24년 1회차

범주형 자료에 해당하는 것은 성별이다.

범주형(질적) 자료는 값이 수량의 크기가 아니라 소속 범주를 나타내는 자료로, 성별은 남성·여성이라는 범주로 구분된다.

• 키: 길이를 측정해 얻는 양적(연속형) 자료이다.
• 몸무게: 무게를 측정해 얻는 양적(연속형) 자료이다.
• 허리둘레: 둘레 길이를 측정해 얻는 양적(연속형) 자료이다.

분포의 산포를 나타내는 측도는 표준편차이다.

표준편차는 자료가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 재는 값으로, 분산의 양의 제곱근이다. 반면 나머지 측도는 모두 분포의 중심 위치를 나타낸다.

• 평균: 자료의 무게중심을 나타내는 대푯값이다.
• 중앙값: 크기순으로 나열했을 때 가운데 위치한 대푯값이다.
• 최빈값: 가장 자주 나타나는 값으로 대푯값에 속한다.

서로 배반인 두 사건은 항상 $A\cap B=\varnothing$을 만족한다.

배반이란 두 사건이 동시에 일어날 수 없다는 뜻으로, 교집합이 공집합임을 의미한다.

• $A\cap B=S$: 교집합이 표본공간 전체라는 뜻이므로 배반과 정반대에 가깝다.
• $A\cup B=S$: 두 사건이 표본공간을 빠짐없이 덮는다는 조건으로, 배반이라고 항상 성립하지는 않는다.
• $A\cup B=\varnothing$: 두 사건이 모두 공집합일 때만 성립한다.

$X$의 중앙값은 $1$이다.

밀도함수는 $|x-1|$에만 의존하므로 $x=1$을 중심으로 좌우대칭인 라플라스분포이다.

대칭분포에서는 대칭의 중심 아래쪽 확률이 절반이므로 $P(X\le 1)=\dfrac{1}{2}$이다.
$\int_{-\infty}^{1}\dfrac{1}{2}e^{x-1}dx=\dfrac{1}{2}$

귀무가설이 거짓인데 채택하는 오류는 제2종 오류이며, 그 확률은 1-검정력이다.

검정력은 귀무가설이 거짓일 때 이를 올바르게 기각할 확률로 $1-\beta$이므로, 제2종 오류 확률 $\beta$는 1-검정력과 같다.

• 검정력: 거짓인 귀무가설을 올바르게 기각할 확률로, 오류가 아닌 옳은 판단의 확률이다.
• 유의수준: 귀무가설이 참인데 기각하는 제1종 오류 확률의 허용 한계이다.
• 유의확률: 귀무가설이 참일 때 관측된 값 이상으로 극단적인 값이 나올 확률이다.

옳지 않은 설명은 $P(a \lt X \lt b) \lt P(a\le X\le b)$이다.

연속확률변수는 한 점에서의 확률이 0이므로 구간의 양 끝점 포함 여부가 확률을 바꾸지 않아, 두 확률은 서로 같다.

• 모든 실수 $x$에서 $P(X=x)=0$: 연속확률변수의 성질로 옳다.
• 모든 실수 $x$에서 $f(x)\ge 0$: 확률밀도함수의 조건으로 옳다.
• 전체 구간의 적분값이 1: 전체 확률이 1이라는 조건으로 옳다.

옳지 않은 설명은 왜도가 0보다 크다는 것이다.

정규분포는 평균을 중심으로 좌우대칭이므로 비대칭 정도를 나타내는 왜도가 0이다.

• 확률밀도함수의 대칭: 평균을 축으로 좌우대칭이므로 옳다.
• 봉우리가 하나: 평균에서 최댓값을 갖는 단봉 분포이므로 옳다.
• 모평균과 모분산에 의한 결정: 두 모수가 정해지면 밀도함수가 유일하게 정해지므로 옳다.

표본상관계수는 $0.70$이다.

단순회귀에서는 결정계수가 표본상관계수의 제곱과 같다.
$R^2=r^2=0.49$
$|r|=\sqrt{0.49}=0.70$

상관계수의 부호는 회귀직선 기울기의 부호를 따르며, 보기에 양의 값만 있으므로 $0.70$으로 판단한다.

• $0.49$: 결정계수 값 자체로, 제곱근을 취하지 않은 값이다.
• $0.24$: 결정계수를 한 번 더 제곱한 값에 가깝다.
• $0.98$: 결정계수를 2배 한 값이다.

