26년 2회차

뢴트겐이 발견했고 강한 투과력으로 인체 촬영과 수하물 검색에 쓰이는 전자기파는 X선이다.

X선은 파장이 짧아 투과력이 크고, 밀도가 큰 뼈나 금속은 많이 흡수하지만 연한 조직은 잘 통과해 영상에 명암 차이가 생긴다.

• 마이크로파: 파장이 긴 전자기파로 전자레인지·통신·레이더에 쓰인다.
• 가시광선: 눈으로 볼 수 있는 빛으로 인체를 쉽게 투과하지 못한다.
• 감마선: 원자핵에서 방출되는 파장이 가장 짧은 전자기파로, 뢴트겐이 발견한 것이 아니다.

상대성 원리와 광속 불변 원리를 기본 가정으로 하는 이론은 특수 상대성 이론이다.

아인슈타인은 이 두 가정에서 출발해 관성 좌표계 사이의 시간 지연과 길이 수축, 질량-에너지 동등성을 이끌어 냈다.

• 중력 이론: 질량을 가진 물체 사이의 인력을 다루는 이론이다.
• 빅뱅 이론: 우주가 고온·고밀도 상태에서 팽창해 왔다는 우주론이다.
• 일반 상대성 이론: 등가 원리를 바탕으로 중력을 시공간의 휘어짐으로 설명하며, 관성 좌표계에 한정되지 않는다.

임계온도 이하에서 전기저항이 0이 되고 내부 자기장도 0이 되는 물질은 초전도체이다.

1911년 온네스가 수은에서 처음 확인했고, 내부에서 자기장을 밀어내는 완전 반자성은 마이스너 효과라고 한다.

• 도체: 전기가 잘 통하지만 상온의 일반 도체는 전기저항이 0이 아니다.
• 반도체: 전기 전도성이 도체와 부도체의 중간이며, 온도가 오르면 전도도가 커진다.
• 부도체: 전기가 거의 통하지 않는 물질이다.

그림의 연결은 순방향 바이어스이며, 전자와 양공이 접합면으로 이동해 전류가 흐른다.

전지 기호에서 긴 선이 (+)극이고 짧은 선이 (−)극이다. 그림에서는 (+)극이 p형에, (−)극이 n형에 연결되어 있다.

p형의 양공과 n형의 전자가 각각 전지에 밀려 접합면 쪽으로 이동해 만나므로 회로에 전류가 흐른다.

• 역방향 바이어스 연결: p형에 (−)극, n형에 (+)극을 연결한 경우로, 그림과 전지 극성이 반대다.
• 전자와 양공이 접합면에서 멀어져 전류가 흐르지 않음: 역방향 바이어스에서 나타나는 현상이다.

옳은 설명은 주기가 0.25 s라는 것이다.

주기는 진동수의 역수이므로 $T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{4}=0.25\,\mathrm{s}$이다.

그래프에서 같은 위상이 0, 4 m, 8 m마다 반복되므로 파장은 4 m이고, 평형 위치에서 마루까지의 높이인 진폭은 3 m이다.

• 파장 8 m: 8 m는 파동 두 개의 길이이고, 한 파장은 4 m이다.
• 진폭 6 m: 마루와 골 사이의 높이 차를 읽은 값으로, 진폭은 그 절반이다.
• 파동의 속력 8 m/s: $v=f\lambda=4\times 4=16\,\mathrm{m/s}$이므로 틀리다.

출발 후 5초까지의 거리에서 2초까지의 거리를 빼면 구하는 이동 거리는 42 m이다.

공식: $s=\dfrac{1}{2}at^2$

대입: $s_5=\dfrac{1}{2}\times4\times5^2=50\,\mathrm{m}$
$s_2=\dfrac{1}{2}\times4\times2^2=8\,\mathrm{m}$

결과: $s_5-s_2=50-8=42\,\mathrm{m}$이며, 2초와 5초의 속력 $8\,\mathrm{m/s}$, $20\,\mathrm{m/s}$의 평균 속력 $14\,\mathrm{m/s}$에 3초를 곱해도 같다.

