20년 1회차

오류 정정 부호가 아닌 것은 Huffman 부호이다.

Huffman 부호는 발생 확률이 높은 심벌에 짧은 부호어를 주어 평균 부호 길이를 줄이는 원천 부호화(압축) 기법이다. 중복을 없애는 쪽이므로, 중복을 더해 오류를 고치는 채널 부호와 목적이 반대이다.

• Convolutional 부호: 현재와 과거 입력 비트로 출력을 만드는 채널 부호로, Viterbi 복호 등으로 오류를 정정한다.
• Turbo 부호: 구성 부호를 인터리버로 연접하고 반복 복호하는 오류 정정 부호이다.
• Reed-Solomon 부호: 심벌 단위로 동작하는 블록 부호로, 연집 오류 정정에 강하다.
• Hamming 부호: 패리티 비트를 더해 단일 비트 오류를 정정하는 블록 부호이다.

DFT의 최소 주파수 간격은 관측 시간의 역수이므로 0.5[Hz]이다.

샘플 수: $N = 8000 \times 2 = 16000$
주파수 간격: $\Delta f = \dfrac{f_{s}}{N} = \dfrac{8000}{16000} = 0.5 \, \mathrm{Hz}$
즉 샘플링 주파수와 무관하게 $\Delta f = \dfrac{1}{T}$ 로, 관측 시간 2초만으로 결정된다.

• 1[Hz]: 관측 시간이 1초일 때의 간격이다.
• 0.2[Hz]: 관측 시간이 5초일 때의 간격이다.
• 2[Hz]: 관측 시간의 역수를 취하지 않고 2초를 그대로 쓴 값이다.
• 0.1[Hz]: 관측 시간이 10초일 때의 간격이다.

옳지 않은 설명은 원천 부호화가 오류 검출·정정 비트를 추가한다는 내용이다.

오류 검출·정정용 비트를 추가하는 것은 채널 부호화의 역할이다. 원천 부호화는 반대로 데이터의 중복을 줄여 압축한다.

• 원천 부호화의 데이터 압축: 중복을 제거해 전송할 비트 수를 줄이므로 옳다.
• 델타변조: 인접 샘플의 증감만 1비트로 나타내므로 한 샘플당 한 비트를 전송한다.
• NRZ: 비트 구간 안에서 0으로 돌아가지 않고 일정한 레벨을 유지한다.
• 펄스성형: 펄스 파형을 다듬어 인접 심볼 간 간섭(ISI)을 없애는 데 쓴다.

균등 양자화의 최대 오차는 양자화 간격의 절반이므로 $\dfrac{1}{128}$이다.

신호 범위 폭: $2 - ( - 2 ) = 4$
양자화 간격: $\Delta = \dfrac{4}{2^{8}} = \dfrac{1}{64}$
최대 오차: $e_{\max} = \dfrac{\Delta}{2} = \dfrac{1}{128}$

범위의 폭은 양쪽 극성을 합친 4로 잡아야 한다.

• $\dfrac{1}{64}$: 양자화 간격 자체로, 절반을 취하지 않은 값이다.
• $\dfrac{1}{32}$: 레벨 수를 128개(7비트)로 잡았을 때의 간격이다.
• $\dfrac{1}{256}$: 범위 폭을 2로 잘못 잡았을 때의 최대 오차이다.
• $\dfrac{1}{512}$: 범위 폭을 1로 잘못 잡았을 때의 최대 오차이다.

이 랜덤 변수의 엔트로피는 1.75비트이다.

그림에서 $x=-1,0,1,2$의 확률은 각각 $1/8$, $1/2$, $1/8$, $1/4$이다. 엔트로피는 확률값으로만 정해지므로 $x$가 음수여도 계산에는 영향이 없다.

$H(X)=-\sum_{x}P(x)\log_{2}P(x)$

$H(X)=\dfrac{1}{2}\cdot 1+\dfrac{1}{4}\cdot 2+\dfrac{1}{8}\cdot 3+\dfrac{1}{8}\cdot 3=0.5+0.5+0.75=1.75$

• 1.25는 확률 $1/4$인 값의 기여분 0.5를 빠뜨린 결과이다.
• 1.5는 확률 $1/8$인 두 값을 확률 $1/4$인 한 값으로 합쳐 계산한 결과이다.
• 2는 네 값이 모두 같은 확률일 때의 값으로, 이 분포처럼 확률이 고르지 않으면 그보다 작다.
• 2.25는 네 값을 갖는 변수의 최댓값인 $\log_{2}4=2$를 넘으므로 나올 수 없다.

