19년 1회차

A지점 수직반력은 800 N이다.

강체보가 수평을 유지하므로 A점에 대한 모멘트 평형에서 $P_1 \times 1.5 = 500 \times 0.9$, $P_1 = 300\ \mathrm{N}$이다.

수직 힘의 평형으로 $R_A = P_1 + P_2 = 300 + 500 = 800\ \mathrm{N}$이다.

• 500은 오른쪽 하중만 반력으로 본 값으로 왼쪽 하중이 빠졌다.
• 600·700은 왼쪽 하중을 100 N·200 N으로 잡은 값으로, A점 모멘트 평형을 만족하지 못한다.

부재 BC의 부재력은 $10\sqrt{3}\ \mathrm{kN}$(압축)이다.

C절점에서 AC는 수평과 30°를 이루므로 수직 평형 $F_{AC}\sin 30^\circ = 10$에서 $F_{AC} = 20\ \mathrm{kN}$(인장)이다.

수평 평형으로 $F_{BC} = F_{AC}\cos 30^\circ = 20 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{kN}$이다.

• 5와 $5\sqrt{3}$은 하중을 반으로 나누는 등 절점 평형식을 잘못 세운 값이다.
• 10은 하중을 그대로 BC 부재력으로 본 값으로, BC는 수평부재라 연직하중을 직접 받지 못한다.

강봉의 탄성계수는 20,000 $N/mm^{2}$이다.

축하중 신장량 $\delta = \dfrac{PL}{EA}$에서 $E = \dfrac{PL}{A\delta}$이다.

단위를 N·mm로 통일해 대입하면 $E = \dfrac{4000 \times 2000}{100 \times 4} = 20000\ \mathrm{N/mm^2}$이다.

• 5,000·10,000은 길이나 신장량을 잘못 환산해 값이 작아진 경우다.
• 40,000은 신장량을 절반으로 잘못 대입하는 등 분모가 작아진 경우다.

도심까지의 거리는 $\dfrac{68}{7}\ \mathrm{cm}$이다.

도형을 세 직사각형으로 나눈다: 아래 $6 \times 4 = 24$(도심 2), 가운데 $3 \times 12 = 36$(도심 10), 위 $12 \times 2 = 24$(도심 17), 단위 cm.

단면1차모멘트로 $y_0 = \dfrac{24 \times 2 + 36 \times 10 + 24 \times 17}{84} = \dfrac{816}{84} = \dfrac{68}{7}\ \mathrm{cm}$이다.

• 분모가 9인 값들은 전체 면적을 잘못 합산한 경우다.
• $\dfrac{74}{7}$은 각 부분의 도심 높이를 잘못 잡아 분자가 커진 값이다.

회전반지름은 $\dfrac{\sqrt{d_2^2 + d_1^2}}{4}$이다.

중공원의 $I = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{64}$, $A = \dfrac{\pi (d_2^2 - d_1^2)}{4}$이다.

$r = \sqrt{I/A}$에서 $d_2^4 - d_1^4 = (d_2^2 - d_1^2)(d_2^2 + d_1^2)$로 약분하면 $r = \sqrt{\dfrac{d_2^2 + d_1^2}{16}} = \dfrac{\sqrt{d_2^2 + d_1^2}}{4}$이다.

• 근호 안이 차인 식은 인수분해 후 남는 항을 잘못 택한 것이다.
• 분모가 16인 식은 16에 근호를 씌우지 않은 실수다.

B점의 응력은 96 MPa(압축)이다.

단면적 $A = 400 \times 300 = 120000\ \mathrm{mm^2}$이므로 $\dfrac{P}{A} = \dfrac{7200000}{120000} = 60\ \mathrm{MPa}$이다.

$e_y$에 의한 휨응력 $\dfrac{P e_y}{Z_x} = \dfrac{7200000 \times 60 \times 6}{400 \times 300^2} = 72$는 하중과 같은 쪽인 B에서 더해지고, $e_x$에 의한 $\dfrac{P e_x}{Z_y} = \dfrac{7200000 \times 40 \times 6}{300 \times 400^2} = 36$은 반대쪽인 B에서 빠진다.