• 12 m: 3초 동안의 속도 변화 $12\,\mathrm{m/s}$를 거리로 착각한 값이다.
• 22 m: 이 구간의 평균 속력이 2초 때 속력보다 작아지므로 가속 중인 물체에서 불가능하다.
• 32 m: 출발 후 4초까지의 이동 거리로, 구간을 잘못 잡은 값이다.

외력이 없으므로 운동량이 보존되고, 충돌 후 한 덩어리의 속도는 6 m/s이다.

공식: $m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v$

대입: $6\times10+4\times0=(6+4)v$
결과: $v=\dfrac{60}{10}=6\,\mathrm{m/s}$

• 4 m/s: 충돌 후 운동량이 $40\,\mathrm{kg\cdot m/s}$로 처음 $60\,\mathrm{kg\cdot m/s}$보다 작다.
• 5 m/s: 충돌 후 운동량이 $50\,\mathrm{kg\cdot m/s}$로 처음보다 작다.
• 7 m/s: 충돌 후 운동량이 $70\,\mathrm{kg\cdot m/s}$로 처음보다 크다.

핵융합에서 생성된 에너지는 질량 결손이 전환된 것이므로 $E=\Delta mc^2$에서 질량 결손은 $3.0\times10^{-29}\,\mathrm{kg}$이다.

공식: $\Delta m=\dfrac{E}{c^2}$

대입: $\Delta m=\dfrac{2.7\times10^{-12}}{(3.0\times10^{8})^2}=\dfrac{2.7\times10^{-12}}{9.0\times10^{16}}$
결과: $\Delta m=3.0\times10^{-29}\,\mathrm{kg}$

• $9.0\times10^{-21}\,\mathrm{kg}$: 빛의 속력을 제곱하지 않고 한 번만 나눈 값이다.
• $9.0\times10^{-20}\,\mathrm{kg}$: $c^2$을 곱하면 $8.1\times10^{-3}\,\mathrm{J}$로 주어진 에너지보다 훨씬 크다.
• $3.0\times10^{-28}\,\mathrm{kg}$: $c^2$을 곱하면 $2.7\times10^{-11}\,\mathrm{J}$로 주어진 에너지의 10배이다.

B에서 유체의 속도는 32 m/s이다.

비압축성 유체의 연속방정식 $A_Av_A=A_Bv_B$에서 단면적은 반지름의 제곱에 비례한다.

$v_B=v_A\left(\dfrac{r_A}{r_B}\right)^2=2\times\left(\dfrac{20}{5}\right)^2=2\times 16=32\,\mathrm{m/s}$

• 4 m/s: 처음 속도의 2배에 그치는 값으로, 단면적 비 16배를 반영하지 못했다.
• 8 m/s: 반지름 비 4배만 곱한 값으로, 제곱을 빠뜨렸다.
• 16 m/s: 속도 비 16배를 그대로 쓴 값으로, 처음 속도를 곱하지 않았다.

추 B의 주기는 추 A의 0.5 배이다.

단진자의 주기는 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$로 줄의 길이와 중력가속도로만 정해지며, 추의 질량과는 무관하다.

그림에서 A의 줄은 4 m, B의 줄은 1 m이므로 $\dfrac{T_B}{T_A}=\sqrt{\dfrac{L_B}{L_A}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=0.5$이다.

• 0.25 배: 길이 비를 그대로 쓴 값으로, 제곱근을 빠뜨렸다.
• 1 배: 줄 길이가 달라 주기가 같을 수 없다.
• 2 배: 비교 기준을 뒤바꿔 B에 대한 A의 주기를 구한 값이다.

외부와 열 출입이 없으므로 뜨거운 물이 잃은 열량과 찬물이 얻은 열량이 같고, 혼합 전 온도는 75 ℃이다.

공식: $Q=cm\Delta T$

대입: $1\times200\times(T-25)=1\times1000\times(25-15)$
$200(T-25)=10000$
$T-25=50$

결과: $T=75\,^{\circ}\mathrm{C}$

• 70 ℃: 물이 잃는 열량이 9,000 kcal로, 찬물이 얻는 10,000 kcal에 못 미친다.
• 65 ℃: 물이 잃는 열량이 8,000 kcal로 부족하다.
• 60 ℃: 물이 잃는 열량이 7,000 kcal로 부족하다.

