19년 1회차

옳은 설명은 ㄱ, ㄷ이다. 보극은 정류를 개선하고, 보상권선은 전기자 기자력을 상쇄한다.

보상권선에는 전기자 전류와 반대 방향으로 전류를 흘린다. 상쇄 대상도 계자 기자력이 아니라 전기자 기자력이다.

• ㄱ(옳음): 보극은 주자극 사이에 둔 소자극으로, 정류 중인 코일의 리액턴스 전압을 상쇄해 정류를 개선한다.
• ㄴ(틀림): 보상권선 전류는 전기자 전류와 반대 방향이고, 계자 기자력이 아니라 전기자 반작용 기자력을 상쇄한다.
• ㄷ(옳음): 보상권선은 전기자 회로에 직렬로 접속되어, 부하에 따라 변하는 전기자 전류의 기자력을 자동으로 상쇄한다.

ㄱ과 ㄷ만 옳으므로 ㄴ이 포함된 조합과 ㄱ 단독은 모두 맞지 않다.

이상변압기는 손실이 없어 1차 입력과 2차 출력이 같으므로 1차 입력은 $2.0\,\mathrm{kW}$이다.

2차 전압: $V_{2}=\dfrac{V_{1}}{a}=\dfrac{3{,}000}{30}=100\,\mathrm{V}$
2차 출력(전등 부하는 역률 1): $P_{2}=V_{2}I_{2}=100\times 20=2{,}000\,\mathrm{W}$

1차로 확인하면 전류는 권수비만큼 작아져 $I_{1}=\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}\,\mathrm{A}$이고, $P_{1}=3{,}000\times\dfrac{2}{3}=2{,}000\,\mathrm{W}$로 같다.

분권 발전기의 출력은 단자전압과 부하전류의 곱으로, $10.0\,\mathrm{kW}$이다.

단자전압: $V=E-I_{a}R_{a}=110.4-104\times 0.1=100\,\mathrm{V}$
계자전류: $I_{f}=\dfrac{V}{R_{f}}=\dfrac{100}{25}=4\,\mathrm{A}$
부하전류: $I=I_{a}-I_{f}=104-4=100\,\mathrm{A}$
출력: $P=VI=100\times 100=10{,}000\,\mathrm{W}$

전기자 전류 일부는 계자로 흐르므로, 출력을 구할 때는 전기자 전류가 아닌 부하전류를 써야 한다.

전기자 전류는 $5\pi\,\mathrm{A}$이다. 무부하 운전에서 $k\phi$를 구한 뒤 토크 식에 넣으면 된다.

무부하에서는 전기자 전압강하가 없어 $E=300\,\mathrm{V}$이다.
각속도: $\omega=\dfrac{2\pi\times 1{,}500}{60}=50\pi\,\mathrm{rad/s}$
기전력 상수: $k\phi=\dfrac{E}{\omega}=\dfrac{300}{50\pi}=\dfrac{6}{\pi}$

타여자이고 전기자 반작용을 무시하므로 $k\phi$는 부하를 걸어도 일정하다.
전기자 전류: $I_{a}=\dfrac{T}{k\phi}=\dfrac{30}{6/\pi}=5\pi\,\mathrm{A}$

검산: $1{,}000\,\mathrm{rpm}$에서 $E=200\,\mathrm{V}$이므로 $EI_{a}=1{,}000\pi\,\mathrm{W}$이고, $\omega T=\dfrac{100\pi}{3}\times 30=1{,}000\pi\,\mathrm{W}$로 일치한다.

두 기전력의 비는 $\dfrac{\alpha}{s}$이다. 회전 중인 회전자 기전력은 정지 시 값의 $s$배가 되기 때문이다.

정지 시 권수비: $\dfrac{E_{1}}{E_{2}}=\alpha$
슬립 $s$로 회전 시: $E_{2s}=sE_{2}$
따라서 $\dfrac{E_{1}}{E_{2s}}=\dfrac{E_{1}}{sE_{2}}=\dfrac{\alpha}{s}$

회전자가 끊는 자속의 속도는 회전자계와의 상대속도이므로, 기전력은 $1-s$가 아니라 $s$에 비례한다.

• $s\alpha$: $s$가 0에 가까우면 $E_{2s}$도 0에 가까워 비는 커져야 하는데, 이 식은 반대로 0에 가까워진다.
• $(1-s)\alpha$: 정지 상태($s=1$)에서 비가 $\alpha$가 되어야 하는데 0이 되어 맞지 않는다.
• $\dfrac{\alpha}{1-s}$: $s=1$에서 값이 발산하여 정지 시 권수비 $\alpha$와 맞지 않는다.
• $\dfrac{s}{\alpha}$: 분자와 분모가 뒤집힌 $\dfrac{E_{2s}}{E_{1}}$에 해당한다.