편심 조합응력: $\sigma_B = 60 + 72 - 36 = 96\ \mathrm{MPa}$이다.

상수 $C_1$은 $\dfrac{1}{6}$이다.

내부힌지 B로 얹힌 BC는 단순보처럼 거동하므로 B에 전달되는 힘은 $\dfrac{wL}{2}$이다.

이 힘이 캔틸레버 AB의 자유단에 집중하중으로 작용하므로 $\delta_B = \dfrac{(wL/2)L^3}{3EI} = \dfrac{wL^4}{6EI}$이다.

• $\dfrac{1}{8}$은 캔틸레버 전체에 등분포하중이 걸린 경우의 계수다.
• $\dfrac{1}{9}$·$\dfrac{1}{7}$은 전달력이나 처짐 공식을 잘못 조합한 값이다.

리벳의 최소 단면적은 300 mm²이다.

가운데 판(60 kN)이 위·아래 판(각 30 kN) 사이에 끼어 있어 리벳은 두 면에서 잘리는 복전단을 받는다.

$\tau = \dfrac{P}{2A} \le 100$에서 $A = \dfrac{60000}{2 \times 100} = 300\ \mathrm{mm^2}$이다.

• 단전단으로 보면 600 mm²가 되어 필요 면적이 두 배로 커진다.
• 350·400·450은 전단면 수나 리벳이 받는 하중을 잘못 잡은 값이다.

모멘트의 크기는 $\dfrac{5PL}{24}$이다.

자유단 모멘트 M에 의한 처짐은 $\dfrac{ML^2}{2EI}$이다.

중앙 하중 P에 의한 자유단 처짐은 하중점 처짐에 처짐각 영향을 더해 $\dfrac{P(L/2)^3}{3EI} + \dfrac{P(L/2)^2}{2EI} \cdot \dfrac{L}{2} = \dfrac{5PL^3}{48EI}$이다.

두 처짐이 상쇄되도록 $\dfrac{ML^2}{2} = \dfrac{5PL^3}{48}$에서 $M = \dfrac{5PL}{24}$이다.

전단력이 0인 위치는 A점에서 3 m이다.

전체 하중 $5 \times 12 = 60\ \mathrm{kN}$의 합력은 A에서 6 m에 작용하므로 B점 모멘트 평형 $R_A \times 8 = 60 \times 2$에서 $R_A = 15\ \mathrm{kN}$이다.

전단력 식 $V = 15 - 5x = 0$에서 $x = 3\ \mathrm{m}$이다.

• 4는 경간 중앙을 전단력 0 위치로 본 단순보 감각의 오류다.
• 5·6은 내민 부분 하중을 무시하거나 반력을 크게 잡은 값이다.

최대 주응력은 15 MPa이다.

요소에 수직응력은 없고 전단응력 15 MPa만 작용하는 순수전단 상태다.

$\sigma_1 = \dfrac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau^2} = 0 + \sqrt{15^2} = 15\ \mathrm{MPa}$로, 모어원 반지름이 곧 최대 주응력이다.

• 30은 전단응력을 두 배로 더한 값이다.
• 20·25는 존재하지 않는 수직응력을 가정한 값이다.

내적·외적 부정정 차수의 합은 2이다.

절점 8개, 부재 14개, 양단 힌지 반력 4개이므로 트러스 부정정 차수 $N = m + r - 2j = 14 + 4 - 16 = 2$이다.

외적 차수는 $r - 3 = 1$이고 나머지 1이 내적 차수다.

• 1은 외적 또는 내적 차수 한쪽만 센 값이다.
• 3·4는 부재나 반력 수를 잘못 센 값이다.

B점 수평반력은 $\dfrac{40}{3}\ \mathrm{kN}$이다.

