18년 1회차

출력은 차단주파수 안에 있는 25 Hz 성분 $\cos(50\pi t)$만 남는다.

각 성분의 주파수는 $\omega=2\pi f$로 구한다.
$\cos(50\pi t)$ → $f=25\,\mathrm{Hz}$ (통과)
$2\sin(300\pi t)$ → $f=150\,\mathrm{Hz}$ (차단)

통과대역 이득 0 dB는 크기 이득 1배이므로 진폭은 그대로 유지된다.

• 출력 0: 25 Hz 성분이 통과대역에 있으므로 출력은 0이 아니다.
• $2\cos(50\pi t)$: 이득이 1배이므로 진폭이 2배가 되지 않는다.
• $2\sin(300\pi t)$: 150 Hz는 차단주파수보다 높아 제거되는 성분이다.
• 두 성분의 합: 이상적 필터는 150 Hz 성분을 완전히 차단하므로 합이 그대로 나오지 않는다.

자기상관이 임펄스이면 신호는 백색잡음 형태이므로 전력 스펙트럼 밀도가 전 주파수에서 균일하다.

위너-킨친 정리에 따라 PSD는 자기상관의 푸리에 변환이다.
$S(f)=\mathcal{F}\{\delta(\tau)\}=1$

• 대역 제한된 PSD: $S(f)$가 모든 주파수에서 상수이므로 대역 제한이 없다.
• 주파수에 따라 변하는 PSD: 값이 일정한 상수이므로 변하지 않는다.
• 상관 값이 항상 0보다 큼: $\tau\neq0$이면 $\delta(\tau)=0$이므로 서로 다른 시점의 상관은 0이다.
• 모든 $\tau$에서 같은 자기상관 값: 임펄스는 $\tau=0$에서만 값을 가지므로 일정한 함수가 아니다.

옳지 않은 것은 $X\gt1$의 확률이 $X\lt0$의 확률보다 작다는 설명이다. 실제 대소는 반대다.

가우시안 표준형 $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-m)^2/(2\sigma^2)}$과 비교하면 $m=1$, $2\sigma^2=1$이다.

분포가 $x=1$에 대해 대칭이므로 $P(X\gt1)=0.5$이고, $P(X\lt0)=P(X\gt2)$는 0.5보다 작다.

• 평균 1: 지수의 $(x-1)^2$에서 $m=1$이므로 옳다.
• 분산 0.5: $2\sigma^2=1$에서 $\sigma^2=0.5$이므로 옳다.
• 양의 값을 가질 확률이 0.5보다 큼: $P(X\gt0)\gt P(X\gt1)=0.5$이므로 옳다.
• 가우시안 분포: 지수 함수에 2차식이 들어간 정규분포 꼴이므로 옳다.

옳지 않은 것은 심벌당 비트 수가 큰 변조방식을 쓰는 것이다.

심벌당 비트 수를 늘리면 성상점 간격이 좁아져 같은 오류율에 더 높은 SNR이 필요하다. 수신 전력이 떨어지는 페이딩 구간에서는 오히려 오류에 더 취약해진다.

• 안테나 수 증가: 공간 다이버시티로 페이딩을 완화한다.
• 오류 정정 부호: 페이딩으로 생긴 비트 오류를 수신측에서 정정한다.
• 여러 주파수 사용: 주파수 다이버시티로 특정 주파수의 깊은 페이딩을 피한다.
• 같은 정보 반복 송신: 시간 다이버시티로 일부 구간이 손상되어도 복구할 수 있다.

같은 위상의 반송파로 변조·복조한 뒤 이득 2의 LPF를 거치면 출력은 원신호 그대로 $y(t)=\cos(2\pi t)$가 된다.

채널 응답이 $H(f)=1$이므로 두 번째 곱셈기 출력은 다음과 같다.
$x(t)\cos^2(200\pi t)=\dfrac{1}{2}x(t)+\dfrac{1}{2}x(t)\cos(400\pi t)$

뒤의 항은 $200\,\mathrm{Hz}$ 부근 성분이라 차단주파수 5 Hz의 LPF에서 제거되고, $1\,\mathrm{Hz}$인 앞의 항만 통과한다.
통과대역 이득 2를 곱하면 $y(t)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cos(2\pi t)=\cos(2\pi t)$이다.

• $0.5\cos(2\pi t)$는 LPF의 이득 2를 반영하지 않은 값이다.
• $2\cos(2\pi t)$는 곱셈에서 생기는 계수 $1/2$을 빠뜨린 값이다.
• $4\cos(2\pi t)$는 계수 $1/2$을 빠뜨린 데다 이득을 한 번 더 곱해야 나오는 크기다.
• $2\sin(2\pi t)$는 두 반송파의 위상이 같아 나올 수 없는 형태이며, 크기도 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 송수신의 변환 순서가 뒤바뀐 설명이다. OFDM은 송신측 IFFT, 수신측 FFT를 사용한다.