옳지 않은 설명은 중앙값이 0보다 크다는 것이다.

$t$분포는 0을 중심으로 좌우대칭이므로 중앙값은 0이다.

• 자유도가 커질 때: 밀도함수가 표준정규분포에 가까워지므로 옳다.
• 자유도가 작아질 때: 정규분포보다 꼬리가 두꺼워지므로 옳다.
• 확률밀도함수의 대칭: 0을 축으로 대칭이므로 옳다.

$X$의 평균은 $2$이다.

각 확률은 $f(1)=0.4$, $f(2)=0.3$, $f(3)=0.2$, $f(4)=0.1$이고 합이 1이다.

평균은 값과 확률의 곱의 합이다.
$E(X)=\sum xf(x)$
$=1(0.4)+2(0.3)+3(0.2)+4(0.1)$
$=0.4+0.6+0.6+0.4=2$

공통 합격률의 추정값은 $0.60$이다.

합격률이 같다는 귀무가설 아래에서는 두 집단을 합쳐 합동표본비율로 추정한다.
$\hat{p}=\dfrac{30+30}{40+60}$
$=\dfrac{60}{100}=0.60$

• $0.40$: 전체 불합격 비율이다.
• $0.50$: 온라인 수업 집단만의 합격률이다.

표본평균의 분산은 $\dfrac{\sigma^2}{2n}$이다.

크기 $m$인 확률표본의 표본평균은 분산이 $\dfrac{\sigma^2}{m}$이다.

이 문제의 표본 크기는 $m=2n$이므로 대입한다.
$Var(\overline{X})=\dfrac{\sigma^2}{2n}$

구하는 공분산은 $acCov(X,Y)$이다.

공분산은 편차의 곱의 기댓값이므로 상수 $b,d$는 편차에서 사라지고, 곱해진 상수 $a,c$만 밖으로 나온다.
$Cov(aX+b,cY+d)$
$=E[a(X-\mu_X)\cdot c(Y-\mu_Y)]$
$=acCov(X,Y)$

• $Cov(X,Y)$: 곱해진 상수 $a,c$의 영향을 빠뜨렸다.
• $Cov(X,Y)+bd$: 상수의 곱은 공분산에 더해지지 않으며 $a,c$도 빠졌다.
• $acCov(X,Y)+bd$: 더해진 상수 $b,d$는 공분산에 영향을 주지 않는다.

결정계수는 $0.70$이다.

결정계수는 총제곱합 중 회귀제곱합이 차지하는 비율이다.
$R^2=\dfrac{SSR}{SST}$
$=\dfrac{1400}{2000}=0.70$

• $0.30$: 잔차제곱합의 비율로, 설명되지 않은 변동의 몫이다.
• $0.09$: 잔차제곱합 비율을 제곱한 값으로 의미가 없다.
• $0.64$: 자유도로 보정한 수정결정계수 $1-\dfrac{600/10}{2000/12}$의 값이다.

근사분포는 $N\left(15,\ \dfrac{5}{2}\right)$이다.

$U(0,1)$의 평균은 $\dfrac{1}{2}$, 분산은 $\dfrac{1}{12}$이다.

독립인 합의 평균과 분산은 각각의 합이다.
$E(Y)=30\times\dfrac{1}{2}=15$
$Var(Y)=30\times\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{2}$

• $N\left(15,\ \dfrac{15}{2}\right)$: 분산을 잘못 구한 값이다.
• $N\left(30,\ \dfrac{15}{2}\right)$: 평균과 분산이 모두 맞지 않는다.
• $N(30,\ 30)$: 합의 평균을 표본 크기로 혼동한 값이다.

옳지 않은 설명은 $Var(aX-bY)=a^2Var(X)-b^2Var(Y)$이다.

독립이면 공분산이 0이고, 부호와 상관없이 계수가 제곱되므로 분산은 항상 더해진다.
$Var(aX-bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)$

• $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$: 기댓값의 선형성으로 옳다.
• $E(aX-bY)=aE(X)-bE(Y)$: 기댓값의 선형성으로 옳다.
• $Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)$: 독립일 때의 분산 공식으로 옳다.

$X$의 분산은 $10$이다.

독립인 포아송분포의 합은 다시 포아송분포를 따르고, 그 모수는 각 모수의 합이다.
$X\sim Poisson(4+6)=Poisson(10)$

포아송분포는 평균과 분산이 같으므로 분산은 $10$이다.