부피가 일정한 기체의 압력은 절대온도에 비례하므로 가열 후 온도는 177 ℃이다.

공식: $\dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}$

대입: $T_1=27+273=300\,\mathrm{K}$
$T_2=300\times\dfrac{300}{200}=450\,\mathrm{K}$

결과: $450-273=177\,^{\circ}\mathrm{C}$

• 127 ℃: 절대온도 400 K에 해당해 온도 비가 압력 비 1.5배와 맞지 않는다.
• 277 ℃: 절대온도 550 K에 해당해 온도 비가 압력 비 1.5배와 맞지 않는다.
• 450 ℃: 절대온도 450 K를 섭씨온도로 바꾸지 않고 그대로 읽은 값이다.

방출되는 빛의 에너지는 두 준위의 에너지 차이므로 파장은 $\dfrac{hc}{10.2}$이다.

공식: $\dfrac{hc}{\lambda}=E_2-E_1$

대입: $E_2=-\dfrac{13.6}{2^2}=-3.40\,\mathrm{eV}$
$E_1=-\dfrac{13.6}{1^2}=-13.6\,\mathrm{eV}$

결과: $E_2-E_1=-3.40-(-13.6)=10.2\,\mathrm{eV}$이므로 $\lambda=\dfrac{hc}{10.2}$이다.

• $\dfrac{hc}{3.40}$: 처음 준위의 에너지 크기만 쓴 값이다.
• $\dfrac{hc}{13.6}$: 나중 준위의 에너지 크기만 쓴 값이다.
• $\dfrac{hc}{17.0}$: 두 준위의 차가 아니라 에너지 크기의 합을 쓴 값이다.

$Q_2$가 받는 전기력은 x축 음의 방향으로 크기 k이다.

그림에서 $Q_1$은 왼쪽, $Q_3$은 오른쪽에 있고, 둘 다 $Q_2$와 부호가 달라 인력이 작용한다.

$Q_1$에 의한 힘은 $-k\dfrac{2\times 1}{1^2}\hat{x}=-2k\hat{x}$, $Q_3$에 의한 힘은 $k\dfrac{1\times 1}{1^2}\hat{x}=k\hat{x}$이다.

합력은 $-2k\hat{x}+k\hat{x}=-k\hat{x}$이다.

• $k\hat{x}$: 크기는 같지만 방향이 반대로, 두 인력의 방향을 뒤바꾼 값이다.
• $2k\hat{x}$: $Q_1$에 의한 힘의 크기만 취하고 방향도 반대로 잡았다.
• $3k\hat{x}$: 서로 반대 방향인 두 힘의 크기를 단순히 더한 값이다.

전기력이 한 일이 전자의 운동 에너지가 되므로 운동량 $p=\sqrt{2m_{e}e\varDelta V}$를 드브로이 식에 넣으면 파장은 $\dfrac{h}{\sqrt{2m_{e}e\varDelta V}}$이다.

에너지 관계: $e\varDelta V=\dfrac{1}{2}m_{e}v^2=\dfrac{p^2}{2m_{e}}$

운동량: $p=\sqrt{2m_{e}e\varDelta V}$

결과: $\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{\sqrt{2m_{e}e\varDelta V}}$

• $\dfrac{h}{\sqrt{m_{e}e\varDelta V}}$: 운동 에너지 식에서 나오는 계수 2가 빠졌다.
• $\dfrac{h}{\sqrt{m_{e}\varDelta V/e}}$: 계수 2가 빠졌고 전하량을 곱하지 않고 나누었다.
• $\dfrac{h}{\sqrt{2m_{e}\varDelta V/e}}$: 전기력의 일은 $e\varDelta V$이므로 전하량을 나누면 안 된다.

M의 질량은 7 kg이다.

M이 더 무거워 아래로 가속되므로 줄의 장력을 $T$라 할 때 $Mg-T=Ma$, $T-3g=3a$이다.

두 식을 더하면 장력이 소거되어 $(M-3)g=(M+3)a$가 된다.