송신측은 주파수 영역의 데이터를 부반송파에 실어 IFFT로 시간 신호를 만들고, 수신측은 FFT로 각 부반송파의 데이터를 되찾는다.

• VC 사용: 대역 가장자리 부반송파를 비워 인접 채널 간섭에 대비하므로 옳다.
• 부반송파 개수 증가: 스펙트럼이 사각형에 가까워져 대역 가장자리의 낭비가 줄어들므로 스펙트럼 효율이 높아진다.
• 부반송파 대역 중첩: 대역이 겹쳐도 직교성이 유지되면 ICI가 생기지 않으므로 옳다.
• CP 사용: 심벌 앞에 보호구간을 두어 다중경로에 의한 ISI를 막으므로 옳다.

그레이 부호를 올바르게 설명한 것은 ㄴ과 ㄷ이다.

그레이 부호는 인접 심벌의 비트열이 1비트만 다르도록 배치한다. 심벌 오류는 대부분 인접 심벌로 일어나므로, 심벌 오류 하나가 비트 오류 하나로 끝나는 경우가 많아진다.

• ㄱ(틀림): 그레이 부호는 비트 배치 방식일 뿐, 연속 신호 간의 위상변화를 줄이는 기법이 아니다.
• ㄴ(옳음): 심벌 오류당 틀리는 비트 수가 줄어 평균 비트 오류확률이 감소한다.
• ㄷ(옳음): 인접 심벌 오류의 비트 오류가 1비트이므로 2개 이상의 비트 오류 발생이 줄어든다.
• ㄹ(틀림): 심벌 오류확률 자체는 변하지 않는다. 비트 배치만 바꾸어 비트 오류를 줄이는 것이다.

수신열과 해밍 거리가 가장 작은 경로는 입력 [1 0 1 0 0]이며, 거리는 1이다.

비터비 복호는 트렐리스 경로 중 수신열과 가장 가까운 것을 고른다. 실선은 입력 0, 점선은 입력 1이다.

입력 [1 0 1 0 0]의 경로는 상태 00 → 10 → 01 → 10 → 01 → 00이다.
이 경로의 출력은 11 01 00 01 11로, 수신열 11 01 10 01 11과 세 번째 묶음의 1비트만 다르다.

• [0 1 1 0 0]의 출력은 00 11 10 10 11로, 거리가 5이다.
• [0 1 0 0 0]의 출력은 00 11 01 11 00으로, 거리가 8이다.
• [1 1 1 0 0]의 출력은 11 10 01 10 11로, 거리가 6이다.
• [1 1 0 0 0]의 출력은 11 10 10 11 00으로, 거리가 5이다.

옳지 않은 것은 콤마 심벌을 삽입해야 한다는 설명이다. 이 코드는 전치 부호이므로 구분 기호가 필요 없다.

평균 길이는 다음과 같다.
$\bar{L}=\frac{1}{2}\cdot1+\frac{1}{4}\cdot2+\frac{1}{8}\cdot3+\frac{1}{8}\cdot3=\frac{7}{4}$

엔트로피도 $H=\sum p_i\log_2(1/p_i)=\frac{7}{4}$로 같다. 각 확률이 2의 음의 거듭제곱이어서 평균 길이가 엔트로피 하한과 일치한다.

• 평균 길이 7/4의 최소 코드: 평균 길이가 엔트로피와 같으므로 옳다.
• 전치 부호: 1, 01, 001, 000 중 어느 것도 다른 코드워드의 앞부분이 아니므로 옳다.
• 유일 복호 가능: 전치 부호는 항상 유일하게 복호되므로 옳다.
• 순시 부호: 코드워드 끝에서 바로 복호가 끝나 다음 코드워드를 볼 필요가 없으므로 옳다.

두 신호점 사이 거리로 계산하면 ㄱ - B, ㄴ - C, ㄷ - A의 짝이 맞다.

2진 신호의 오류율은 신호점 거리 $d$로 결정된다.
$P_e=Q\left(\dfrac{d}{\sqrt{2N_0}}\right)$

거리가 멀수록 오류율이 낮으므로 대척 → 직교 → 단극 순으로 성능이 좋다.

• ㄱ - A, ㄴ - B, ㄷ - C의 짝은 ㄱ에 직교 신호의 식을, ㄴ에 대척 신호의 식을 붙였다.
• ㄱ - A, ㄴ - C, ㄷ - B의 짝은 ㄱ과 ㄷ의 식이 서로 뒤바뀌었다.
• ㄱ - C, ㄴ - B, ㄷ - A의 짝은 거리가 가장 먼 ㄱ에 가장 나쁜 식을 붙였다.
• ㄱ - B, ㄴ - A, ㄷ - C의 짝은 ㄴ과 ㄷ의 식이 서로 뒤바뀌었다.

