26년 1회차

표본평균은 5이다.

표본평균은 관측값의 합을 표본 크기로 나눈 값이다.
$\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$
$\bar{x}=\dfrac{3+4+5+6+7}{5}=\dfrac{25}{5}=5$

혈액형이 범주형 자료이다.

범주형 자료는 값이 수량이 아니라 A형·B형처럼 구분되는 범주로 주어지는 자료이다.

• 코스피(KOSPI) 지수: 크기를 비교하고 계산할 수 있는 수치이므로 양적 자료이다.
• 자동차 무게: 측정값이 수치인 양적 자료이다.
• 비행기 속도: 측정값이 수치인 양적 자료이다.

세 대푯값은 모두 0으로, 산술평균·중앙값·최빈값이 모두 같다.

합이 0이고 자료가 10개이므로 산술평균은 0이다. 크기순 다섯째와 여섯째 값이 모두 0이므로 중앙값은 0이고, 가장 많이 나타나는 값도 0이므로 최빈값은 0이다.

• 중앙값이 최빈값보다 크다: 둘 다 0으로 같다.
• 산술평균이 최빈값보다 작다: 둘 다 0으로 같다.
• 산술평균이 중앙값보다 크다: 둘 다 0으로 같다.

모든 값에 같은 수를 더해도 변하지 않는 것은 분산이다.

상수를 더하면 자료 전체가 평행이동할 뿐 값들의 흩어진 정도는 그대로이다.
$\mathrm{Var}(X+3)=\mathrm{Var}(X)$

• 평균: 위치를 나타내는 값이므로 3만큼 커진다.
• 중앙값: 위치를 나타내는 값이므로 3만큼 커진다.
• 최댓값: 가장 큰 관측값도 3만큼 커진다.

적어도 한 개가 앞면일 확률은 $\dfrac{3}{4}$이다.

'적어도'는 여사건으로 구하는 것이 간단하다. 여사건은 둘 다 뒷면인 경우이다.
$1-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

• $\dfrac{1}{4}$: 둘 다 앞면(또는 둘 다 뒷면)일 확률이다.
• $\dfrac{1}{2}$: 정확히 한 개만 앞면일 확률이다.
• $1$: 둘 다 뒷면이 나올 수 있으므로 반드시 일어나는 사건이 아니다.

$P(A\cap B)$의 값은 0.1이다.

여사건 확률에서 각 사건의 확률을 구한다.
$P(A)=1-0.7=0.3$
$P(B)=1-0.6=0.4$

확률의 덧셈법칙을 변형해 대입한다.
$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$
$P(A\cap B)=0.3+0.4-0.6=0.1$

가장 큰 값은 $E(2X+4)$로 10이다.

기댓값은 $E(aX+b)=aE(X)+b$, 분산은 $\mathrm{Var}(aX+b)=a^{2}\mathrm{Var}(X)$로 계산한다.
$E(2X+4)=2\times 3+4=10$

• $E(3X)$: $3\times 3=9$이다.
• $\mathrm{Var}(2X)$: $2^{2}\times 2=8$이다.
• $\mathrm{Var}(X+9)$: 더한 상수는 분산에 영향을 주지 않으므로 2이다.

주식 A가 기대수익률은 더 높고 표준편차는 더 작으므로 A를 선호하는 것이 적절하다.

기대수익률은 A가 59로 B의 14보다 높고, 위험도(표준편차)는 A가 78.67로 B의 99.62보다 낮다. A가 두 기준 모두에서 앞선다.

• B의 기대수익률이 더 낮아 B를 선호한다는 판단: 낮은 기대수익률은 선호의 이유가 되지 못한다.
• B의 표준편차가 더 커서 투자위험이 낮다는 판단: 표준편차가 클수록 위험은 높다.
• 두 주식의 선호도가 동일하다는 판단: 두 기준 모두 A가 유리하므로 동일하지 않다.

주어진 비의 값은 $\dfrac{3}{4}$이다.

