17년 1회차

디지털 데이터의 총량은 4,000비트이다.

총 비트 수는 총 샘플 수 × 샘플당 비트 수로 구한다.
총 샘플 수: $100 \times 10 = 1000$
총 비트 수: $1000 \times 4 = 4000$

• 10: 신호의 길이(초)를 나타내는 숫자일 뿐 비트 수가 아니다.
• 20: 샘플 5개를 4비트로 바꾼 양으로, 10초 분량의 1,000샘플에 크게 못 미친다.
• 400: 1초 분량만 계산하고 10초를 곱하지 않은 값이다.
• 2,000: 샘플당 비트 수를 4가 아닌 2로 계산한 값이다.

옳지 않은 것은 입력에 없는 주파수 성분이 출력에 나타날 수 있다는 설명이다.

임펄스 응답을 입력과 컨벌루션하면 $y(t) = 2x(t-4)$가 된다. 주파수 영역에서는 $Y(f) = H(f)X(f)$이므로 입력 스펙트럼이 0인 주파수는 출력에서도 0이다.

• 임펄스 응답으로 출력 구하기: 임펄스 응답과 입력의 컨벌루션이 곧 출력이므로 옳다.
• 증폭과 지연: 출력이 입력의 2배이고 4만큼 지연되므로 옳다.
• 위상과 주파수의 비례: $H(f) = 2e^{-j8\pi f}$의 위상 $-8\pi f$는 주파수에 비례하므로 옳다.
• 크기 응답: $|H(f)| = 2$로 모든 주파수에서 같으므로 옳다.

변조파의 최대 주파수 성분은 1,050[Hz]이다.

메시지 주파수는 $100\pi = 2\pi \times 50$에서 50[Hz], 반송파 주파수는 $2000\pi = 2\pi \times 1000$에서 1,000[Hz]이다.
곱셈을 전개하면 $s(t) = \cos(2000\pi t) + 0.125\cos(2100\pi t) + 0.125\cos(1900\pi t)$이다.
따라서 성분은 950, 1,000, 1,050[Hz]이다.

• 50: 메시지 신호의 주파수로, 변조파의 성분이 아니다.
• 100: 상측파와 하측파 사이의 간격, 즉 전송 대역폭이다.
• 550: 반송파를 500[Hz]로 잘못 잡은 값이다.
• 2,100: 각주파수의 계수를 2로 나누지 않아 Hz로 환산되지 않은 값이다.

체크 비트는 001이다.

생성 다항식 $x^{3}+1$은 이진수 1001이고 최고 차수가 3이므로, 데이터 뒤에 0을 3개 붙인 11010000을 1001로 모듈로-2 나눗셈한다.
11010000 XOR 10010000 = 01000000
01000000 XOR 01001000 = 00001000
00001000 XOR 00001001 = 00000001
나머지가 001이므로 전송 코드는 11010001이며, 수신측에서 나누면 나머지가 0이 된다.

• 111: 체크 비트로 쓰면 수신측 나머지가 110으로 남아 오류로 판정된다.
• 011: 체크 비트로 쓰면 수신측 나머지가 010으로 남는다.
• 110: 체크 비트로 쓰면 수신측 나머지가 111로 남는다.
• 101: 체크 비트로 쓰면 수신측 나머지가 100으로 남는다.

옳지 않은 것은 Carson 대역폭이 90[kHz]라는 설명이다.

Carson의 법칙은 $B = 2(\Delta f + f_{m})$이다.
$B = 2(80 + 10) = 180\,\mathrm{kHz}$
90[kHz]는 2배를 곱하지 않은 값이다.

• 변조 지수: 위상 항의 사인 앞 계수가 8이므로 $\beta = 8$로 옳다.
• 메시지 신호 주파수: $2\pi \times 10^{4} t$에서 10[kHz]로 옳다.
• 최대 주파수 편이: $\Delta f = \beta f_{m} = 8 \times 10 = 80\,\mathrm{kHz}$로 옳다.
• 방송 채널 주파수: 반송파 항에서 95.9[MHz]로 옳다.

옳지 않은 것은 양자화 간격이 1[V]라는 설명이다.

