21년 1회차

출력이 포화되지 않는 입력 범위는 $-3\le v_{in}\le 2\ \mathrm{V}$이다.

회로는 반전 증폭기이므로 출력은 입력에 이득을 곱한 값이다.
$v_{out}=-\dfrac{40}{8}v_{in}=-5v_{in}$

출력은 전원 전압 범위 안에 있어야 한다.
$-10\le -5v_{in}\le 15$
양변을 $-5$로 나누면 부등호 방향이 바뀌어 $-3\le v_{in}\le 2$이다.

• $-\dfrac{1}{3}\le v_{in}\le\dfrac{1}{2}$: 양 끝에서 출력이 $\dfrac{5}{3}\ \mathrm{V}$와 $-\dfrac{5}{2}\ \mathrm{V}$로, 포화 한계까지 여유가 남는다.
• $-\dfrac{1}{2}\le v_{in}\le\dfrac{1}{3}$: 양 끝에서 출력이 $\dfrac{5}{2}\ \mathrm{V}$와 $-\dfrac{5}{3}\ \mathrm{V}$로, 역시 한계에 닿지 않는다.
• $-2\le v_{in}\le 3$: $v_{in}=3\ \mathrm{V}$이면 출력이 $-15\ \mathrm{V}$가 되어 음의 전원 $-10\ \mathrm{V}$를 넘는다.
• $2\le v_{in}\le 3$: 포화되지 않는 $v_{in}=0$ 부근이 빠지고, 위쪽 끝은 음의 전원을 넘는다.

파장은 자유공간 $1\,\mathrm{m}$, 매질 $0.1\,\mathrm{m}$이다.

자유공간 파장은 광속을 주파수로 나눈 값이다.
$\lambda_0=\dfrac{c}{f}$
$\lambda_0=\dfrac{3\times 10^{8}}{300\times 10^{6}}=1\,\mathrm{m}$

매질에서도 주파수는 변하지 않으므로, 전파 속도가 줄어든 비율만큼 파장이 짧아진다.
$\lambda=\dfrac{\lambda_0}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}$
$\lambda=\dfrac{1}{\sqrt{1\times 100}}=0.1\,\mathrm{m}$

• 자유공간 $0.5\,\mathrm{m}$, 매질 $0.1\,\mathrm{m}$: 자유공간 파장이 계산값의 절반이다.
• 자유공간 $1\,\mathrm{m}$, 매질 $0.2\,\mathrm{m}$: 매질 파장이 계산값의 2배다.
• 자유공간 $1.5\,\mathrm{m}$, 매질 $0.1\,\mathrm{m}$: 자유공간 파장이 계산값보다 길다.
• 자유공간 $1.5\,\mathrm{m}$, 매질 $0.2\,\mathrm{m}$: 두 파장 모두 계산값보다 길다.

저항 $R$은 $\dfrac{1}{3}\ \mathrm{\Omega}$이다.

$i_R$은 $v(t)$와 동상이므로, $i_R$이 전류원보다 $45^{\circ}$ 늦으려면 어드미턴스의 위상각이 $45^{\circ}$여야 한다.

각 소자의 값을 구한다.
$\omega L=2500\times 0.4\times 10^{-3}=1\ \mathrm{\Omega}$
$\omega C=2500\times 1.6\times 10^{-3}=4\ \mathrm{S}$

병렬 어드미턴스에서 실수부와 허수부가 같아야 한다.
$Y=\dfrac{1}{R}+j\left(4-1\right)=\dfrac{1}{R}+j3$
$\dfrac{1}{R}=3\ \Rightarrow\ R=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{\Omega}$

• $R=\dfrac{1}{2}$: $\tan\theta=\dfrac{3}{2}$로 위상차가 $45^{\circ}$보다 크다.
• $R=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$: $\tan\theta=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$로 위상차가 $45^{\circ}$보다 크다.
• $R=2$: $\tan\theta=6$으로 위상차가 더 커진다.
• $R=3$: $\tan\theta=9$로 위상차가 더 커진다.

스피커 합성 임피던스는 $8\ \mathrm{\Omega}$이고, 전체 음량은 작아진다.

