18년 1회차

B점의 힘은 P = 700 kN, BC 간격은 d = 4 m이다.

A·C의 힘은 왼쪽, B의 힘은 오른쪽이므로 힘의 합이 0이려면 $P = 400 + 300 = 700\ \mathrm{kN}$이다.

B점에 대한 모멘트 평형에서 A의 힘과 C의 힘이 만드는 모멘트가 같아야 한다.
$400 \times 3 = 300 \times d \Rightarrow d = 4\ \mathrm{m}$

• P = 500 kN은 두 힘을 더하지 않고 다른 값을 쓴 것으로, 힘의 합이 0이 되지 않는다.
• d = 3 m는 두 간격을 같게 본 것으로, 크기가 다른 두 힘의 모멘트가 같아지지 않는다.

하중 P의 크기는 21 kN이다.

지름 감소로 가로변형률을 구하고 푸아송비로 세로변형률을 얻는다.
$\varepsilon' = \dfrac{0.016}{10} = 0.0016$, $\varepsilon = \dfrac{\varepsilon'}{\nu} = \dfrac{0.0016}{0.4} = 0.004$

$\sigma = E\varepsilon = 70000 \times 0.004 = 280\ \mathrm{MPa}$
$A = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{3 \times 10^2}{4} = 75\ \mathrm{mm^2}$
$P = \sigma A = 280 \times 75 = 21000\ \mathrm{N} = 21\ \mathrm{kN}$

• 14 kN, 28 kN, 35 kN은 푸아송비로 세로변형률을 구하는 과정이나 단면적 계산을 잘못한 값이다.

부정정 차수가 3인 것은 양단 고정에 중간 롤러와 내부 힌지가 있는 보이다.

보의 부정정 차수는 반력 수 − 3 − 내부 힌지 수로 구한다. 고정단 반력 3, 힌지 지점 2, 롤러 1이다.

양단 고정 + 롤러 + 힌지: $3 + 1 + 3 - 3 - 1 = 3$

• 일단 고정·타단 힌지 지점인 보는 $3 + 2 - 3 = 2$차이다.
• 롤러와 고정단 사이에 내부 힌지가 있는 보는 $1 + 3 - 3 - 1 = 0$으로 정정이다.
• 롤러 두 개와 고정단으로 지지된 보는 $1 + 1 + 3 - 3 = 2$차이다.

캔틸레버 기둥의 임계 좌굴하중은 200 kN이다.

양단고정 기둥을 1, 캔틸레버 기둥을 2라 하자. 오일러 좌굴하중 $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$는 유효길이의 제곱에 반비례한다. 양단고정은 K = 0.5, 일단고정 타단자유는 K = 2이다.

$\dfrac{P_{cr,2}}{P_{cr,1}} = \left(\dfrac{0.5}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{16}$
$P_{cr} = \dfrac{3200}{16} = 200\ \mathrm{kN}$

• 400 kN은 3,200을 8로 나눈 값으로, 유효길이 비 4의 제곱(16)과 맞지 않는다.
• 800 kN은 유효길이 비(4배)만큼만 나눈 값이다.
• 1,600 kN은 절반으로만 줄인 값이다.

단면계수가 최대일 때 높이와 폭의 비는 √2이다.

대각선이 지름이므로 $h^2 = d^2 - b^2$이고, 단면계수는 $S = \dfrac{bh^2}{6} = \dfrac{b(d^2 - b^2)}{6}$이다.

b로 미분해 0으로 두면 $d^2 - 3b^2 = 0$, 즉 $b^2 = \dfrac{d^2}{3}$, $h^2 = \dfrac{2d^2}{3}$이다.
$\dfrac{h}{b} = \sqrt{2}$

• √3은 단면2차모멘트($bh^{3}/12)$를 최대로 하는 비율이다.
• 2와 3은 극값 조건에서 나오지 않는 값이다.

전단탄성계수는 G = 80 GPa이다.

후크의 법칙(전단)에서 전단응력을 전단변형률로 나눈 값이 전단탄성계수다.
$G=\dfrac{\tau}{\gamma}=\dfrac{16\ \mathrm{MPa}}{0.0002}=80000\ \mathrm{MPa}=80\ \mathrm{GPa}$

탄성계수와 푸아송비의 관계로 검산해도 같은 값이 나온다.
$G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}=\dfrac{200}{2(1+0.25)}=80\ \mathrm{GPa}$

• 60 GPa: 두 관계식 어느 쪽으로 계산해도 나오지 않는 값이다.
• 100 GPa: 2(1+ν) 대신 2로만 나눈 값으로, 푸아송비를 빠뜨린 결과다.
• 120 GPa: 응력과 변형률의 단위 환산이나 관계식을 잘못 적용한 값이다.

B지점의 수직반력은 17.5 kN이다.