요구되는 최소 비트 전송률은 80[kbps]이다.

나이키스트율: $f_{s} = 2 \times 5 \, \mathrm{kHz} = 10 \, \mathrm{kHz}$
비트 전송률: $R = 10 \, \mathrm{kHz} \times 8 = 80 \, \mathrm{kbps}$
초당 샘플 수에 샘플당 비트 수를 곱한다.

• 70[kbps]: 샘플당 7비트일 때의 값으로, 8비트를 실시간 전송하기에 부족하다.
• 90[kbps]: 샘플당 9비트일 때의 값이다.
• 100[kbps]: 샘플당 10비트일 때의 값이다.
• 110[kbps]: 샘플당 11비트일 때의 값이다.

옳지 않은 설명은 잡음 지수가 클수록 좋다는 내용이다.

잡음 지수는 소자나 회로를 거치며 SNR이 얼마나 나빠지는지 나타내는 값(입력 SNR과 출력 SNR의 비)이다. 따라서 작을수록 좋은 값이다.

• 잡음의 랜덤성: 열잡음 등 대부분의 잡음은 값을 미리 알 수 없는 랜덤 신호이다.
• 가우시안 잡음: 진폭이 가우시안 확률분포를 따르는 잡음이다.
• 백색 잡음: 전력 스펙트럼 밀도가 모든 주파수에서 균일한 잡음이다.
• 신호대잡음비: 신호 전력을 잡음 전력과 비교한 값으로, 잡음 대비 신호의 세기를 나타낸다.

출력 신호는 $y(t)=8\cos(\pi t)+6\cos(3\pi t)$이다.

LTI 시스템에서 정현파 입력은 주파수가 유지되고 크기만 그 주파수의 $H(f)$배가 된다. $\cos(2\pi ft)$와 비교하면 입력의 두 성분은 0.5 Hz와 1.5 Hz이다.

그림의 응답은 $f=0$에서 1이고 $|f|=2.5$에서 0인 삼각형이며, 양의 실수값이므로 위상은 변하지 않는다.
$H(f)=1-\dfrac{|f|}{2.5}$

$H(0.5)=0.8$이므로 $10\times 0.8=8$
$H(1.5)=0.4$이므로 $15\times 0.4=6$

• $6\cos(3\pi t)$만 남는다는 내용은 0.5 Hz 성분이 사라진다는 뜻인데, 이 성분의 이득은 0.8이다.
• $8\cos(\pi t)$만 남는다는 내용은 1.5 Hz 성분이 차단된다는 뜻인데, 1.5 Hz도 2.5 Hz 이내라 이득이 0.4로 남는다.
• $6\cos(\pi t)+4\cos(3\pi t)$는 두 성분의 크기가 각각 8과 6이 아니다.
• $4\cos(\pi t)+2\cos(3\pi t)$도 두 성분의 크기가 각각 8과 6이 아니다.

평균 오류 확률은 전송 비율로 가중 평균한 $\dfrac{9}{500}$이다.

0의 오류 개수: $200 \times 0.01 = 2$
1의 오류 개수: $800 \times 0.02 = 16$
평균 오류 확률: $P_{e} = \dfrac{2 + 16}{1000} = \dfrac{18}{1000} = \dfrac{9}{500}$

0과 1의 개수가 다르므로 단순 평균을 쓰면 안 된다.

• $\dfrac{3}{200}$: 두 오류 확률을 단순 평균한 0.015이다.
• $\dfrac{2}{125}$: 1에서 생긴 오류 16개만 세어 0.016으로 구한 값이다.
• $\dfrac{1}{100}$: 0의 오류 확률만 쓴 값이다.
• $\dfrac{3}{100}$: 두 오류 확률을 단순히 더한 값이다.

WLAN(무선랜)을 규정한 표준은 IEEE 802.11이다.

Wi-Fi로 불리는 무선랜 기술이 이 표준 계열에 속한다. IEEE 802 위원회의 표준은 작업반 번호별로 다루는 영역이 다르다.

• IEEE 802.15: Bluetooth, ZigBee 등 근거리 개인 무선망(WPAN) 표준이다.
• IEEE 802.16: WiMAX로 알려진 무선 도시권 통신망(WMAN) 표준이다.
• IEEE 802.21: 이기종 망 사이의 매체 독립 핸드오버(MIH) 표준이다.
• IEEE 802.22: TV 유휴 대역을 활용하는 무선 지역망(WRAN) 표준이다.