추가할 외부저항은 $3r\,\mathrm{\Omega}$이다. 토크가 같으면 2차 저항과 슬립이 비례하는 비례추이를 쓴다.

동기속도: $N_{s}=\dfrac{120f}{P}=\dfrac{120\times 50}{6}=1{,}000\,\mathrm{rpm}$
변경 전 슬립: $s_{1}=\dfrac{1{,}000-950}{1{,}000}=0.05$
변경 후 슬립: $s_{2}=\dfrac{1{,}000-800}{1{,}000}=0.2$

비례추이: $\dfrac{r}{s_{1}}=\dfrac{r+R}{s_{2}}$
대입: $\dfrac{r}{0.05}=\dfrac{r+R}{0.2}$에서 $r+R=4r$
결과: $R=3r$

슬립이 4배이므로 $4r$는 회전자 회로의 전체 저항이고, 추가할 저항은 여기서 기존 $r$을 뺀 값이다.

백분율 저항강하는 $4.0\,\%$, 백분율 리액턴스강하는 $4.5\,\%$이다.

전압변동률 근사식: $\varepsilon\approx p\cos\theta+q\sin\theta$ (지상 부하)

역률 1($\cos\theta=1,\ \sin\theta=0$): $\varepsilon=p=4.0\,\%$

지상역률 0.6($\cos\theta=0.6,\ \sin\theta=0.8$): $6.0=4.0\times 0.6+0.8q$
정리: $0.8q=6.0-2.4=3.6$
결과: $q=4.5\,\%$

최대 효율은 $98\,\%$이다. 변압기는 철손과 동손이 같아지는 부하에서 효율이 최대가 된다.

최대 효율 조건: $m^{2}P_{c}=P_{i}$
부하율: $m=\sqrt{\dfrac{P_{i}}{P_{c}}}=\sqrt{\dfrac{1.0}{2.0}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

출력: $mP_{n}\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times 100\sqrt{2}\times 0.98=98\,\mathrm{kW}$
손실: $P_{i}+m^{2}P_{c}=1.0+1.0=2.0\,\mathrm{kW}$
효율: $\eta=\dfrac{98}{98+2}\times 100=98\,\%$

유도기전력의 크기는 상당 값으로 $180\sqrt{2}\pi\,\mathrm{V}$이다.

주파수: $f=\dfrac{PN}{120}=\dfrac{6\times 400}{120}=20\,\mathrm{Hz}$

상당 기전력의 실횻값: $E=\sqrt{2}\pi fN_{ph}\phi k_{w}$
대입: $E=\sqrt{2}\pi\times 20\times 100\times 0.1\times 0.9$
결과: $E=180\sqrt{2}\pi\,\mathrm{V}$

단절권의 영향은 권선계수 0.9에 이미 들어 있어 따로 곱하지 않는다. 선간전압이라면 $\sqrt{3}$배가 되어 보기에 없는 값이므로, 여기서는 상기전력을 묻는 것으로 본다.

발생토크가 부하토크보다 크면 회전자가 가속되고 부하각은 작아진다.

부하각은 회전자가 회전자계보다 뒤진 각이다. 남는 토크로 회전자가 빨라지면 회전자계를 따라잡아 뒤진 각이 줄고, $0^{\circ}\sim 90^{\circ}$ 구간에서는 그만큼 발생토크가 줄어 부하토크와 다시 평형을 이룬다.

• 회전속도 감속 / 부하각 일정: 토크가 남으면 감속하지 않으며, 속도가 변하는 동안 부하각도 일정할 수 없다.
• 회전속도 감속 / 부하각 커짐: 부하토크가 발생토크보다 클 때의 반응으로, 문제 조건과 반대이다.
• 회전속도 감속 / 부하각 작아짐: 감속하면 회전자가 더 뒤처지므로 부하각은 커지게 되어 두 변화가 서로 맞지 않는다.
• 회전속도 가속 / 부하각 커짐: 가속하면 회전자계를 따라잡으므로 뒤진 각이 커질 수 없다.

부하가 늘면 회전속도는 감소, 슬립은 증가, 회전자전류는 증가한다.

토크가 부하보다 작아지면 전동기가 감속하고 슬립이 커진다. 그러면 회전자 유도기전력 $sE_{2}$가 커져 회전자전류와 토크가 함께 늘고, 늘어난 부하와 평형을 이룬다.