먼저 위의 CD부재를 단순보로 풀어 C·D에 전달되는 힘을 구한다. 등분포하중 $2 \times 10 = 20\ \mathrm{kN}$은 양 끝에 10 kN씩, C점의 5 kN은 C에 그대로 전달된다.
C: $5 + 10 = 15\ \mathrm{kN}$, D: $10\ \mathrm{kN}$

AB보에는 중앙(C)에 15 kN, B 바로 위(D)에 10 kN이 작용한다.
$R_B = \dfrac{15 \times 10}{20} + 10 = 7.5 + 10 = 17.5\ \mathrm{kN}$

• 7.5 kN은 중앙 하중의 몫만 구하고 B 위에 직접 전달되는 10 kN을 빠뜨린 값이다.
• 10.0 kN은 D에서 전달되는 힘만 본 값이다.
• 7.0 kN은 하중 전달을 잘못 나눈 값이다.

고정단 모멘트 크기의 비는 2.0이다.

힘을 제거한 뒤 힌지에서 두 보는 크기가 같고 방향이 반대인 힘 F를 주고받는다. 힌지는 모멘트를 전달하지 않는다.

각 고정단 모멘트는 힘 × 캔틸레버 길이이다.
$M_A = F L,\ M_D = F \times 2L \Rightarrow \dfrac{M_D}{M_A} = 2$

• 0.5는 두 길이의 비를 거꾸로 적용한 값이다.
• 1.0은 고정단 모멘트가 같다고 본 것으로, 팔 길이가 달라 성립하지 않는다.
• 4.0은 길이 비를 제곱한 값으로, 고정단 모멘트는 길이에 1제곱으로 비례한다.

A지점의 반력 모멘트는 40 kN·m이다.

내민 부분의 하중이 B점에 만드는 모멘트는 $20 \times 4 = 80\ \mathrm{kN \cdot m}$이다. 이 모멘트가 AB(일단고정·타단힌지)의 힌지 끝에 작용하는 것과 같다.

고정단으로 넘어가는 모멘트는 전달률 1/2을 적용한다.
$M_A = \dfrac{1}{2} \times 80 = 40\ \mathrm{kN \cdot m}$

• 10, 20 kN·m는 전달률을 1/8, 1/4 등으로 잘못 적용한 값이다.
• 30 kN·m는 전달 관계와 맞지 않는 값이다.

A지점의 수직반력은 0이다.

강체보는 A를 중심으로 회전하므로 스프링 변위는 A로부터 거리에 비례한다. 회전각을 θ라 하면 스프링력도 거리에 비례한다.
$F_B = k\theta(3L),\ F_C = k\theta(6L)$

A점 모멘트 평형: $P \times 5L = k\theta(9L^2 + 36L^2) \Rightarrow k\theta L = \dfrac{P}{9}$
$F_B = \dfrac{P}{3},\ F_C = \dfrac{2P}{3},\ R_A = P - \dfrac{P}{3} - \dfrac{2P}{3} = 0$

• P/3(위)은 B 스프링력과 혼동한 값이다.
• 2P/3(위)은 C 스프링력과 혼동한 값이다.
• P/3(아래)은 스프링력 분배를 잘못 계산해 합이 하중을 넘게 된 경우이다.

CE부재의 부재력은 24 kN(압축)이다.

DF, DE, CE를 지나는 단면으로 자르고 오른쪽 부분에서 D점에 대한 모멘트를 잡으면 DF·DE의 힘이 빠진다.

$12 \times 8 = F_{CE} \times 4 \Rightarrow F_{CE} = 24\ \mathrm{kN}$
끝단 하중이 아래로 작용하는 캔틸레버형 트러스이므로 아래 현재는 압축을 받는다.

• 18 kN은 모멘트 팔 길이를 잘못 잡은 값이다.
• 24 kN(인장)은 크기는 맞지만 아래 현재의 힘 방향을 반대로 본 것이다.

A지점의 수직반력은 30 kN이다.

등분포하중은 6 m 구간(B 왼쪽 4 m + 내민 2 m)에 작용하므로 합력 $10 \times 6 = 60\ \mathrm{kN}$이 A로부터 9 m, 즉 B 왼쪽 1 m에 작용한다.

B점에 대한 모멘트 평형(경간 10 m):
$R_A \times 10 = 30 \times 8 + 60 \times 1 = 300$
$R_A = 30\ \mathrm{kN}$

• 10 kN과 20 kN은 분포하중 합력을 B 오른쪽에 있다고 보거나 일부 구간만 계산한 값이다.
• 40 kN은 분포하중 합력 전체를 A 쪽으로 더 가깝게 잡은 값이다.

집중하중은 P = 3 kN, 모멘트는 M(o) = 3 kN·m이다.

자유단 A에서 하중점까지 휨모멘트가 3 kN·m로 일정하므로 이 구간에는 전단력이 없고, 그 값이 곧 자유단에 작용하는 모멘트 M(o)이다.

하중점에서 고정단 B까지 3 m 동안 휨모멘트가 3에서 −6으로 변하므로 기울기(전단력)는 $\dfrac{3 - (-6)}{3} = 3\ \mathrm{kN}$이고, 이것이 집중하중 P이다.

• P를 6 kN으로 보면 고정단 모멘트가 $3 - 6 \times 3 = -15\ \mathrm{kN \cdot m}$가 되어 선도와 맞지 않는다.
• M(o)를 6 kN·m로 보면 A 쪽 일정 구간 값이 6이 되어 선도의 3과 다르다.