각변조 신호이므로 평균 전력은 진폭만으로 정해져 2가 된다.

메시지는 위상에만 실려 있어 포락선이 진폭 2로 일정하다. 반송파 주파수가 메시지 대역폭보다 매우 크므로 정현파 전력 공식을 그대로 쓴다.
$P = \dfrac{A^{2}}{2} = \dfrac{2^{2}}{2} = 2$

• 전력 1: 진폭 제곱을 4로 나눈 값으로, 양측 스펙트럼의 한쪽 성분 전력에 해당한다.
• 전력 3: 위상 항의 기여를 더한 듯한 값이지만, 위상 변화는 평균 전력을 바꾸지 않는다.
• 전력 4: 진폭 제곱에서 $\dfrac{1}{2}$을 빠뜨린 값이다.
• 전력 5: AM처럼 메시지 전력이 더해지는 구조가 아니므로 나올 수 없는 값이다.

입력신호의 진폭은 1[mV]이다.

전력은 진폭의 제곱에 비례하므로(입출력 임피던스 동일 가정) 전압비는 $20 \log_{10}$로 계산한다.
$40 = 20 \log_{10} \dfrac{V_{o}}{V_{i}}$
$\dfrac{V_{o}}{V_{i}} = 100$
$V_{i} = \dfrac{100 \, \mathrm{mV}}{100} = 1 \, \mathrm{mV}$

• 입력 20[mV]: 전압비 5배, 전력비 25배에 그쳐 40[dB]에 못 미친다.
• 입력 15[mV]: 전압비 약 6.7배로 전력비가 $10^{4}$배에 크게 못 미친다.
• 입력 10[mV]: 전압비 10배로 전력 이득 20[dB]에 해당한다.
• 입력 5[mV]: 전압비 20배, 전력비 400배로 40[dB]에 못 미친다.

옳지 않은 설명은 위상차가 180도라는 내용이다.

Hilbert 변환의 주파수응답은 $H ( f ) = - j \, \mathrm{sgn} ( f )$ 이다. 크기는 1이고 양의 주파수에서 위상을 90도 늦추므로 위상차는 90도이다.

• 컨벌루션 표현: 임펄스 응답이 $\dfrac{1}{\pi t}$ 이므로 $\hat{x} ( t )$는 이와 $x ( t )$의 컨벌루션이다.
• Hilbert 변환을 두 번 적용: $H^{2} ( f ) = - 1$ 이므로 결과는 $- x ( t )$이다.
• 적분 값 0: 신호와 그 Hilbert 변환은 서로 직교한다.
• 크기 스펙트럼: $\left| H ( f ) \right| = 1$ 이므로 두 신호의 크기 스펙트럼은 같다.

옳지 않은 설명은 확률밀도 함수를 누적분포 함수의 적분으로 얻는다는 내용이다.

관계가 반대이다. 확률밀도 함수는 누적분포 함수를 미분해서 얻고, 누적분포 함수가 확률밀도 함수의 적분이다.
$f_{X} ( x ) = \dfrac{d}{dx} F_{X} ( x )$

• 독립 랜덤 변수의 합: 합의 확률밀도 함수는 각 확률밀도 함수의 컨벌루션이다.
• 분산: 평균을 중심으로 한 2차 모멘트이다.
• 독립과 무상관: 독립이면 결합 기댓값이 곱으로 분리되어 항상 무상관이다(역은 일반적으로 성립하지 않는다).
• 상관계수: 값의 범위가 -1 이상 1 이하이므로 최댓값은 1이다.

보기가 모두 패리티 3비트 뒤에 메시지 4비트를 붙인 꼴이므로, 왼쪽을 저차 항으로 읽으면 부호어는 0110100이다.

메시지 0100은 $m ( X ) = X$ 이다.
패리티 다항식은 $X^{3} m ( X ) = X^{4}$ 를 $g ( X )$로 나눈 나머지이다.
$X^{3} \equiv 1 + X$ 이므로 $X^{4} \equiv X + X^{2}$, 패리티는 011이다.

검산: $X + X^{2} + X^{4} = X \, g ( X )$ 로 생성 다항식의 배수이다. 나머지 후보는 $g ( X )$로 나누어떨어지지 않는다.

• 1000100: $1 + X^{4}$ 의 나머지가 $1 + X + X^{2}$ 이다.
• 0100100: $X + X^{4}$ 의 나머지가 $X^{2}$ 이다.
• 1010100: $1 + X^{2} + X^{4}$ 의 나머지가 $1 + X$ 이다.
• 0010100: $X^{2} + X^{4}$ 의 나머지가 $X$ 이다.