조건부확률의 정의를 대입하면 공통인 $P(A\cap B)$가 약분된다.
$\dfrac{P(B\mid A)}{P(A\mid B)}=\dfrac{P(A\cap B)/P(A)}{P(A\cap B)/P(B)}=\dfrac{P(B)}{P(A)}$

주어진 값을 대입한다.
$\dfrac{P(B)}{P(A)}=\dfrac{1/4}{1/3}=\dfrac{3}{4}$

가장 강한 상관관계를 보이는 값은 $r=-1$이다.

상관의 강도는 부호가 아니라 절댓값으로 판단하며, 절댓값이 1에 가까울수록 직선 관계가 강하다. 부호는 방향만 나타낸다.

• $r=0.9$: 강한 양의 상관이지만 절댓값이 1보다 작다.
• $r=-0.9$: 강한 음의 상관이지만 절댓값이 1보다 작다.
• $r=0.1$: 절댓값이 작아 상관이 매우 약하다.

$P(X\ge 2)$의 값은 0.7이다.

확률의 총합은 1이므로 상수 $k$를 먼저 구한다.
$k(1+2+3+4)=10k=1$
$k=0.1$

$x=2,\,3$일 때의 확률을 더한다.
$P(X\ge 2)=3k+4k=0.3+0.4=0.7$

$X$의 분산은 0.49이다.

분산 공식은 $\mathrm{Var}(X)=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}$이다.

기댓값과 제곱의 기댓값을 구해 대입한다.
$E(X)=0\times 0.2+1\times 0.5+2\times 0.3=1.1$
$E(X^{2})=0\times 0.2+1\times 0.5+4\times 0.3=1.7$
$\mathrm{Var}(X)=1.7-1.1^{2}=1.7-1.21=0.49$

$p$의 값은 $\dfrac{1}{2}$이다.

성공확률이 $1-p$인 이항분포의 기댓값은 $20(1-p)$이다.
$20(1-p)=10$
$1-p=\dfrac{1}{2}$

분산으로 확인하면 주어진 값과 일치한다.
$20(1-p)p=20\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=5$

$X-Y$는 $N(-3,\,7)$을 따른다.

독립인 정규확률변수의 차도 정규분포를 따르며, 평균은 빼고 분산은 더한다.
$E(X-Y)=2-5=-3$
$\mathrm{Var}(X-Y)=3+4=7$

• $N(3,\,7)$: 평균을 $Y-X$의 방향으로 계산한 값이다.
• $N(7,\,3)$: 평균과 분산 모두 맞지 않는다.
• $N(-3,\,1)$: 분산까지 뺀 값으로, 분산은 더해야 한다.

표본상관계수는 -1이다.

$x,\,y$의 평균이 모두 0이므로 표본상관계수는 곱의 합과 제곱합으로 바로 계산된다.
$\sum xy=-4-1-1-4=-10$
$\sum x^{2}=10,\quad \sum y^{2}=10$
$r=\dfrac{-10}{\sqrt{10\times 10}}=-1$

모든 점이 직선 $y=-x$ 위에 있어 완전한 음의 상관이다.

$X$와 $Y$의 상관계수는 -0.5이다.

상관계수는 공분산을 두 표준편차의 곱으로 나눈 값이다.
$\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}$
$\rho=\dfrac{-6}{\sqrt{8\times 18}}=\dfrac{-6}{12}=-0.5$

$P(3\lt X\lt 6)$의 값은 $\dfrac{1}{2}$이다.

균일분포의 확률은 구간 길이의 비이다.
$f(x)=\dfrac{1}{8-2}=\dfrac{1}{6}$
$P(3\lt X\lt 6)=\dfrac{6-3}{6}=\dfrac{1}{2}$

공분산 $\mathrm{Cov}(3X,\,2Y)$의 값은 $\dfrac{7}{4}$이다.