추가한 두 스피커의 직렬 합은 $8+8=16\ \mathrm{\Omega}$이고, 이것이 기존 스피커와 병렬이다.
$Z_L=\dfrac{16\times 16}{16+16}=8\ \mathrm{\Omega}$

앰프 출력 임피던스 $16\ \mathrm{\Omega}$과 부하가 같을 때 최대전력이 전달되는데, 부하가 $8\ \mathrm{\Omega}$으로 바뀌면 정합이 깨진다.
$P\propto\dfrac{Z_L}{(16+Z_L)^2}$
$Z_L=16:\ \dfrac{1}{64},\quad Z_L=8:\ \dfrac{1}{72}$

• $8\ \mathrm{\Omega}$에 음량이 커진다는 내용: 합성값은 맞지만 부하 전달 전력이 줄어드는 것과 반대다.
• $16\ \mathrm{\Omega}$에 음량이 작아진다는 내용: 병렬 합성값이 $16\ \mathrm{\Omega}$이 아니다.
• $16\ \mathrm{\Omega}$에 음량이 커진다는 내용: 합성값과 음량 변화가 모두 맞지 않는다.
• $16\ \mathrm{\Omega}$에 음량 변화가 없다는 내용: 추가 가지가 병렬이므로 합성 임피던스가 그대로일 수 없다.

옳지 않은 것은 양호도가 $2$라는 설명이다. 실제 양호도는 $2.5$이다.

직렬 공진에서는 $X_L=X_C=50\ \mathrm{\Omega}$이어서 임피던스가 저항 $20\ \mathrm{\Omega}$만 남는다.

양호도는 공진 시 리액턴스와 저항의 비이다.
$Q=\dfrac{X_L}{R}=\dfrac{50}{20}=2.5$

• 전류 $5\angle 0^{\circ}\ \mathrm{A}$: $\dfrac{100\angle 0^{\circ}}{20}=5\angle 0^{\circ}\ \mathrm{A}$로 옳다.
• 커패시터 전압 $250\angle -90^{\circ}\ \mathrm{V}$: $-j50\times 5=250\angle -90^{\circ}\ \mathrm{V}$로 옳다.
• 대역폭 $2\ \mathrm{kHz}$: $\dfrac{f_0}{Q}=\dfrac{5}{2.5}=2\ \mathrm{kHz}$로 옳다.
• 반전력 주파수에서의 전력 $250\ \mathrm{W}$: 전압 페이저를 실횻값으로 보면 공진 전력 $5^2\times 20=500\ \mathrm{W}$의 절반이므로 옳다.

b상 선전류는 $\sqrt{2}\angle 105^\circ\,\mathrm{A_{rms}}$이다.

평형 Y-Y 회로는 a상 단상 등가회로로 풀고, 상순 a-b-c 기준으로 선간전압을 상전압으로 바꾼다.
$\bar{V}_{an}=\dfrac{80\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\angle(-60^\circ-30^\circ)=80\angle -90^\circ\,\mathrm{V_{rms}}$

한 상의 전체 임피던스는 선로와 부하의 직렬 합이다.
$Z=(1+j3)+(39+j37)=40+j40=40\sqrt{2}\angle 45^\circ\,\mathrm{\Omega}$
$\bar{I}_a=\dfrac{80\angle -90^\circ}{40\sqrt{2}\angle 45^\circ}=\sqrt{2}\angle -135^\circ\,\mathrm{A_{rms}}$
b상은 a상보다 $120^\circ$ 뒤진다.
$\bar{I}_b=\sqrt{2}\angle(-135^\circ-120^\circ)=\sqrt{2}\angle 105^\circ\,\mathrm{A_{rms}}$

• $\sqrt{2}\angle -135^\circ$: a상 선전류다.
• $\sqrt{2}\angle -15^\circ$: a상보다 $120^\circ$ 앞선 c상 선전류다.
• $\sqrt{3}\angle -135^\circ$: 크기가 계산값과 다르고 위상도 a상의 값이다.
• $\sqrt{3}\angle 105^\circ$: 위상은 맞지만 크기가 계산값과 다르다.

합성 저항은 $\dfrac{9}{4}R$이다.