설명에 해당하는 정리는 Parseval 정리이다.

시간 영역에서 구한 에너지와 주파수 영역에서 구한 에너지가 같다는 에너지 보존 관계를 뜻한다.
$\int_{- \infty}^{\infty} \left| x ( t ) \right|^{2} dt = \int_{- \infty}^{\infty} \left| X ( f ) \right|^{2} df$

• Laplace: 시간 함수를 복소 주파수 영역으로 옮기는 변환과 관련된 이름으로, 에너지 보존 관계가 아니다.
• Nyquist 정리: 샘플링 주파수나 무간섭 전송 속도의 조건을 다룬다.
• Poisson: 주기적 합과 스펙트럼 표본의 관계(합 공식) 등을 다루며, 에너지 동일성을 말하지 않는다.
• Duality 정리: 시간 영역과 주파수 영역의 함수 형태를 맞바꿀 수 있다는 쌍대성 성질이다.

전리층 반사파 통신에 가장 적합한 대역은 HF이다.

HF 대역의 전파는 전리층에서 반사되어 지상으로 돌아오므로 단파 장거리 통신에 쓰인다. 주파수가 더 높아지면 전리층을 뚫고 지나간다.

• EHF: 전리층을 투과하며 직진성이 매우 강해 위성 통신 등에 쓰인다.
• UHF: 전리층을 투과하므로 주로 가시거리 통신에 쓰인다.
• SHF: 전리층을 투과하며 마이크로파 중계나 위성 통신에 쓰인다.
• Infrared: 빛에 가까운 파장으로 직진하며, 전리층 반사 통신의 대상이 아니다.

이 시스템은 $t \lt 0$에서 임펄스 응답이 0이므로 인과적 시스템이며, 비인과적 시스템이라는 설명이 옳지 않다.

인과성은 입력이 가해지기 전에는 출력이 나타나지 않는 성질로, LTI 시스템에서는 $t \lt 0$일 때 $h(t)=0$이면 성립한다. 나머지 설명은 주파수응답 $H(\omega)=\dfrac{1}{1+j\omega}$로 확인된다.

• 저역통과 특성: 진폭이 $\omega=0$에서 최대이고 주파수가 커질수록 감소하므로 옳다.
• 진폭응답의 대칭성: $|H(\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{1+\omega^{2}}}$은 $\omega$의 부호와 무관하므로 우함수이다.
• 위상응답의 대칭성: $\angle H(\omega)=-\tan^{-1}\omega$는 $\omega$의 부호가 바뀌면 부호도 바뀌므로 기함수이다.
• 유한 입력에 대한 유한 출력: $\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt=1$로 임펄스 응답이 절대적분 가능하므로 BIBO 안정이다.

옳지 않은 설명은 다중 전파경로에 따른 손실이라는 내용이다.

자유공간 경로 손실은 장애물과 반사가 없는 이상적 공간에서 전파가 퍼지며 생기는 확산 손실이다. 다중경로로 인한 신호 변동은 페이딩으로 별도로 다룬다.
$L = \left( \dfrac{4 \pi d}{\lambda} \right)^{2}$

• 전파환경과 무관: 반사·회절 등이 없다고 가정하고 거리와 파장으로만 정해진다.
• 거리: 식에서 손실은 $d^{2}$에 비례한다.
• 파장: 식에서 손실은 $\lambda^{2}$에 반비례한다.
• 안테나 이득: 식에 이득 항이 없으므로 손실 자체는 이득과 무관하다.

옳지 않은 설명은 OFDM 심볼의 동기화가 불필요하다는 내용이다.

OFDM은 부반송파 간 직교성에 의존하므로 심볼 타이밍과 주파수 동기가 반드시 필요하다. 동기가 어긋나면 FFT 구간이 틀어지거나 부반송파 간 간섭(ICI)이 생긴다.

• 고속 전송: 고속 데이터를 다수의 저속 부반송파로 나누어 보내 고속 전송에 적합하다.
• 다중 반송파: 서로 직교하는 여러 부반송파에 데이터를 실어 보낸다.
• 심볼 간 간섭 억제: 심볼 길이가 길고 순환 전치(CP)를 넣어 심볼 간 간섭을 줄인다.
• IFFT와 FFT: 송신단은 IFFT로 변조하고 수신단은 FFT로 복조한다.