신호 진폭이 32이므로 전압 범위는 $-32$~$+32$, 즉 64[V]이다. 5비트의 양자화 레벨 수는 $2^{5} = 32$개이다.
$\Delta = 64 / 32 = 2\,\mathrm{V}$
1[V]는 전압 범위를 양쪽이 아닌 진폭으로만 계산한 값이다.

• 변환 과정: 표본화, 양자화, 부호화 순서로 이루어지므로 옳다.
• 최소 표본화 주파수: 나이퀴스트 표본화율은 최고 주파수의 2배인 2W[Hz]이므로 옳다.
• 비트율: $8\,\mathrm{kHz} \times 8 = 64\,\mathrm{kbps}$이므로 옳다.
• PAM 신호: 표본의 진폭이 펄스 진폭이 되므로 표본화로 PAM 신호를 만들 수 있어 옳다.

옳지 않은 것은 한 프레임이 30개 채널이라는 설명이다.

T1의 한 프레임은 24개 채널로 구성되며, 30개의 음성 채널을 쓰는 것은 유럽 방식인 E1이다.
프레임 비트 수는 $24 \times 8 + 1 = 193$이고, 전송속도는 $193 \times 8000 = 1.544\,\mathrm{Mbps}$이다.

• TDM 전송: 여러 채널을 시간 슬롯에 나누어 싣는 시분할 다중화이므로 옳다.
• 전송속도: 위 계산대로 1.544[Mbps]이므로 옳다.
• 프레임 시간: 초당 8,000프레임이므로 프레임 주기는 125[$\mu s$]로 옳다.
• 채널당 속도: $8\,\mathrm{bit} \times 8000 = 64\,\mathrm{kbps}$이므로 옳다.

옳지 않은 것은 도플러 확산에서 성능이 좋아진다는 설명이다.

OFDM은 부반송파 간격이 좁아 주파수 오차에 민감하다. 도플러 확산이 생기면 부반송파 간 직교성이 깨져 부반송파 간 간섭(ICI)이 발생하고 성능이 나빠진다.

• 다중 반송파: 데이터를 여러 부반송파에 나누어 병렬 전송하므로 옳다.
• 직교 부반송파: 부반송파끼리 직교시켜 스펙트럼이 겹쳐도 분리할 수 있으므로 옳다.
• 시간 보호구간: 다중경로로 인한 심볼 간 간섭을 줄이기 위해 사용하므로 옳다.
• PAPR: 여러 부반송파가 같은 위상으로 더해지는 구간에서 첨두전력이 커져 증폭기 효율이 떨어지므로 옳다.

옳지 않은 것은 Z와 Y의 분산이 같다는 설명이다.

독립인 랜덤 변수의 합의 분산은 각 분산의 합이다.
$\mathrm{Var}(Z) = 1 + 1 = 2$
Y의 분산은 1이므로 두 값은 다르다. 따라서 Z의 분포는 평균 0, 분산 2인 가우시안이다.

• Z의 분포: 독립인 가우시안 변수의 합은 가우시안이므로 옳다.
• Z와 X의 평균: $E[Z] = 0 + 0 = 0$으로 X의 평균과 같아 옳다.
• 대칭성: 평균이 0인 가우시안의 확률밀도함수는 0을 중심으로 대칭이므로 옳다.
• 전체 적분: 모든 확률밀도함수는 전체 구간 적분값이 1이므로 옳다.

옳지 않은 것은 사인 함수의 푸리에 변환이 코사인 함수라는 설명이다.

주파수 $f_{0}$인 사인 함수는 단일 주파수 신호이므로 스펙트럼이 $\pm f_{0}$의 임펄스 쌍으로 나타난다.
$\sin(2\pi f_{0} t) \leftrightarrow \dfrac{1}{2j}\left[\delta(f-f_{0}) - \delta(f+f_{0})\right]$

• 구형파: 시간 영역 사각 펄스의 변환은 sinc 함수 형태이므로 옳다.
• 상수 함수: 직류 성분만 있으므로 주파수 0의 임펄스가 되어 옳다.
• 임펄스 함수: $\delta(t) \leftrightarrow 1$로 상수 함수가 되어 옳다.
• 주기 임펄스 함수: 임펄스열의 변환은 주파수 영역의 임펄스열이므로 옳다.