같은 재질의 저항은 길이에 비례하고 단면적에 반비례한다.
$R=\rho\dfrac{L}{\pi r^2}$

도선 $A$는 반지름이 2배라 단면적이 4배이고, 도선 $B$는 길이가 2배이다.
$R_A=\dfrac{R}{4},\quad R_B=2R$
$R_A+R_B=\dfrac{R}{4}+2R=\dfrac{9}{4}R$

• $2R$: 도선 $B$의 저항만 고려한 값이다.
• $\dfrac{5}{2}R$: 도선 $A$의 저항을 $\dfrac{R}{2}$로 보아 단면적을 2배로 잘못 계산한 값이다.
• $3R$: 도선 $A$의 저항을 $R$로 보아 반지름 변화를 무시한 값이다.
• $\dfrac{7}{2}R$: 도선 $B$가 $2R$이므로 도선 $A$가 $\dfrac{3}{2}R$이어야 하는데, 굵기가 더 굵은 $A$가 $R$보다 클 수 없다.

합성 정전용량은 $11\ \mathrm{F}$이다.

가운데 수평 도선은 왼쪽 세로 도선을 통해 단자 b와 이어져 있다. 따라서 $2\ \mathrm{F}$의 양단이 같은 전위가 되어 단락되므로 제외한다.

남은 소자는 모두 a-b 사이에 병렬이다.
$6\ \mathrm{F}$와 $3\ \mathrm{F}$의 직렬: $\dfrac{6\times 3}{6+3}=2\ \mathrm{F}$

병렬 합성은 단순 합이다.
$C_{eq}=5+4+2=11\ \mathrm{F}$

• $4.5\ \mathrm{F}$: 병렬인 $5\ \mathrm{F}$ 하나보다 작아 성립할 수 없다.
• $6.5\ \mathrm{F}$: $5\ \mathrm{F}$와 $4\ \mathrm{F}$의 병렬 합 $9\ \mathrm{F}$보다 작아 성립할 수 없다.
• $13\ \mathrm{F}$: 단락된 $2\ \mathrm{F}$까지 더한 값이다.
• $15\ \mathrm{F}$: 직렬인 $3\ \mathrm{F}$를 무시하고 $6\ \mathrm{F}$를 그대로 더한 값이다.

역변환 결과는 $f(t)=-e^{-t}+te^{-t}+e^{-2t}$이다.

$s=-1$이 중근이므로 중근 항을 포함해 부분분수로 전개한다.
$F(s)=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{(s+1)^{2}}+\dfrac{C}{s+2}$

각 계수를 구한다.
$B=\left.\dfrac{1}{s+2}\right|_{s=-1}=1$
$A=\left.\dfrac{d}{ds}\dfrac{1}{s+2}\right|_{s=-1}=\left.\dfrac{-1}{(s+2)^{2}}\right|_{s=-1}=-1$
$C=\left.\dfrac{1}{(s+1)^{2}}\right|_{s=-2}=1$

• $e^{-t}+te^{-t}+e^{-2t}$: $e^{-t}$ 항의 부호가 반대다.
• $e^{-t}-te^{-t}-e^{-2t}$: 세 항의 부호가 모두 반대다.
• $-e^{-t}+e^{-2t}$: 중근에서 생기는 $te^{-t}$ 항이 빠졌다.
• $-e^{t}+te^{t}+e^{2t}$: 지수가 양수여서 극이 $s=1,\,2$인 함수가 된다.

$R_4$에 흐르는 전류 $i$는 $1\ \mathrm{A}$이다.

오른쪽 끝부터 합성저항을 구해 온다.
$R_5+R_6=2\ \mathrm{\Omega}$, 이것과 $R_4$의 병렬은 $1\ \mathrm{\Omega}$
$R_3$를 더하면 $2\ \mathrm{\Omega}$, 이것과 $R_2$의 병렬은 $1\ \mathrm{\Omega}$
$R_1$을 더하면 전체 $2\ \mathrm{\Omega}$

전체 전류와 마디 전압을 차례로 구한다.
$I=\dfrac{8}{2}=4\ \mathrm{A}$
$V_c=8-1\times 4=4\ \mathrm{V}$
$I_{R_3}=\dfrac{4}{2}=2\ \mathrm{A}$
$V_d=4-1\times 2=2\ \mathrm{V}$

따라서 옴의 법칙으로 $i=\dfrac{V_d}{R_4}=\dfrac{2}{2}=1\ \mathrm{A}$이다.