B지점의 수직반력은 1 kN(↑)이다.

크기가 같고 방향이 반대인 두 힘은 우력이다. 우력 모멘트는 $10 \times 1 = 10\ \mathrm{kN \cdot m}$이고, 위로 향하는 힘이 왼쪽에 있으므로 시계방향이다.

우력은 두 지점 반력의 우력으로만 평형을 이루므로
$R_B = \dfrac{10}{10} = 1\ \mathrm{kN}$, A는 아래로 1 kN, B는 위로 1 kN이다.

• 1 kN(↓)은 우력의 회전 방향을 반대로 본 것이다.
• 10 kN(↑), 10 kN(↓)은 하중 크기를 그대로 반력으로 본 것으로, 두 하중의 합력은 0이다.

최대주응력은 2 MPa이다.

x방향 압축 6 MPa, y방향 수직응력 0, 전단응력 4 MPa이다. 주응력 공식에 대입한다.

$\sigma_1 = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau^2}$
$= \dfrac{-6}{2} + \sqrt{3^2 + 4^2} = -3 + 5 = 2\ \mathrm{MPa}$

• 0은 전단응력의 영향을 무시하고 y방향 응력을 그대로 본 값이다.
• 6은 압축 응력의 크기를 부호 없이 본 값이다.
• 1은 반지름 계산을 잘못한 값이다.

C점 휨모멘트 영향선은 C에서 +0.5, 양 끝 A·E에서 −1.0인 형태이다.

단순 경간 BD(2 m) 안에서 C는 B·D로부터 각각 1 m이므로 최대 종거는 $\dfrac{ab}{L} = \dfrac{1 \times 1}{2} = 0.5$이다.

영향선은 B·D에서 0이고, 직선을 내민 부분까지 연장한다. 기울기가 $0.5 / 1 = 0.5$이므로 2 m 떨어진 A·E에서 $-0.5 \times 2 = -1.0$이다.

• C점 0.75, 양 끝 1.5인 그림은 종거를 경간 길이와 맞지 않게 키운 것이다.
• C점 1.0, 양 끝 2.0인 그림은 ab/L 대신 ab를 종거로 쓴 것이다.
• D에서 0이 되지 않고 E에서 0이 되는 비대칭 그림은 D가 지점이라는 조건과 맞지 않는다.

최대 풍력은 2 kN이다.

로프의 허용 인장력은 $T = 10 \times 400 = 4000\ \mathrm{N} = 4\ \mathrm{kN}$이다.

로프가 지면과 60°를 이루므로 수평 성분이 풍력과 평형을 이룬다.
$W = T\cos 60^\circ = 4 \times 0.5 = 2\ \mathrm{kN}$

• 4 kN은 로프 장력 전체를 풍력으로 본 값이다.
• 3 kN은 수평 성분 계산에서 나오지 않는 값이다.
• 1 kN은 성분 분해를 두 번 적용한 값이다.

총신장량은 6.3 mm이다.

하중이 작용하는 점마다 구간을 나누어 구간별 축력을 구한다. 모두 인장이다.
왼쪽 5 m: 70 kN, 가운데 3 m: $70 - 30 = 40\ \mathrm{kN}$, 오른쪽 2 m: $40 + 40 = 80\ \mathrm{kN}$

$\delta = \dfrac{\sum NL}{EA} = \dfrac{(70 \times 5 + 40 \times 3 + 80 \times 2) \times 10^6}{2 \times 10^5 \times 500}$
$= \dfrac{630 \times 10^6}{10^8} = 6.3\ \mathrm{mm}$

• 1.1 mm, 3.5 mm, 8.2 mm는 구간별 축력을 잘못 잡거나 일부 구간만 더한 값이다.

휨모멘트의 크기는 180 N·m이다.

선형 응력분포에서 연단 응력 $\sigma = \dfrac{M}{Z}$이고, 직사각형의 단면계수는 $Z = \dfrac{bh^2}{6}$이다.

$Z = \dfrac{30 \times 60^2}{6} = 18000\ \mathrm{mm^3}$
$M = 10 \times 18000 = 180000\ \mathrm{N \cdot mm} = 180\ \mathrm{N \cdot m}$

• 200, 220, 240 N·m는 단면계수를 잘못 잡거나 단위 환산에서 어긋난 값이다.

허용되는 최대 인장력은 8 kN이다.

축하중을 받는 봉에서 45° 경사면의 전단응력은 수직응력의 절반이다($\tau = \dfrac{\sigma}{2}$).

수직응력 조건: $P \le 120 \times 100 = 12000\ \mathrm{N} = 12\ \mathrm{kN}$
전단응력 조건: $\dfrac{P}{2A} \le 40 \Rightarrow P \le 2 \times 40 \times 100 = 8000\ \mathrm{N} = 8\ \mathrm{kN}$
두 조건 중 작은 값을 택한다.

• 12 kN은 수직응력 조건만 고려한 값이다.
• 4 kN은 전단응력을 수직응력과 같은 크기로 본 값이다.
• 10 kN은 두 조건 어느 쪽에서도 나오지 않는 값이다.