QPSK의 전송속도는 50 Mbps이다. 심벌률이 같으면 전송속도는 심벌당 비트 수에 비례한다.

16-QAM은 심벌당 4비트, QPSK는 심벌당 2비트이다.
$R_s=\dfrac{100\,\mathrm{Mbps}}{4}=25\,\mathrm{Msym/s}$
$R_b=25\,\mathrm{Msym/s}\times2=50\,\mathrm{Mbps}$

• 200 Mbps: 심벌당 비트 수가 절반으로 줄었는데 2배로 곱한 값이다.
• 100 Mbps: 비트 수가 줄었는데 전송속도를 그대로 둔 값이다.
• 16 Mbps: 변조 차수를 속도로 잘못 쓴 값이다.
• 4 Mbps: 심벌당 비트 수를 속도로 잘못 쓴 값이다.

동시에 전송할 수 있는 채널은 최대 200채널이다.

신호 최고 주파수가 15 kHz이므로 나이퀴스트 표본화율은 그 2배이다.
$f_s=2\times15\,\mathrm{kHz}=30\,\mathrm{kHz}$

채널당 전송률을 구하고 전송로 용량을 나눈다.
$30\,\mathrm{kHz}\times15\,\mathrm{bit}=450\,\mathrm{kbps}$
$\dfrac{90\,\mathrm{Mbps}}{450\,\mathrm{kbps}}=200$

• 100채널: 전송률이 45 Mbps에 그쳐 최대 채널 수가 아니다.
• 300채널: 135 Mbps가 필요해 전송로 용량을 넘는다.
• 400채널: 표본화율을 2배 하지 않고 15 kHz로 계산한 값이다.
• 500채널: 225 Mbps가 필요해 전송로 용량을 넘는다.

옳지 않은 것은 위상 뺄셈으로 잡음이 작아져 DPSK의 오류확률이 좋아진다는 설명이다.

두 심벌의 잡음은 서로 독립이므로 뺄셈으로 상쇄되지 않고 분산이 더해진다. 그 결과 DPSK는 동기식 PSK보다 오류확률이 나쁘다.

• 위상과 위상차에 데이터 실음: PSK와 DPSK의 정의 그대로이므로 옳다.
• DPSK의 간단한 복조: 직전 심벌을 기준으로 삼아 정확한 위상 동기가 필요 없으므로 옳다.
• 심벌당 비트 수 증가 시 성능 저하: 같은 에너지에서 위상 간격이 좁아지므로 옳다.
• 같은 심벌 속도에서 같은 전송률: 심벌당 비트 수가 같으면 전송률도 같으므로 옳다.

옳지 않은 설명은 오류확률이 A와 B의 면적을 단순히 더한 것이라는 내용이다.

A와 B는 각각 데이터 1과 0을 보냈다는 조건 아래의 확률이므로, 전체 오류확률은 송신 확률로 가중해야 한다.
$P_e=P_1\cdot A+P_0\cdot B$

$P_0=P_1=1/2$이어도 오류확률은 두 면적 합의 절반이므로 단순 합과 같아지지 않는다.

• A는 $x=1$ 곡선에서 $y\lt a$인 부분이므로, 1을 보냈는데 0으로 판별할 확률이라는 설명은 옳다.
• B는 $x=0$ 곡선에서 $y\gt a$인 부분이므로, 0을 보냈는데 1로 판별할 확률이라는 설명은 옳다.
• 송신 확률이 같으면 두 곡선의 교점이 최적 문턱값이고, 평균이 $\pm\sqrt{E_s}$로 대칭이므로 문턱값이 0이라는 설명은 옳다.
• 최적 문턱값에서 오류확률은 $Q(\sqrt{E_s}/\sigma)$이므로, $\sqrt{E_s}/\sigma$가 클수록 작아진다는 설명은 옳다.

가장 근접한 값은 $8\times10^{-12}$이다.

오류 위치를 고르는 경우가 8가지이므로 이항분포로 계산한다.
$P=\binom{8}{1}p(1-p)^7$

$p=10^{-12}$은 매우 작아 $(1-p)^7\approx1$로 둘 수 있다.
$P\approx8\times10^{-12}$

• $1\times10^{-12}$: 특정 한 비트에서만 오류가 날 확률로, 위치의 경우의 수 8을 곱하지 않은 값이다.
• $1\times10^{-6}$: 비트 오류확률의 제곱근 크기로, 계산에서 나올 수 없는 값이다.
• $8\times10^{-6}$: 제곱근 크기에 8을 곱한 값으로 자릿수가 맞지 않는다.
• $1\times10^{-4}$: 8개 비트의 확률을 더한 크기보다 훨씬 커서 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 3-비트 오류 정정이다. 최소 거리 5로는 2비트까지만 정정할 수 있다.