$U=3X,\;V=2Y$로 두고 합과 차의 분산을 전개한다.
$\mathrm{Var}(U+V)=\mathrm{Var}(U)+\mathrm{Var}(V)+2\mathrm{Cov}(U,V)$
$\mathrm{Var}(U-V)=\mathrm{Var}(U)+\mathrm{Var}(V)-2\mathrm{Cov}(U,V)$

두 식을 빼면 공분산만 남는다.
$4\mathrm{Cov}(U,V)=16-9=7$
$\mathrm{Cov}(U,V)=\dfrac{7}{4}$

이산형이 아닌 것은 감마분포이다.

감마분포는 양의 실수 전체에서 값을 갖는 연속형 분포이다.

• 이항분포: 성공 횟수를 세므로 이산형이다.
• 포아송분포: 단위 구간의 발생 건수를 세므로 이산형이다.
• 기하분포: 첫 성공까지의 시행 횟수를 세므로 이산형이다.

앞면이 1회 나올 확률은 $\dfrac{3}{8}$이다.

주어진 확률함수에 $x=1$을 대입한다.
$f(1)=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$
$f(1)=3\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}$

표본평균의 평균은 50, 표준편차는 2이다.

표본평균의 평균은 모평균과 같고, 표준편차는 모표준편차를 $\sqrt{n}$으로 나눈 값이다.
$E(\bar{X})=\mu=50$
$\mathrm{SD}(\bar{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$

• 평균 50, 표준편차 12: 모집단의 표준편차를 그대로 쓴 값이다.
• 평균 36, 표준편차 2: 표본 크기를 평균으로 쓴 값이다.
• 평균 36, 표준편차 12: 평균과 표준편차가 모두 맞지 않는다.

상수 $c$의 값은 $\dfrac{1}{9}$이다.

확률밀도함수의 전체 적분은 1이어야 한다.
$\int_{0}^{3}cx^{2}\,dx=c\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=9c$
$9c=1$
$c=\dfrac{1}{9}$

옳은 설명은 포아송분포는 평균과 분산이 같다는 것이다.

모수가 $\lambda$인 포아송분포는 평균과 분산이 모두 $\lambda$이다.

• 초기하분포가 연속형이라는 설명: 뽑힌 개수를 세는 이산형 분포이다.
• 지수분포의 평균과 분산이 같다는 설명: 분산은 평균의 제곱이다.
• 카이제곱분포의 분산이 평균의 제곱이라는 설명: 자유도가 $k$이면 평균은 $k$, 분산은 $2k$이다.

표본평균은 평균 40, 분산 1인 정규분포로 근사할 수 있다.

모집단이 정규분포가 아니어도 표본이 크면 중심극한정리에 따라 표본평균은 정규분포에 가까워진다.
$E(\bar{X})=\mu=40$
$\mathrm{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}=\dfrac{100}{100}=1$

• 평균 4, 분산 1: 표본평균의 평균은 모평균과 같으므로 줄어들지 않는다.
• 평균 40, 분산 100: 모분산을 표본 크기로 나누지 않은 값이다.
• 평균 4, 분산 100: 평균과 분산이 모두 맞지 않는다.

모평균의 95% 신뢰구간은 (50.04, 53.96)이다.

모표준편차를 아는 경우의 신뢰구간은 표본평균에 오차한계를 더하고 뺀 구간이다.
$\bar{x}\pm Z_{0.025}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$52\pm 1.96\times\dfrac{10}{\sqrt{100}}=52\pm 1.96$

• (50.36, 53.64): 오차한계가 1.64로, 주어진 값 1.96과 맞지 않는다.
• (42.20, 61.80): 오차한계가 9.8로, 표준오차 $\dfrac{10}{\sqrt{100}}=1$에 맞지 않는다.
• (51.02, 52.98): 오차한계가 0.98로 실제의 절반이다.

각 색의 기대돗수는 20이다.

귀무가설 아래에서 일곱 색의 선택 확률은 모두 $\dfrac{1}{7}$이다. 기대돗수는 총 도수에 이 확률을 곱한 값이다.
$E_{i}=np_{i}$
$E_{i}=140\times\dfrac{1}{7}=20$

옳은 방법은 분산분석이다.

