.

위쪽 마디 전압이 $V_1$이고, 가운데 가지의 전류는 다음과 같다.
$I_1=\dfrac{V_1-12}{4}$

위쪽 마디에 키르히호프 전류 법칙을 쓴다.
$\dfrac{V_1-12}{2}+\dfrac{V_1-12}{4}+\dfrac{V_1-4I_1}{4}=0$

종속전원 항은 $4I_1=V_1-12$이므로 $V_1-4I_1=12$이다.
$\dfrac{3(V_1-12)}{4}+3=0$
$V_1=8\ \mathrm{V},\ I_1=\dfrac{8-12}{4}=-1\ \mathrm{A}$

• $V_1=8,\ I_1=2$: $V_1=8$이면 가운데 가지 식에서 전류는 $-1$이다.
• $V_1=16,\ I_1=-1$: $V_1=16$이면 가운데 가지 식에서 전류는 $1$이다.
• $V_1=16,\ I_1=2$: 같은 식에서 전류는 $1$이어야 한다.
• $V_1=24,\ I_1=-3$: $V_1=24$이면 가운데 가지 식에서 전류는 $3$이다.

피상전력은 $2\,\mathrm{kVA}$이다.

무효전력은 피상전력에 $\sin\theta$를 곱한 값이므로 이를 피상전력에 대해 푼다.
$Q=S\sin\theta$
$S=\dfrac{Q}{\sin30^\circ}=\dfrac{1}{1/2}=2\,\mathrm{kVA}$

• $\sqrt{3}$: 같은 부하의 유효전력 $S\cos30^\circ$의 크기로, 단위가 $\mathrm{kW}$인 값이다.
• $\frac{2}{\sqrt{3}}$: 무효전력을 $\sin30^\circ$ 대신 $\cos30^\circ$로 나눈 값이다.
• $\frac{1}{\sqrt{3}}$: 무효전력에 $\tan30^\circ$를 곱한 값으로, 피상전력 관계식이 아니다.

이 부하의 평균전력은 $35\,\mathrm{W}$이다.

비정현파의 평균전력은 직류분과 같은 주파수 성분끼리의 전력의 합이다. 주어진 교류 성분은 최댓값이므로 각 항을 $2$로 나눈다.
$P=V_{0}I_{0}+\dfrac{V_{m1}I_{m1}}{2}\cos\theta_{1}+\dfrac{V_{m2}I_{m2}}{2}\cos\theta_{2}$

직류분: $10\times2=20\,\mathrm{W}$
$\omega=10$ 성분: 위상차 $15^\circ-(-45^\circ)=60^\circ$이므로 $\dfrac{20\times3}{2}\cos60^\circ=15\,\mathrm{W}$
$\omega=20$ 성분: 위상차 $45^\circ-(-45^\circ)=90^\circ$이므로 $\dfrac{30\times4}{2}\cos90^\circ=0\,\mathrm{W}$

합계는 $P=20+15+0=35\,\mathrm{W}$이다. 직류분만 계산한 $20\,\mathrm{W}$는 $\omega=10$ 성분의 전력을 빠뜨린 값이다.

저항의 평균전력은 $3\ \mathrm{kW}$이다.

전압의 실횻값은 $100\sqrt{2}/\sqrt{2}=100\ \mathrm{V}$이고, 직렬 임피던스는 $Z=3+j1\ \mathrm{\Omega}$이다.
$|Z|^2=3^2+1^2=10$
$I^2=\dfrac{100^2}{10}=1000\ \mathrm{A^2}$

평균전력은 저항에서만 소비된다.
$P=I^2R=1000\times 3=3000\ \mathrm{W}=3\ \mathrm{kW}$

• $2\ \mathrm{kW}$: $I^2=1000\ \mathrm{A^2}$에서 $P=I^2R$이 되려면 저항이 $2\ \mathrm{\Omega}$이어야 하는데, 회로의 저항은 $3\ \mathrm{\Omega}$이다.
• $4\ \mathrm{kW}$: $I^2=1000\ \mathrm{A^2}$에서 $P=I^2R$이 되려면 저항이 $4\ \mathrm{\Omega}$이어야 하는데, 회로의 저항은 $3\ \mathrm{\Omega}$이다.
• $5\ \mathrm{kW}$: $I^2=1000\ \mathrm{A^2}$에서 $P=I^2R$이 되려면 저항이 $5\ \mathrm{\Omega}$이어야 하는데, 회로의 저항은 $3\ \mathrm{\Omega}$이다.
• $6\ \mathrm{kW}$: 전류의 최댓값 제곱 $2000\ \mathrm{A^2}$을 그대로 쓴 값으로, 실횻값을 써야 한다.