64QAM의 심볼당 비트 수는 6비트이다.

M진 변조의 심볼당 비트 수는 $\log_{2} M$으로 구한다.
$\log_{2} 64 = 6$

• 1비트: BPSK처럼 심볼이 2개인 방식의 값이다.
• 2비트: QPSK(4QAM)처럼 심볼이 4개인 방식의 값이다.
• 4비트: 16QAM의 값이다.
• 8비트: 256QAM의 값이다.

옳지 않은 것은 QPSK의 인접 심볼 위상차가 45도라는 설명이다.

QPSK는 4개의 심볼을 360도에 균등하게 배치하므로 인접 심볼의 위상차는 90도이다.
$360^{\circ} / 4 = 90^{\circ}$

• QPSK의 심볼 수: 위상이 다른 4개의 심볼을 사용하므로 옳다.
• BPSK의 심볼당 비트: 심볼이 2개이므로 $\log_{2} 2 = 1$비트로 옳다.
• BPSK의 위상차: $360^{\circ} / 2 = 180^{\circ}$이므로 옳다.
• 전송속도 비교: 심볼 시간이 같으면 심볼당 2비트인 QPSK가 BPSK의 2배 속도를 내므로 옳다.

옳지 않은 것은 X의 분산이 1이라는 설명이다.

구간 $[-2, 2]$의 균등분포이므로 분산은 다음과 같다.
$\mathrm{Var}(X) = \dfrac{(b-a)^{2}}{12}$
$= \dfrac{4^{2}}{12} = \dfrac{4}{3}$
따라서 분산은 1이 아니라 4/3이다.

• -3보다 작을 확률: 그 구간의 확률밀도가 0이므로 확률도 0으로 옳다.
• 0보다 클 확률: 0을 중심으로 대칭이므로 0.5로 옳다.
• C의 값: 전체 적분이 1이어야 하므로 $4C = 1$에서 0.25로 옳다.
• 평균: 분포가 0에 대칭이므로 0으로 옳다.

평균 데이터 전송률은 15.000 kbps이다.

표본화율은 Nyquist rate인 8[kHz]이다. Huffman 부호어 길이는 확률이 큰 순서대로 1, 2, 3, 4, 4비트이다.
$L = \dfrac{1}{2}(1) + \dfrac{1}{4}(2) + \dfrac{1}{8}(3) + \dfrac{1}{16}(4) + \dfrac{1}{16}(4)$
$L = 1.875$ [비트/표본]
$R = 8\,\mathrm{kHz} \times 1.875 = 15\,\mathrm{kbps}$

확률이 모두 2의 거듭제곱 역수이므로 평균 부호 길이가 엔트로피와 같다.

• R = 18.575 kbps: 5레벨이 등확률일 때의 엔트로피 $\log_{2} 5$를 쓴 값이다.
• R = 20.000 kbps: 평균 2.5비트에 해당하여 실제 평균 부호 길이보다 길다.
• R = 22.384 kbps: 평균 약 2.8비트에 해당하여 최적 부호의 길이가 아니다.
• R = 24.000 kbps: 레벨마다 고정 3비트를 쓴 값으로 Huffman 부호의 효과가 없다.

옳지 않은 것은 파형 성형의 부가 장점으로 대역폭이 감소한다는 설명이다.

파형 성형의 목적은 ISI 제거이다. 구현이 쉬운 상승 코사인 펄스는 이상적인 sinc 펄스보다 롤오프만큼 대역폭이 더 넓다.

• ISI의 정의: 한 펄스가 전후 펄스의 판정 시점에 영향을 주는 현상이므로 옳다.
• sinc 펄스: 이론상 ISI가 없지만 이상적 필터가 필요해 구현이 어려우므로 옳다.
• 상승 코사인 펄스: 꼬리가 빨리 줄어 구현이 수월하므로 옳다.
• 표본화 위치의 0값: 다른 표본화 시점에서 0이 되는 것이 ISI가 없는 펄스의 조건이므로 옳다.

필요한 값은 대역폭 효율 6 bps/Hz, SNR=63이다.