범주형 요인(지역)의 세 집단 이상에서 양적 변수(수능점수)의 평균 차이를 검정할 때는 일원분산분석을 쓴다.

• 이표본 $t$-검정: 두 집단의 평균 비교에 쓰므로 6개 지역을 한 번에 다룰 수 없다.
• 로지스틱 회귀분석: 반응변수가 범주형일 때 쓴다.
• 적합도 검정: 범주별 도수가 가정한 분포를 따르는지 볼 때 쓴다.

(ㄱ)의 값은 16이다.

회귀계수의 $t$-값은 추정값을 표준오차로 나눈 값이다.
$t=\dfrac{\hat{\beta}}{\mathrm{SE}(\hat{\beta})}$

절편 행의 값을 대입하면 표준오차가 구해진다.
$6=\dfrac{96}{\mathrm{SE}(\hat{\beta}_{0})}$
$\mathrm{SE}(\hat{\beta}_{0})=\dfrac{96}{6}=16$

• 4: 기울기 행의 $t$-값 $\dfrac{8}{2}=4$를 쓴 것이다.
• 8: 기울기의 추정값을 쓴 것이다.

옳은 것은 $P(B\mid A)=0.75$이다.

먼저 곱셈법칙으로 교집합의 확률을 구한다.
$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=0.6\times 0.5=0.3$
$P(B\mid A)=\dfrac{0.3}{0.4}=0.75$

• $A$와 $B$가 독립이라는 설명: $P(A)P(B)=0.2$로 $P(A\cap B)=0.3$과 다르다.
• $P(A\cap B)=0.24$: 실제 값은 0.3이다.
• $P(A\cup B)=0.74$: 실제 값은 $0.4+0.5-0.3=0.6$이다.

모형의 설명력을 나타내는 측도는 결정계수이다.

결정계수는 반응변수의 총변동 중 회귀모형이 설명하는 변동의 비율로, 1에 가까울수록 적합이 좋다.

• 절편: 설명변수가 0일 때의 예측값일 뿐이다.
• 기울기: 설명변수 한 단위당 반응변수의 평균 변화량을 나타낸다.
• 표준오차: 추정값의 정밀도를 나타내며 설명 비율을 뜻하지 않는다.

옳지 않은 것은 상관계수가 0이면 서로 독립이다라는 설명이다.

상관계수는 직선 관계만 측정한다. 평균이 0이고 대칭인 $X$에 대해 $Y=X^{2}$이면 상관계수는 0이지만 $Y$는 $X$로 결정되므로 독립이 아니다.

• 두 변수가 독립이면 공분산은 0이다: 옳다. 다만 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
• 상관계수는 -1과 1 사이의 값을 갖는다: 옳다.
• 공분산이 0이면 상관계수도 0이다: 옳다. 상관계수의 분자가 공분산이다.

연속형 자료의 요약에 적당하지 않은 것은 막대그래프이다.

막대그래프는 범주별 도수를 나타내는 범주형 자료의 그래프이다.

• 히스토그램: 연속형 자료를 구간으로 나누어 분포 모양을 보여 준다.
• 상자 그림: 사분위수를 이용해 연속형 자료의 중심과 퍼짐을 요약한다.
• 줄기잎 그림: 수치 자료의 값을 살리면서 분포를 보여 준다.

옳지 않은 것은 $Q_{3}=\mu+2\sigma$이다.

제3사분위수는 누적확률이 0.75인 점이다. $\mu\pm 2\sigma$ 구간에는 확률의 대부분이 들어가므로 $\mu+2\sigma$까지의 누적확률은 0.75를 크게 넘고, 실제 $Q_{3}$는 $\mu+\sigma$보다도 안쪽에 있다.

• $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$가 표준정규분포를 따른다: 옳다. 정규분포의 표준화이다.
• $P(X\gt\mu)=0.5$: 옳다. 분포가 $\mu$에 대해 대칭이다.
• 중앙값은 $\mu$이다: 옳다. 대칭이므로 평균과 중앙값이 같다.

옳지 않은 것은 $E(XY)=1$이다.