최소 거리 $d_{\min}$일 때 성능 조건은 다음과 같다.
검출: $d_{\min}\ge e+1$
정정: $d_{\min}\ge 2t+1$
정정과 검출 동시($e\ge t$): $d_{\min}\ge t+e+1$

3비트 정정에는 $d_{\min}\ge7$이 필요하므로 거리 5로는 불가능하다.

• 4-비트 검출: $4+1=5$이므로 가능하다.
• 1-비트 정정과 1-비트 검출: $1+1+1=3\le5$이므로 가능하다.
• 1-비트 정정과 2-비트 검출: $1+2+1=4\le5$이므로 가능하다.
• 2-비트 정정과 2-비트 검출: $2+2+1=5$이므로 가능하다.

엔트로피를 최대로 하는 값은 $p=\frac{1}{2}$이다. 두 값의 확률이 같을 때 불확실성이 가장 크다.

이진 엔트로피는 다음과 같고 $p=\frac{1}{2}$에서 최댓값 1 비트를 갖는다.
$H(p)=-p\log_2 p-(1-p)\log_2(1-p)$

• $p=0$: 결과가 항상 1로 확정되어 $H=0$이다.
• $p=\frac{1}{4}$: $H=\frac{1}{4}\cdot2+\frac{3}{4}(2-\log_2 3)\approx0.8$ 비트로 1 비트보다 작다.
• $p=\frac{3}{4}$: $p=\frac{1}{4}$과 대칭이므로 같은 값이다.
• $p=1$: 결과가 항상 0으로 확정되어 $H=0$이다.

FM 신호의 대역폭은 210 kHz, 변조지수는 20이다.

변조지수는 최대 주파수편이를 신호 주파수로 나눈 값이다.
$\beta=\dfrac{\Delta f}{f_m}=\dfrac{100\,\mathrm{kHz}}{5\,\mathrm{kHz}}=20$

대역폭은 카슨 법칙으로 구한다.
$B=2(\Delta f+f_m)=2(100+5)\,\mathrm{kHz}=210\,\mathrm{kHz}$

• 대역폭 210 kHz와 변조지수 10: 대역폭은 맞지만 변조지수가 틀렸다.
• 대역폭 220 kHz와 변조지수 10: $f_m$을 10 kHz로 잘못 쓴 값이다.
• 대역폭 220 kHz와 변조지수 20: 변조지수는 맞지만 대역폭이 틀렸다.
• 대역폭 220 kHz와 변조지수 40: 대역폭과 변조지수가 모두 틀렸다.

1로 판단했을 때 실제로 1을 보냈을 확률은 $\frac{9}{13}$이다.

베이즈 정리를 쓴다. 분자는 1을 보내고 1로 판단할 확률이고, 분모는 1로 판단할 전체 확률이다.

송신 비트를 $S$, 판단 결과를 $D$라 하면 다음과 같다.
$P(D=1)=0.2\times0.9+0.8\times0.1=0.26$
$P(S=1\mid D=1)=\dfrac{0.18}{0.26}=\dfrac{9}{13}$

• $\frac{9}{34}$: 분모를 0.68로 둔 꼴로, 전체 확률 0.26과 맞지 않는다.
• $\frac{9}{26}$: 분모를 0.52로 둔 꼴로, 전체 확률을 2배로 잡은 값이다.
• $\frac{9}{17}$: 분모를 0.34로 둔 꼴로, 오판 항을 중복해 더한 값이다.
• $\frac{9}{10}$: 1을 보냈을 때 1로 판단할 조건부 확률로, 사후확률과 뒤바꾼 값이다.

옳지 않은 것은 소프트 핸드오버의 설명이다. 이전 기지국 연결을 끊은 뒤 새로 연결하는 방식은 하드 핸드오버이다.

소프트 핸드오버는 이전 기지국과의 연결을 유지한 채 새 기지국과 먼저 연결한 뒤 이전 연결을 해제한다.

• 셀 크기 축소: 같은 면적에 셀이 늘어나 주파수 재사용이 많아지므로 단위 면적당 사용자 수가 는다.
• FDD: 송신과 수신에 서로 다른 주파수 채널을 쓰는 방식이므로 옳다.
• 셀룰러 통신망: 서비스 지역을 셀로 나누어 기지국을 두고 제어하는 구조이므로 옳다.
• 로밍: 다른 사업자의 서비스 지역에서도 서비스를 받게 하는 것이므로 옳다.