• $1.5\ \mathrm{A}$: d점 전압이 $3\ \mathrm{V}$여야 하지만 실제는 $2\ \mathrm{V}$이다.
• $2\ \mathrm{A}$: $R_3$에 흐르는 전류로, $R_4$와 $R_5$ 쪽으로 나뉘기 전의 값이다.
• $2.5\ \mathrm{A}$: d점 전압이 $5\ \mathrm{V}$여야 해서 c점 전압보다도 높아진다.
• $4\ \mathrm{A}$: 전원에서 나오는 전체 전류이다.

이 회로는 이득 크기가 1보다 작고 차단주파수가 $\dfrac{1}{2\pi RC}$인 저역통과 2차필터이다.

직렬 $R$과 병렬 $C$가 두 단 이어져 있고, 에너지 저장 소자가 2개이므로 2차 회로이다. 가운데 마디 전압을 소거하면 전달함수는 다음과 같다.
$\dfrac{V_o(s)}{V_i(s)}=\dfrac{1}{1+3sRC+(sRC)^2}$

분모의 특성 각주파수는 $\omega_0=\dfrac{1}{RC}$이고, 보기의 차단주파수는 이에 해당하는 특성주파수 $f_0=\dfrac{1}{2\pi RC}$를 가리킨다. 또한 $x=\omega RC$로 두면 다음과 같아, 주파수가 높을수록 크기가 줄어든다.
$|H|=\dfrac{1}{\sqrt{1+7x^2+x^4}}$

• 차단주파수 $\dfrac{1}{2\pi\sqrt{RC}}$의 저역통과 1차필터: 근호 안의 $RC$는 주파수 단위가 되지 않고, 차수도 맞지 않는다.
• 차단주파수 $\dfrac{1}{2\pi RC}$의 저역통과 1차필터: 커패시터가 2개이므로 1차가 아니다.
• 이득이 1보다 큰 고역통과 2차필터: 저항과 커패시터만의 회로로 이득이 1을 넘지 않고, 직류를 통과시키므로 고역통과가 아니다.
• 이득이 1보다 큰 고역통과 1차필터: 통과 대역과 차수가 모두 맞지 않는다.

최대전력이 전달되는 저항은 $6\ \mathrm{\Omega}$이다.

최대전력 전달 조건은 부하 저항이 부하 양단에서 본 테브난 저항과 같은 것이다. 전압원을 단락하면 $15\ \mathrm{\Omega}$과 $10\ \mathrm{\Omega}$이 병렬이 된다.
$R_{th}=\dfrac{15\times 10}{15+10}=6\ \mathrm{\Omega}$

테브난 전압은 밀만의 정리로 구한다.
$V_{th}=\dfrac{\dfrac{6}{15}+\dfrac{2}{10}}{\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10}}=3.6\ \mathrm{V}$
부하 전력은 $P=\dfrac{3.6^2R}{(R+6)^2}$이고, $R=6$에서 $0.54\ \mathrm{W}$로 최대이다.

• $3\ \mathrm{\Omega}$: 전력이 $0.48\ \mathrm{W}$로 최대보다 작다.
• $12\ \mathrm{\Omega}$: 전력이 $0.48\ \mathrm{W}$로 최대보다 작다.
• $15\ \mathrm{\Omega}$: 전력이 약 $0.44\ \mathrm{W}$로 최대보다 작다.
• $27\ \mathrm{\Omega}$: 전력이 약 $0.32\ \mathrm{W}$로 최대보다 작다.

$4\ \mathrm{\Omega}$와 $2\ \mathrm{\Omega}$의 소비전력은 각각 $18\ \mathrm{W}$이다.

페이저 크기 $12\ \mathrm{V}$를 최댓값으로 보면 평균 전력은 $P=\dfrac{1}{2}I_m^2R$로 구한다. 두 가지에는 같은 전압이 걸린다.