• 회전속도 감소 / 슬립 감소 / 회전자전류 감소: 속도가 줄면 슬립은 늘어나야 하고, 전류가 줄면 큰 부하를 감당할 수 없다.
• 회전속도 감소 / 슬립 증가 / 회전자전류 감소: 슬립이 늘면 회전자 기전력이 커지므로 전류가 줄 수 없다.
• 회전속도 증가 / 슬립 감소 / 회전자전류 증가: 부하가 늘어 속도가 오를 수 없고, 슬립이 줄면 전류도 늘지 않는다.
• 회전속도 증가 / 슬립 증가 / 회전자전류 증가: 동기속도가 일정할 때 속도 증가와 슬립 증가는 함께 일어날 수 없다.

옳지 않은 설명은 1차권수에 비례한다는 것이다. 여자전류는 1차권수의 제곱에 반비례한다.

최대자속: $\phi_{m}=\dfrac{V_{1}}{4.44fN_{1}}$
자기저항: $R_{m}=\dfrac{l}{\mu A}$
여자전류: $I_{0}\propto\dfrac{\phi_{m}R_{m}}{N_{1}}=\dfrac{V_{1}\,l}{4.44fN_{1}^{2}\mu A}$

• 전원전압에 비례: 전압이 커지면 필요한 자속이 커져 여자전류도 커진다.
• 주파수에 반비례: 같은 전압에서 주파수가 낮을수록 자속이 커져 여자전류가 커진다.
• 철심의 투자율에 반비례: 투자율이 클수록 자기저항이 작아 적은 전류로 자속을 만든다.
• 철심의 단면적에 반비례: 단면적이 클수록 자기저항이 작아 여자전류가 줄어든다.

전력계 지시값을 철손이라고 한 설명이 옳지 않다. 이 회로는 단락시험이므로 지시값은 거의 동손이다.

그림에서 2차 단자가 도선으로 단락되어 있고, 1차에 낮은 전압을 걸어 정격전류를 흘린다.

인가 전압이 낮으면 자속이 작아 철손은 무시할 만큼 작으므로, 전력계가 읽는 입력은 대부분 권선의 저항손이다.

• 낮은 전압과 여자전류: $V_1$이 매우 낮아 여자전류가 거의 흐르지 않는다는 설명은 옳다.
• 전압을 0부터 서서히 증가: 2차가 단락되어 작은 전압에도 큰 전류가 흐르므로 옳은 조작이다.
• $V_1$과 임피던스 전압강하: 2차 단자 전압이 0이므로 인가 전압 전부가 임피던스 강하와 같아 옳다.
• 정격전압을 인가할 때의 소손: 단락 상태에서는 정격을 크게 넘는 전류가 흘러 변압기가 소손될 수 있으므로 옳다.

계자전류를 줄이면 부하각은 커지고, 역기전력은 감소하며, 역률은 지상이 된다.

역기전력은 계자전류에 따라 줄어든다. 전기자 저항을 무시하면 상당 출력은 $P=\dfrac{VE\sin\delta}{X_{s}}$이고, $P,\ V,\ X_{s}$가 일정하므로 $E\sin\delta$가 일정해 $E$가 줄면 $\delta$는 커진다.

역률 1 상태에서 계자를 약하게 하면 부족여자가 되어, 모자란 자화 성분을 전원에서 받으므로 지상전류가 흐른다.

• 부하각 커짐 / 역기전력 증가 / 역률 진상역률: 역기전력이 증가하는 것은 계자를 강하게 할 때이다.
• 부하각 작아짐 / 역기전력 증가 / 역률 진상역률: 과여자일 때의 변화로, 문제 조건과 반대이다.
• 부하각 커짐 / 역기전력 감소 / 역률 진상역률: 부하각과 역기전력은 맞지만, 부족여자에서는 진상이 될 수 없다.
• 부하각 작아짐 / 역기전력 감소 / 역률 지상역률: 출력이 일정한데 역기전력이 줄면 부하각이 작아질 수 없다.

주파수를 갑자기 낮추면 슬립은 $s\lt 0$이 되고 토크는 역방향이 된다. 전동기가 회생제동 상태로 들어가는 것이다.

슬립: $s=\dfrac{N_{s}-N}{N_{s}}$
주파수를 낮추면 동기속도 $N_{s}$는 바로 떨어지지만, 회전자 속도 $N$은 관성 때문에 바로 줄지 않아 $N\gt N_{s}$가 된다.