$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2$의 분포는 자유도 $k$인 카이제곱분포이다.

서로 독립인 표준정규변수의 제곱합은 카이제곱분포의 정의 그 자체이며, 더한 개수가 자유도가 된다.

• 자유도 $k$인 $t$분포: 표준정규변수를 카이제곱변수와 자유도의 비의 제곱근으로 나눈 분포이다.
• 자유도 $(1,\ k)$인 $F$분포: 독립인 두 카이제곱변수를 각 자유도로 나눈 비의 분포이다.
• 자유도 $(k,\ 1)$인 $F$분포: 역시 카이제곱변수 둘의 비에서 나오는 분포이다.

설명에 해당하는 것은 $p$-값이다.

$p$-값은 귀무가설이 참이라는 가정에서 검정통계량이 관측값만큼 또는 그보다 더 대립가설 쪽으로 극단적으로 나올 확률이다.

• 유의수준: 검정 전에 연구자가 정하는 제1종 오류 확률의 허용 한계이다.
• 제2종 오류를 범할 확률: 대립가설이 참일 때 귀무가설을 기각하지 못할 확률이다.
• 검정력: 대립가설이 참일 때 귀무가설을 기각할 확률이다.

구하는 상수는 $c=-0.5$이다.

확률밀도함수는 전 구간 적분값이 1이어야 한다.
$\int_{0}^{2}(cx+1)dx=\left[\dfrac{c}{2}x^2+x\right]_{0}^{2}$
$=2c+2=1$
$c=-\dfrac{1}{2}$

• $-1$: 적분값이 0이 되고 구간 일부에서 함수값이 음수이다.
• $0.5$: 적분값이 3으로 1을 넘는다.
• $1$: 적분값이 4로 1을 넘는다.

$P(Z=0)$은 $0$이다.

표준정규분포는 연속분포이므로 확률은 구간의 넓이로 주어지고, 한 점의 넓이는 0이다.

• $0.5$: $P(Z\le 0)$의 값으로, 한 점의 확률과 혼동한 것이다.
• $0.95$: 양쪽 구간을 합한 신뢰수준 등에서 쓰이는 값으로 한 점의 확률이 아니다.
• $0.975$: 누적확률에서 쓰이는 값으로 한 점의 확률이 아니다.

평균은 $20$, 표준편차는 $4$이다.

$X\sim B(100,\ 0.2)$이므로 이항분포 공식을 쓴다.
$E(X)=np=100\times 0.2=20$
$Var(X)=np(1-p)=100\times 0.2\times 0.8=16$
$SD(X)=\sqrt{16}=4$

• 평균 $20$, 표준편차 $16$: 분산을 표준편차로 착각한 경우이다.
• 평균 $16$, 표준편차 $4$: 분산을 평균으로 착각한 경우이다.
• 평균 $16$, 표준편차 $16$: 평균과 표준편차 모두 분산 값으로 잘못 쓴 경우이다.

구하는 확률은 $0.48$이다.

앞면 하나와 뒷면 하나가 나오는 경우는 순서 2가지이고, 두 시행은 독립이다.
$P=2\times 0.4\times 0.6$
$=0.48$

• $0.24$: 한 가지 순서만 계산한 값이다.
• $0.52$: 같은 면이 두 번 나올 확률이다.
• $0.76$: 전체 확률에서 한 가지 순서의 확률만 뺀 값이다.

평균은 $30$, 분산은 $300$이다.

$X\sim U(0,60)$이므로 균일분포 공식을 쓴다.
$E(X)=\dfrac{0+60}{2}=30$
$Var(X)=\dfrac{(60-0)^2}{12}=\dfrac{3600}{12}=300$

• 평균 $20$, 분산 $300$: 분산은 맞지만 $20$은 구간의 중점이 아니다.
• 평균 $20$, 분산 $120$: 평균과 분산이 모두 맞지 않는다.
• 평균 $30$, 분산 $120$: 분산을 잘못 구한 값이다.

독립인 두 사건에 항상 성립하는 것은 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$이다.

두 사건의 독립은 교사건의 확률이 각 확률의 곱과 같다는 것으로 정의된다.

• $P(A\cap B)=P(A)+P(B)$: 교사건의 확률을 합으로 쓴 잘못된 식이다.
• $P(A\cup B)=P(A)P(B)$: 합사건의 확률을 곱으로 쓴 잘못된 식이다.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$: 배반일 때의 식으로, 독립과는 다른 조건이다.