$4\ \mathrm{\Omega}$ 가지의 전력은 다음과 같다.
$P_4=\dfrac{12^2}{2\times 4}=18\ \mathrm{W}$

$2\ \mathrm{\Omega}$ 가지는 인덕터가 전력을 소비하지 않으므로 저항 전력만 구한다.
$|Z|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{\Omega}$
$I_m=\dfrac{12}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\ \mathrm{A}$
$P_2=\dfrac{1}{2}\times(3\sqrt{2})^2\times 2=18\ \mathrm{W}$

• $9$와 $0$: 저항에 전류가 흐르므로 $2\ \mathrm{\Omega}$의 전력이 0일 수 없다.
• $9$와 $9$: 두 값 모두 계산값의 절반이다.
• $9$와 $18$: $4\ \mathrm{\Omega}$의 전력이 계산값의 절반이다.
• $18$과 $9$: $2\ \mathrm{\Omega}$의 전력이 계산값의 절반이다.

전류 $i_o$는 $17\ \mathrm{mA}$이다.

위쪽 마디에서 KCL을 쓰면 전류원 $20\ \mathrm{mA}$는 $8\ \mathrm{k\Omega}$과 $2\ \mathrm{k\Omega}$으로만 나뉜다.
$i_8=20-i_o$

위쪽 고리에서 KVL을 쓴다. 왼쪽 가운데 마디가 오른쪽 가운데 마디보다 $10\ \mathrm{V}$ 높으므로 다음이 성립한다.
$2i_o-8(20-i_o)=10$
$10i_o=170$
$i_o=17\ \mathrm{mA}$

• $1\ \mathrm{mA}$: 위 식의 왼쪽이 $-150\ \mathrm{V}$로 $10\ \mathrm{V}$가 되지 않는다.
• $6\ \mathrm{mA}$: 위 식의 왼쪽이 $-100\ \mathrm{V}$로 맞지 않는다.
• $7\ \mathrm{mA}$: 위 식의 왼쪽이 $-90\ \mathrm{V}$로 맞지 않는다.
• $16\ \mathrm{mA}$: 전압원을 빼고 전류 분배만 한 값으로, 위 식의 왼쪽이 $0\ \mathrm{V}$가 된다.

$v(t)$의 실효값은 $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$이다.

그래프의 주기는 $4\ \mathrm{s}$이고, 한 주기 동안 $0\le t\le 2$에서 $v=t$, $2\le t\le 4$에서 $v=0$이다.

실효값은 제곱 평균의 제곱근이다.
$V^2=\dfrac{1}{4}\int_0^2 t^2\,dt=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{2}{3}$
$V=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

• $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$: 제곱하면 $\dfrac{3}{2}$로, 계산값의 역수이다.
• $\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$: 제곱하면 $6$으로, 최댓값의 제곱 $4$보다 커서 성립할 수 없다.
• $\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$: 제곱하면 $\dfrac{3}{8}$로 $\dfrac{2}{3}$와 다르다.
• $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: 제곱하면 $\dfrac{3}{4}$로 $\dfrac{2}{3}$와 다르다.

전류 $I_2$는 $-4\ \mathrm{A}$이다.

Y-파라미터 방정식과 단자 조건을 쓴다.
$I_1=0.3V_1-0.1V_2$
$I_2=-0.1V_1+0.2V_2$
$I_1=30-\dfrac{V_1}{10},\quad I_2=-\dfrac{V_2}{5}$

출력 쪽 식을 정리하면 $-0.2V_2=-0.1V_1+0.2V_2$이므로 $V_1=4V_2$이다.

입력 쪽 식에 대입한다.
$30=0.4V_1-0.1V_2=1.5V_2$
$V_2=20\ \mathrm{V},\quad V_1=80\ \mathrm{V}$
$I_2=-\dfrac{20}{5}=-4\ \mathrm{A}$

• $-2\ \mathrm{A}$: $V_2=10\ \mathrm{V}$가 되어 위의 값 $20\ \mathrm{V}$와 맞지 않는다.
• $1\ \mathrm{A}$: 표시된 $I_2$는 포트로 들어가는 방향이므로 부하 전류의 반대 방향이어서 음수여야 한다.
• $2\ \mathrm{A}$: 부호가 양수라 $V_2$가 음수가 되어 맞지 않는다.
• $4\ \mathrm{A}$: 크기는 같지만 부호가 표시된 전류 방향과 반대이다.