저항 $R$은 $6\ \mathrm{\Omega}$이다.

모든 소자가 직렬이므로 전류 $I$가 같고, $R$에 걸린 $1\ \mathrm{V}$의 극성은 전원과 같은 방향의 전압강하이다. 키르히호프 전압 법칙을 쓴다.
$6=10I+1+20I$
$I=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}\ \mathrm{A}$

옴의 법칙으로 저항을 구한다.
$R=\dfrac{1}{1/6}=6\ \mathrm{\Omega}$

전압강하 합은 $1+30/R$이고 이 값이 $6\ \mathrm{V}$이어야 한다.

• $2\ \mathrm{\Omega}$: 전압강하 합이 $16\ \mathrm{V}$가 된다.
• $3\ \mathrm{\Omega}$: 전압강하 합이 $11\ \mathrm{V}$가 된다.
• $4\ \mathrm{\Omega}$: 전압강하 합이 $8.5\ \mathrm{V}$가 된다.
• $5\ \mathrm{\Omega}$: 전압강하 합이 $7\ \mathrm{V}$가 된다.

최대전력 전달 조건의 부하임피던스는 $2-j4\ \mathrm{\Omega}$이다.

부하에는 테브난 임피던스의 켤레복소수를 연결해야 최대전력이 전달된다.

전압원을 단락하면 $-j3\ \mathrm{\Omega}$도 함께 단락되므로, 단자에서 보면 $10\ \mathrm{\Omega}$과 $j5\ \mathrm{\Omega}$의 병렬만 남는다.
$Z_{Th}=\dfrac{10\times j5}{10+j5}=\dfrac{j50(10-j5)}{125}=2+j4\ \mathrm{\Omega}$
$Z_L=\overline{Z_{Th}}=2-j4\ \mathrm{\Omega}$

• $4+j2$: 실수부와 허수부 모두 조건과 다르다.
• $4-j2$: 허수부 부호는 맞지만 크기가 다르고 실수부도 다르다.
• $2+j4$: 테브난 임피던스 자체로, 켤레를 취하지 않은 값이다.
• $4+j4$: 실수부가 다르고 허수부 부호도 반대이다.

$f(t)$의 최종값은 $\frac{1}{3}$이다.

최종값 정리를 쓴다. $sF(s)$의 극점이 $s=-3$으로 좌반면에 있으므로 정리를 적용할 수 있다.
$\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)=\lim_{s\to0}\dfrac{s+1}{s+3}=\dfrac{1}{3}$

부분분수로 확인하면 $F(s)=\dfrac{1/3}{s}+\dfrac{2/3}{s+3}$이므로 $f(t)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}e^{-3t}$이다.

• $1$: $t=0$에서의 초깃값으로, 최종값이 아니다.
• $0$: 지수 감쇠항만 보고 상수항 $\frac{1}{3}$을 빠뜨린 값이다.

$C_{1}$ 양단의 전압은 $600\,\mathrm{V}$이다.

직렬 커패시터는 전하량이 같으므로 전압이 정전용량에 반비례한다.
$V_{1}:V_{2}:V_{3}=\dfrac{1}{1}:\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{3}=6:3:2$

비의 합이 $11$이므로 $C_{1}$의 몫을 구한다.
$V_{1}=1100\times\dfrac{6}{11}=600\,\mathrm{V}$

• $300$: $C_{2}$에 걸리는 전압이다.
• $100$: 전체 전압을 비의 합 $11$로 나눈 한 몫일 뿐이다.

옳은 설명은 ㄱ과 ㄹ뿐이며, 이 조합이 유일하게 맞다.

Y 결선은 선전류 = 상전류이고 선간전압만 달라지며, Δ 결선은 선간전압 = 상전압이고 선전류만 달라진다.

• ㄱ (옳음): Y 결선의 선간전압은 상전압의 $\sqrt{3}$배이고 위상이 $30^\circ$ 앞선다.
• ㄴ (틀림): Y 결선의 선전류는 상전류와 크기·위상이 같다.
• ㄷ (틀림): Δ 결선의 선간전압은 상전압과 크기·위상이 같다.
• ㄹ (옳음): Δ 결선의 선전류는 상전류의 $\sqrt{3}$배이고 위상이 $30^\circ$ 뒤진다.

전압은 $v(t)=3\sqrt{2}\cos(2t-135^\circ)\ \mathrm{V}$이다.