• 슬립 $s\gt 1$ / 역방향 토크: 회전자가 회전자계와 반대로 도는 역상제동 구간이다.
• 슬립 $s\lt 1$ / 정방향 토크: 슬립이 음수가 되면 토크도 정방향을 유지하지 못한다.
• 슬립 $s=1$ / 정방향 토크: 회전자가 정지해 있는 기동 순간의 상태이다.
• 슬립 $s\gt 0$ / 정방향 토크: 회전자가 동기속도보다 느린, 주파수를 낮추기 전의 전동기 운전 상태이다.

동기와트는 2차 입력을 토크의 척도로 나타낸 값으로, $5\,\mathrm{kW}$이다.

동기속도: $N_{s}=\dfrac{120f}{P}=\dfrac{120\times 50}{4}=1{,}500\,\mathrm{rpm}$
슬립: $s=\dfrac{1{,}500-1{,}200}{1{,}500}=0.2$

전력 관계 $P_{o}=(1-s)P_{2}$에서
$P_{2}=\dfrac{P_{o}}{1-s}=\dfrac{4}{0.8}=5\,\mathrm{kW}$

공극전력은 고정자 입력에서 고정자 측 손실만 뺀 값으로, $13.3\,\mathrm{kW}$이다.

고정자 입력: $P_{1}=\sqrt{3}VI\cos\theta=\sqrt{3}\times\dfrac{400}{\sqrt{3}}\times 50\times 0.8=16\,\mathrm{kW}$

공극전력: $P_{2}=P_{1}-P_{c1}-P_{i}=16-1.5-1.2=13.3\,\mathrm{kW}$

회전자 동손과 기계손은 공극을 건너간 뒤에 생기는 손실이므로 빼지 않는다.

저항에 흐르는 전류의 실횻값은 $5\,\mathrm{A}$이다.

주기: $T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{100}=10\,\mathrm{ms}$
듀티비: $D=\dfrac{t_{on}}{T}=\dfrac{2.5}{10}=0.25$
온 구간 전류: $I_{p}=\dfrac{100}{10}=10\,\mathrm{A}$

펄스 전류의 실횻값: $I_{rms}=I_{p}\sqrt{D}=10\times\sqrt{0.25}=5\,\mathrm{A}$

평균값은 $I_{p}D=2.5\,\mathrm{A}$이다. 실횻값은 듀티비의 제곱근을 곱하는 점이 다르다.

변류기 2차측을 단락하는 이유는 2차측의 고전압에 의한 절연 파괴를 막기 위해서이다.

정상 상태에서는 2차 전류의 기자력이 1차 기자력을 상쇄한다. 2차가 열리면 상쇄가 사라져 1차 전류 전부가 여자전류로 작용하고, 철심이 과포화되면서 권수가 많은 2차측에 고전압이 유기된다.

• 1차측의 과전류 방지: 1차 전류는 선로의 부하가 정하므로 2차측 단락으로 달라지지 않는다.
• 1차측의 과전압 방지: 고전압이 나타나는 곳은 1차측이 아니라 2차측이다.
• 2차측의 과전류 보호: 변류기 2차는 단락에 가까운 상태로 쓰는 것이 정상이며, 위험 요인은 과전류가 아니라 과전압이다.
• 측정 오차 방지: 단락의 목적은 측정 정확도가 아니라 기기 절연과 작업자 보호이다.

분권 전동기의 속도특성은 세로축 $I$, 가로축 $N$에서 오른쪽 아래로 내려가는 직선이다.

단자전압과 계자저항이 일정하면 계자전류가 일정하므로 자속이 일정하다.

전동기 식 $E=V-I_aR_a=k\phi N$에서 속도는 다음과 같다.
$N=\dfrac{V-I_aR_a}{k\phi}$

계자전류가 일정해 $I_a$와 $I$는 일정한 차이만 나므로, $N$과 $I$는 기울기가 음인 1차식 관계이다.

• 아래로 볼록하게 감소하는 곡선: 자속이 전류에 따라 변해 속도가 전류에 반비례하는 직권전동기의 모양이다.
• 위로 치솟는 증가 곡선: 부하전류가 늘수록 속도가 올라가는 모양으로, 전압강하로 속도가 줄어드는 관계와 반대이다.
• 수평선: 속도와 무관하게 전류가 일정하다는 뜻이라, 속도가 오르면 전류가 줄어드는 음의 기울기 관계에 맞지 않는다.
• 원점을 지나는 증가 직선: 정지 상태에서 전류가 0이라는 뜻이지만, 실제로는 역기전력이 0이어서 큰 전류가 흐른다.