모든 칸의 확률이 $\dfrac{1}{9}$이고 각 $x$에서 $y$의 합이 0이므로 $E(XY)$는 0이다.
$E(XY)=\dfrac{1}{9}\sum_{x}x\sum_{y}y=\dfrac{1}{9}\sum_{x}x\times 0=0$

• $X$와 $Y$는 서로 독립이다: 옳다. 주변확률이 모두 $\dfrac{1}{3}$이고 모든 칸에서 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$이다.
• $E(X)=1$: 옳다. $\dfrac{0+1+2}{3}=1$이다.
• $E(Y)=0$: 옳다. $\dfrac{-1+0+1}{3}=0$이다.

항상 성립하는 성질은 모든 잔차의 합은 0이라는 것이다.

절편을 포함한 최소제곱법의 정규방정식에서 절편에 대한 편미분이 0이므로 잔차의 합이 0이 된다.
$\sum_{i=1}^{n}e_{i}=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})=0$

• 모든 잔차가 0이다: 모든 점이 회귀직선 위에 있는 특수한 경우에만 성립한다.
• 잔차의 제곱합이 0이다: 역시 완전 적합일 때만 성립한다.
• 잔차의 제곱합이 1이다: 제곱합은 자료에 따라 달라지며 정해진 값이 없다.

$a+b$의 값은 6이다.

$t$-분포는 표준정규변수 $Z$와 독립인 카이제곱변수 $V$로 정의된다.
$X=\dfrac{Z}{\sqrt{V/5}}$

제곱하면 $F$-분포의 정의와 같아진다. 분자 $Z^{2}$은 자유도 1의 카이제곱변수이다.
$X^{2}=\dfrac{Z^{2}/1}{V/5}\sim F(1,\,5)$
$a+b=1+5=6$

(ㄱ)에 들어갈 값은 50이다.

처리는 세 온도이므로 처리 자유도는 $3-1=2$이다. 평균제곱은 제곱합을 자유도로 나눈 값이다.
$\mathrm{MS}=\dfrac{100}{2}=50$

확인: 오차 자유도는 $14-2=12$이고 오차 평균제곱은 $\dfrac{24}{12}=2$이므로 $F=\dfrac{50}{2}=25$로 표의 값과 일치한다.

표본상관계수는 -0.8이다.

단순선형회귀에서는 $R^{2}=r^{2}$이고, $r$의 부호는 추정된 기울기의 부호와 같다.
$|r|=\sqrt{0.64}=0.8$
$r=-0.8$

• -0.64: 결정계수에 음의 부호만 붙인 값이다.
• 0.64: 결정계수를 그대로 쓴 값이다.
• 0.8: 크기는 맞지만 기울기가 음수이므로 부호가 틀렸다.

신뢰구간의 길이는 3.92이다.

95% 신뢰구간에는 $Z_{0.025}$를 쓰며, 신뢰구간의 길이는 오차한계의 2배이다.
$2Z_{0.025}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2\times 1.96\times\dfrac{10}{\sqrt{100}}=3.92$

• 1.65: $Z_{0.05}$를 쓰고 오차한계만 구한 값이다.
• 1.96: 길이가 아니라 오차한계이다.
• 3.3: $Z_{0.05}$를 쓴 길이로, 95% 신뢰구간의 임계값과 맞지 않는다.

$Y=n-X$는 $\mathrm{Bin}(n,\,1-p)$를 따른다.

$X$가 성공 횟수이면 $Y$는 실패 횟수이다. 각 시행의 실패 확률이 $1-p$이므로 $Y$는 시행횟수 $n$, 성공확률 $1-p$인 이항분포를 따른다.

• $\mathrm{Bin}(n,\,p)$: $X$ 자신의 분포이다.
• $\mathrm{Bin}(n-X,\,p)$: 시행횟수는 상수여야 하므로 확률변수 $X$가 들어갈 수 없다.
• $\mathrm{Bin}(n-X,\,1-p)$: 같은 이유로 분포의 모수가 될 수 없다.