모든 전원의 각주파수가 $\omega=2\ \mathrm{rad/s}$이므로 코사인 기준 페이저로 바꾼다. $2\sin 2t$는 $-j2$가 되고, 커패시터 어드미턴스는 $j\omega C=j/3$이다.

왼쪽 마디 전압을 $V_A$, 오른쪽 마디 전압을 $V_B$로 두고 마디 해석을 한다. 위쪽 전류원은 오른쪽에서 왼쪽으로 $12$를 보낸다.
$\dfrac{V_A}{2}+(V_A-V_B)=6+12$
$\dfrac{j}{3}V_B+(V_B-V_A)=-12-j2$

첫 식에서 $V_A=12+\dfrac{2}{3}V_B$이고 둘째 식에 대입한다.
$\dfrac{1+j}{3}V_B=-j2$
$V_B=-3-j3=3\sqrt{2}\angle -135^\circ$

• $3\sqrt{2}\cos(2t+135^\circ)$: 페이저가 $-3+j3$로 허수부 부호가 반대이다.
• $3\sqrt{2}\cos(2t-45^\circ)$: 페이저가 $3-j3$로 실수부 부호가 반대이다.
• $\sqrt{2}\cos(2t+45^\circ)$: 페이저가 $1+j$로 크기와 위상이 모두 다르다.
• $\sqrt{2}\cos(2t-135^\circ)$: 위상은 같지만 크기가 $3\sqrt{2}$가 아니다.

도선에 흐르는 전류는 $1\,\mathrm{A}$이다.

왕복 도선은 두 도선의 전류 크기가 같으므로 평행 도선의 단위 길이당 힘 공식에 같은 전류를 넣는다.
$F=\dfrac{\mu_{0}I^{2}}{2\pi r}=\dfrac{2I^{2}}{r}\times10^{-7}\,\mathrm{N/m}$

값을 대입해 전류를 구한다.
$4\times10^{-7}=\dfrac{2I^{2}}{0.5}\times10^{-7}=4I^{2}\times10^{-7}$
$I^{2}=1$, $I=1\,\mathrm{A}$

선간 거리 $0.5\,\mathrm{m}$를 나누지 않으면 $I^{2}=2$가 되어 $\sqrt{2}$로 잘못 구하게 된다.

이 부하는 저항 $\dfrac{100}{\sqrt{2}}\,\mathrm{\Omega}$와 인덕터 $\dfrac{10}{\sqrt{2}}\,\mathrm{H}$의 직렬 연결이다.

임피던스의 크기는 전압과 피상전력에서 구한다.
$|Z|=\dfrac{V^{2}}{S}=\dfrac{100^{2}}{100}=100\,\mathrm{\Omega}$

역률각 $45^\circ$가 지상이므로 유도성이다.
$R=100\cos45^\circ=\dfrac{100}{\sqrt{2}}\,\mathrm{\Omega}$
$X_{L}=100\sin45^\circ=\dfrac{100}{\sqrt{2}}\,\mathrm{\Omega}$
$L=\dfrac{X_{L}}{\omega}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}\,\mathrm{H}$

• 저항 $100\,\mathrm{\Omega}$와 인덕터 $\frac{10}{\sqrt{2}}\,\mathrm{H}$: 저항과 리액턴스가 달라 역률각이 $45^\circ$가 되지 않는다.
• 저항 $100\,\mathrm{\Omega}$와 커패시터 $\frac{\sqrt{2}}{1000}\,\mathrm{F}$: 용량성이라 진상이 되고 역률각도 $45^\circ$가 아니다.
• 저항 $100\,\mathrm{\Omega}$와 커패시터 $\frac{1}{1000}\,\mathrm{F}$: 역률각은 $45^\circ$이지만 진상이고 $|Z|$가 $100\sqrt{2}\,\mathrm{\Omega}$이다.
• 저항 $\frac{100}{\sqrt{2}}\,\mathrm{\Omega}$와 커패시터 $\frac{\sqrt{2}}{1000}\,\mathrm{F}$: 임피던스 크기는 맞지만 진상이다.

전하를 옮기는 데 필요한 일은 $4\times10^{-8}\,\mathrm{J}$이다.

필요한 일은 전하량과 전위차의 곱이다.
$W=q(V_{2}-V_{1})$
$W=2\times10^{-10}\times(400-200)=4\times10^{-8}\,\mathrm{J}$

• $8\times10^{-8}$: 전위차 대신 도착점 전위 $400\,\mathrm{V}$를 곱한 값이다.
• $4\times10^{-4}$: $10^{-10}\times10^{2}=10^{-8}$이므로 자릿수가 맞지 않는 값이다.