선형회귀분석의 가정이 아닌 것은 설명변수들이 서로 독립이라는 것이다.

회귀분석의 가정은 선형성과 오차항의 등분산성·독립성 등에 관한 것이다. 설명변수 사이의 상관은 다중공선성 문제로 따로 다룰 뿐 독립이 가정되지는 않는다.

• 선형 관계: 설명변수와 반응변수의 선형성 가정이다.
• 오차항의 일정한 분산: 등분산성 가정이다.
• 오차항의 독립: 오차의 독립성 가정이다.

그림은 이분산성을 보여 주므로, 설명변수 값이 커짐에 따라 오차항의 분산이 커져 다른 모형을 고려해야 한다는 설명이 가장 적절하다.

잔차는 0을 중심으로 위아래에 고르게 놓여 있지만, $x$가 커질수록 흩어진 폭이 부채꼴로 넓어진다. 이는 오차항의 분산이 모든 $x$에서 같다는 등분산 가정이 깨졌다는 신호이므로, 반응변수 변환이나 가중최소제곱법 같은 대안을 검토한다.

• 현재의 선형회귀모형이 적절하다는 설명: 적절한 모형이라면 잔차가 $x$와 무관하게 일정한 폭의 띠 모양으로 나타나야 하므로 틀리다.
• 오차항 사이의 상관관계를 드는 설명: 오차항의 상관은 관측 순서에 따라 잔차 부호가 이어지는 패턴 등으로 확인하는데, 그림에서 드러나는 특징은 퍼짐의 변화이므로 틀리다.
• 선형함수로 표현될 수 없다는 설명: 비선형 관계라면 잔차가 곡선 형태로 몰려 평균이 $x$에 따라 달라지지만, 그림의 잔차는 어느 구간에서나 0 주변에 고르게 있으므로 틀리다.

설명에 해당하는 것은 중심극한정리이다.

모집단의 분포와 무관하게 표본 크기가 충분히 크면 표본평균의 분포가 정규분포에 근사한다는 내용이기 때문이다.

• 베이즈정리: 사전확률과 조건부확률로 사후확률을 구하는 정리이다.
• 중간값정리: 연속함수가 양 끝값 사이의 값을 취한다는 해석학의 정리이다.
• 바수(Basu)정리: 완비충분통계량과 보조통계량의 독립성에 관한 정리이다.

옳지 않은 설명은 자료의 개수가 $n=21$이라는 것이다.

총자유도는 $n-1$이므로 $n-1=21$에서 자료의 개수는 $n=22$이다.

• (ㄱ)이 30: 잔차의 평균제곱은 $\dfrac{600}{20}=30$이므로 옳다.
• (ㄴ)의 의미: $p$-값은 $F(1,20)$분포에서 관측값 90 이상일 확률이므로 옳다.
• 단순회귀모형의 분산분석표: 회귀 자유도가 1이므로 설명변수가 하나이고, 옳다.

셀 (ㄱ)의 기대도수는 $12.5$이다.

독립 가정 아래 기대도수는 행 합계와 열 합계의 곱을 총도수로 나눈 값이다.
$E=\dfrac{20\times 25}{40}$
$=12.5$

• $15$: 셀의 관측도수로, 기대도수가 아니다.
• $20$: 폐암이 있는 행의 합계이다.

옳지 않은 설명은 $Y=\dfrac{1}{X}$가 $F\left(1,\ \dfrac{1}{r}\right)$를 따른다는 것이다.

$F$분포 변수의 역수는 분자와 분모의 자유도가 서로 바뀐 $F$분포를 따르므로 $Y\sim F(r,\ 1)$이다.

• 표준화: 정규변수에서 평균을 빼고 표준편차로 나누면 표준정규분포를 따르므로 옳다.
• 지수분포와 감마분포: 평균이 $\theta$인 지수분포는 형상모수 1, 척도모수 $\theta$인 감마분포이므로 옳다.
• $t$분포의 제곱: $T^2\sim F(1,\ r)$은 잘 알려진 관계이므로 옳다.

옳지 않은 설명은 연구원마다 시료 측정에 차이가 있다는 결론이다.

$p$-값 $0.631$이 유의수준 $0.05$보다 크므로 귀무가설을 기각할 수 없고, 연구원 간 차이가 있다고 할 수 없다.