대역폭 효율은 전송률을 대역폭으로 나눈 값이다.
$C/B = 36 / 6 = 6\,\mathrm{bps/Hz}$
샤논 용량 공식 $C/B = \log_{2}(1+\mathrm{SNR})$에 대입한다.
$\log_{2}(1+\mathrm{SNR}) = 6$
$1+\mathrm{SNR} = 64$
$\mathrm{SNR} = 63$

• 6 bps/Hz, SNR=64: $1+\mathrm{SNR}$의 값을 SNR로 잘못 답한 것이다.
• 3 bps/Hz, SNR=8: 대역폭 효율이 틀렸고, SNR도 3 bps/Hz에 맞는 값이 아니다.
• 3 bps/Hz, SNR=7: 3 bps/Hz에는 맞는 SNR이지만 효율 자체가 36Mbps/6MHz와 다르다.
• 2 bps/Hz, SNR=4: 효율이 틀렸고, 이 SNR로는 전송률이 부족하다.

옳지 않은 것은 FEC에 그레이코드가 포함된다는 설명이다.

그레이코드는 인접 값이 1비트만 달라지게 배열한 부호로, 디지털 변조의 심볼 매핑 등에 쓰이며 오류 정정 부호가 아니다. 블록코드와 터보코드는 FEC에 해당한다.

• ARQ의 동작: 수신측이 오류를 검출해 재전송을 요청하므로 옳다.
• ARQ의 통신 방식: 재전송 요청을 보낼 역방향 경로가 필요해 양방향 시스템에서 쓰므로 옳다.
• FEC의 비트 추가: 송신측이 잉여 비트를 붙여 수신측이 스스로 정정하게 하므로 옳다.
• FEC의 단방향 사용: 재전송 요청 없이 정정하므로 단방향 시스템에서 쓸 수 있어 옳다.

필요한 최소 대역폭은 B = 18 MHz이다.

화소당 비트는 $8 \times 3 = 24$이다.
비트율: $30 \times (2 \times 10^{5}) \times 24 = 144\,\mathrm{Mbps}$
16진 PAM은 심볼당 4비트이므로 심볼률: $144 / 4 = 36\,\mathrm{Msym/s}$
나이퀴스트 최소 대역폭은 심볼률의 1/2이다.
$B = 36 / 2 = 18\,\mathrm{MHz}$

• B = 36 MHz: 심볼률을 대역폭으로 착각한 값이다.
• B = 54 MHz: 심볼률보다도 커서 최소 대역폭이 될 수 없다.
• B = 72 MHz: 16진이 아닌 2진 전송일 때의 최소 대역폭이다.
• B = 90 MHz: 심볼률의 2.5배로 최소 대역폭이 될 수 없다.

옳지 않은 것은 DS-SS가 비트율이 낮은 PN 코드를 사용한다는 설명이다.

DS-SS는 입력 데이터보다 칩 속도가 훨씬 높은 PN 코드를 곱해 스펙트럼을 넓힌다. PN 코드의 속도가 낮으면 대역이 확산되지 않는다.

• 전파 방해: 역확산 때 방해 신호가 넓게 퍼져 영향이 줄어들므로 옳다.
• 잡음: 처리 이득으로 협대역 잡음의 영향이 줄어들므로 옳다.
• 보안성: PN 코드나 도약 패턴을 모르면 복원이 어려워 옳다.
• FH-SS의 도약 패턴: 수신측이 같은 패턴으로 주파수를 따라가야 복조되므로 옳다.

최소 시간 지연은 0.2초이다.

업링크와 다운링크를 합친 왕복 거리를 빛의 속도로 나눈다.
$d = 2 \times (3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}) = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$
$t = \dfrac{6 \times 10^{7}}{3 \times 10^{8}} = 0.2\,\mathrm{s}$

• 0.1초: 업링크 편도만 계산한 값이다.
• 0.5초: 150,000km를 전파해야 나오는 값으로 왕복 거리보다 길다.
• 1.0초: 300,000km를 전파해야 나오는 값으로 왕복 거리보다 길다.
• 2.0초: 거리 단위를 10배 크게 환산했을 때 나오는 값이다.