$10(M-3)=4(M+3)$
$6M=42$
$M=7\,\mathrm{kg}$

• 6 kg: 가속도가 $\dfrac{10}{3}\,\mathrm{m/s^2}$로, 주어진 값보다 작다.
• 8 kg: 가속도가 $\dfrac{50}{11}\,\mathrm{m/s^2}$로, 주어진 값보다 크다.
• 9 kg: 가속도가 $5\,\mathrm{m/s^2}$로, 주어진 값보다 크다.

걸린 시간은 8 s, 수평 도달거리는 $320\sqrt{3}\,\mathrm{m}$이다.

처음 속도의 연직 성분은 $v_y=80\sin 30^\circ=40\,\mathrm{m/s}$이므로 체공 시간은 $t=\dfrac{2v_y}{g}=\dfrac{2\times 40}{10}=8\,\mathrm{s}$이다.

수평 성분은 $v_x=80\cos 30^\circ=40\sqrt{3}\,\mathrm{m/s}$로 일정하므로 $x=v_xt=40\sqrt{3}\times 8=320\sqrt{3}\,\mathrm{m}$이다.

• 8 s, 320 m: 수평 성분에 연직 성분 $40\,\mathrm{m/s}$를 잘못 쓴 값이다.
• 16 s, $320\sqrt{3}\,\mathrm{m}$: 시간이 $\sin 30^\circ$를 빠뜨린 값이다.
• 16 s, 320 m: 시간과 거리가 모두 맞지 않는다.

음원이 움직이는 도플러 효과이므로 들리는 진동수는 가까워질 때 약 486 Hz, 멀어질 때 340 Hz이다.

공식: $f'=f\dfrac{v}{v\mp v_s}$ (가까워질 때 빼고, 멀어질 때 더한다)

가까워질 때: $400\times\dfrac{340}{340-60}=400\times\dfrac{340}{280}\approx486\,\mathrm{Hz}$

멀어질 때: $400\times\dfrac{340}{340+60}=340\,\mathrm{Hz}$

• 330 Hz / 471 Hz: 가까워질 때 진동수는 원래보다 높아져야 하는데, 관찰자가 움직이는 경우의 값을 가까워질 때와 멀어질 때로 서로 바꾸어 놓았다.
• 340 Hz / 486 Hz: 계산값을 구했지만 가까워질 때와 멀어질 때를 서로 바꾸었다.
• 471 Hz / 330 Hz: 음원이 아니라 관찰자가 움직이는 경우의 식을 쓴 값이다.

입자의 각운동량은 $\dfrac{(mv)^2}{qB}$이다.

로렌츠 힘이 구심력이므로 $qvB=\dfrac{mv^2}{r}$에서 궤도 반지름은 $r=\dfrac{mv}{qB}$이다.

원 중심에 대한 각운동량은 $L=mvr=mv\times\dfrac{mv}{qB}=\dfrac{(mv)^2}{qB}$이다.

• $\dfrac{mv}{qB}$: 각운동량이 아니라 궤도 반지름이다.
• $\dfrac{qB}{m}$: 원운동의 각속도에 해당한다.
• $\dfrac{2\pi m}{qB}$: 원운동의 주기에 해당한다.

전기용량은 $\left(\dfrac{2\kappa}{\kappa+1}\right)C_0$이다.

판에 평행하게 넣은 유전체는 두께 $d/2$인 유전체층과 공기층의 직렬 연결로 볼 수 있다. 간격이 절반이므로 각 층의 용량은 공기층 $2C_0$, 유전체층 $2\kappa C_0$이다.

$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{2\kappa C_0}+\dfrac{1}{2C_0}=\dfrac{\kappa+1}{2\kappa C_0}$
$C=\dfrac{2\kappa}{\kappa+1}C_0$

$\kappa=1$이면 유전체가 없는 경우처럼 $C_0$가 되어 결과가 타당하다.

• $(\kappa+1)C_0$: $\kappa=1$일 때 $2C_0$가 되어 유전체가 없는 경우와 맞지 않는다.
• $(2\kappa+1)C_0$: $\kappa=1$일 때 $3C_0$가 되어 역시 맞지 않는다.
• $\left(\dfrac{\kappa}{\kappa+1}\right)C_0$: 두 층의 용량을 $C_0$, $\kappa C_0$로 두어 간격이 절반인 효과를 빠뜨린 값이다.