• 일원배치법: 요인이 연구원 하나이고 완전 랜덤화했으므로 옳다.
• (ㄱ)이 2: 처리 자유도는 $3-1=2$이므로 옳다.
• (ㄴ)이 9: 잔차 자유도는 $12-3=9$이므로 옳다.

옳지 않은 설명은 기대도수와 관측값의 차이가 충분히 작을 때 기각한다는 것이다.

카이제곱통계량은 기대도수와 관측도수의 차이가 클수록 커지므로, 귀무가설은 차이가 충분히 클 때 기각한다.

• 귀무가설의 내용: 비교 대상들의 범주별 분포가 동일하다고 두므로 옳다.
• 카이제곱통계량의 사용: 동일성검정의 검정통계량이므로 옳다.
• 독립성검정과의 관계: 표본 추출 방식은 달라도 통계량 계산과 판정 절차는 같으므로 옳다.

검정통계량의 분포는 $F(n_X-1,\ n_Y-1)$이다.

독립인 두 정규모집단에서 표본분산은 각각 자유도로 조정하면 카이제곱분포를 따르므로, 그 비는 분자·분모 자유도가 표본 크기 빼기 1인 $F$분포를 따른다. 귀무가설 아래에서는 모분산이 약분되어 $T$만 남는다.

• $t(n_X+n_Y-2)$: 등분산 가정 아래 두 모평균 차이를 검정할 때의 분포이다.
• $\chi^2(n_X+n_Y)$: 분산 비의 분포가 아니며, 자유도도 맞지 않는다.
• $Gamma(n_X,\ n_Y)$: 표본분산 비의 분포가 아니다.

상위 5% 커트라인은 $865$이다.

표준화 식을 거꾸로 써서 원점수로 환산한다.
$x=\mu+z\sigma$
$=700+1.65\times 100$
$=865$

구하는 상관계수는 $0.90$이다.

상관계수는 공분산을 두 표준편차로 나눈 값이므로, 곱해진 상수가 약분되고 양수 배와 상수 덧셈에 불변이다.
$r(X^*,Y^*)=\dfrac{0.5\times 0.4\ Cov(X,Y)}{0.5\sigma_X\times 0.4\sigma_Y}$
$=r(X,Y)=0.90$

• $0.18$: 상관계수에 두 배율을 곱한 값으로, 표준편차로 나누는 과정을 빠뜨렸다.
• $0.81$: 상관계수를 제곱한 값으로 결정계수에 해당한다.

모평균의 최대가능도추정치는 $3.0$이다.

정규분포에서 모평균의 최대가능도추정량은 표본평균이다.
$\hat{\mu}=\dfrac{1.0+2.5+2.9+3.2+3.4+5.0}{6}$
$=\dfrac{18.0}{6}=3.0$

• $2.9$: 자료의 한 관측값일 뿐 표본평균이 아니다.
• $3.2$: 자료의 한 관측값일 뿐 표본평균이 아니다.

카이제곱통계량의 값은 $4$이다.

행과 열의 합계가 모두 50, 총도수가 100이므로 네 셀의 기대도수는 모두 25이다.
$E=\dfrac{50\times 50}{100}=25$

각 셀의 관측도수는 기대도수와 5씩 차이가 난다.
$\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$
$=4\times\dfrac{5^2}{25}=4$

• $0$: 관측도수와 기대도수가 완전히 같을 때의 값이다.
• $1$: 한 셀의 기여분만 계산한 값이다.

대응비교에 적절한 것은 혈압강하제 투여 전후의 혈압 차이를 확인하는 경우이다.

대응비교는 같은 대상에서 짝지어 얻은 두 측정값의 차이를 분석하는 방법이다. 투여 전후 혈압은 환자별로 짝지어진 자료이다.

• 서로 다른 두 모집단의 독립 표본: 짝이 없으므로 독립표본 비교에 해당한다.
• 하나의 모집단에서 독립 추출한 두 표본: 역시 짝이 없어 대응비교가 아니다.
• 성별에 따른 지지율 차이: 독립인 두 집단의 비율 비교에 해당한다.

$P(A)$는 $0.6$이다.

각 합사건의 여사건을 이용하면 $A^C$를 둘로 나눈 조각의 확률이 나온다.
$P(A^C\cap B^C)=1-0.85=0.15$
$P(A^C\cap B)=1-0.75=0.25$

두 조각을 더하면 $A^C$의 확률이다.
$P(A^C)=0.15+0.25=0.40$
$P(A)=1-0.40=0.6$