이 스펙트럼을 가지는 시간함수는 $v_o\cos\omega_o t$이다.

스펙트럼이 $\pm f_o$에 대칭인 실수 임펄스이면 시간함수는 코사인이다. 각 임펄스의 크기가 $\dfrac{v_o}{2}$이므로 역변환은 다음과 같다.
$v(t)=\dfrac{v_o}{2}e^{j\omega_o t}+\dfrac{v_o}{2}e^{-j\omega_o t}$

오일러 공식을 쓰면 두 항의 합은 코사인이 된다.
$v(t)=v_o\cos\omega_o t$

• $\dfrac{1}{2}v_o(e^{\omega_o t}+e^{\omega_o t})$: 표기된 지수에 $j$가 없어 진동이 아닌 실지수 함수이므로 선스펙트럼이 되지 않는다.
• $v_o e^{\omega_o t}$: 시간에 따라 증가하는 실지수 함수로, 두 임펄스의 스펙트럼이 아니다.
• $v_o\sin\omega_o t$: 스펙트럼이 순허수이고 $\pm f_o$에서 부호가 서로 반대이다.
• $\dfrac{1}{2}v_o(e^{j\omega_o t}-e^{-j\omega_o t})$: 두 임펄스의 부호가 반대여야 하므로 그림과 맞지 않는다.

초깃값 3과 최종값 4의 합은 $7$이다.

초깃값 정리는 $s\to\infty$에서 $sF(s)$의 극한을 구한다.
$f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)=\lim_{s\to\infty}\dfrac{3s^{2}+30s+120}{s^{2}+9s+30}=3$

최종값 정리는 $s\to 0$에서 극한을 구한다. $s^{2}+9s+30=0$의 근은 실수부가 $-4.5$로 음수이므로 최종값이 존재한다.
$f(\infty)=\lim_{s\to 0}sF(s)=\dfrac{120}{30}=4$
$f(0^+)+f(\infty)=3+4=7$

• $0$: 초깃값과 최종값이 모두 양수이므로 합이 될 수 없다.
• $3$: 초깃값만 있고 최종값이 빠졌다.
• $4$: 최종값만 있고 초깃값이 빠졌다.
• $\infty$: 극이 원점과 좌반면에만 있어 $f(t)$가 발산하지 않는다.

낙뢰의 에너지량은 $\dfrac{1}{36}\times 10^{5}\,\mathrm{Wh}$이다.

에너지는 전압 × 전류 × 시간이다.
$W=VIt$
$W=(1\times 10^{8})\times(1\times 10^{5})\times(1\times 10^{-6})=1\times 10^{7}\,\mathrm{J}$

$1\,\mathrm{Wh}=3600\,\mathrm{J}$이므로 3600으로 나누어 단위를 바꾼다.
$W=\dfrac{1\times 10^{7}}{3600}=\dfrac{1}{36}\times 10^{5}\,\mathrm{Wh}$

• $\dfrac{1}{36}\times 10^{4}$: 계산값의 $\dfrac{1}{10}$이다.
• $\dfrac{1}{36}\times 10^{6}$: 계산값의 10배다.
• $\dfrac{1}{36}\times 10^{7}$: 계산값의 100배다.
• $\dfrac{1}{36}\times 10^{8}$: 계산값의 1000배다.

옳지 않은 설명은 $200\,\mathrm{V}$ 전원에서 $10\,\mathrm{A}$ 부하를 $20\,\mathrm{hr}$ 사용한 경우로, 전력량이 $40\,\mathrm{kWh}$이다.

전력량은 전력 × 시간이며, 역률 1이면 전력은 전압과 전류의 곱이다.
$W=Pt=VIt$
$W=200\times 10\times 20=40000\,\mathrm{Wh}=40\,\mathrm{kWh}$