B는 벽에 붙은 롤러라 수평반력만 생기며, 힌지 A에 대한 모멘트 평형을 세운다. B는 A보다 15 m 높다.

$\sum M_A = 0$: $H_B \times 15 = 10 \times 10 + 20 \times 5 = 200$, $H_B = \dfrac{40}{3}\ \mathrm{kN}$이다.

• $\dfrac{20}{3}$은 수평하중 또는 연직하중 한쪽의 모멘트만 반영한 값이다.
• $\dfrac{10}{3}$·$\dfrac{50}{3}$은 팔길이를 잘못 잡은 값이다.

B점 수직반력의 최댓값은 14 kN이다.

D–B–C 보는 B·C로 지지되고 D가 3 m 내민 부분이므로 $R_B$ 영향선은 C에서 0, B에서 1, D에서 $\dfrac{8}{5} = 1.6$이며, A–D 구간은 A에서 0으로 선형 감소한다.

한 하중을 D에, 다른 하중을 D에서 B 쪽 2 m 지점(종거 $\dfrac{6}{5} = 1.2$)에 두면 $5 \times 1.6 + 5 \times 1.2 = 14\ \mathrm{kN}$이다.

• 10은 영향선 종거를 1로 보고 두 하중을 단순 합한 값으로, 내민 부분 D의 종거 1.6을 반영하지 않았다.
• 4·6은 종거가 작은 위치에 하중을 둔 경우로 최댓값이 아니다.

집중하중 위치는 A점에서 6 m이다.

삼각형 분포하중의 합력은 $\dfrac{20 \times 3}{2} = 30\ \mathrm{kN}$이고 큰 쪽 끝 B에서 1 m, 즉 A에서 9 m에 작용한다.

전체 하중 60 kN에서 $R_B = 3R_A$이므로 $R_A = 15$, $R_B = 45\ \mathrm{kN}$이다. A점 모멘트 평형 $45 \times 10 = 30x + 30 \times 9$에서 $x = 6\ \mathrm{m}$이다.

• 2·4는 집중하중이 A에 가까워 A점 반력이 커지므로 $R_B = 3R_A$를 만족하지 못한다.
• 8은 집중하중이 B 쪽으로 치우쳐 B점 반력이 A점의 3배를 넘는다.

A점 수직반력의 크기는 $\dfrac{3M}{L}$이다.

그림에서 A의 2M과 B의 M은 같은 시계방향이므로 합모멘트는 3M이다.

두 반력이 짝힘을 이루어 이를 상쇄하므로 $R_A \times L = 3M$, $R_A = \dfrac{3M}{L}$이다.

• $\dfrac{M}{L}$은 두 모멘트의 방향을 반대로 보고 뺀 값이다.
• $\dfrac{2M}{L}$은 A의 모멘트만 고려한 값이다.
• $\dfrac{4M}{L}$은 모멘트 크기를 잘못 더한 값이다.

A점 수직반력은 $\dfrac{5}{16}P$이다.

A를 제거한 캔틸레버에서 중앙 하중에 의한 A점 처짐은 $\dfrac{P(L/2)^3}{3EI} + \dfrac{P(L/2)^2}{2EI}\cdot\dfrac{L}{2} = \dfrac{5PL^3}{48EI}$이다.

변형 적합조건 $\dfrac{R_A L^3}{3EI} = \dfrac{5PL^3}{48EI}$에서 $R_A = \dfrac{5}{16}P$이다.

• $\dfrac{3}{8}P$는 등분포하중을 받는 같은 보의 반력 계수다.
• $\dfrac{11}{48}P$·$\dfrac{7}{12}P$는 처짐 항을 일부 빠뜨린 값이다.

A점 수평반력은 6 kN이다.

D는 높이 4 m이므로 중심 O에서 오른쪽 3 m에 있다($3^2 + 4^2 = 5^2$). B점 모멘트 평형 $V_A \times 10 = 30 \times 2$에서 $V_A = 6\ \mathrm{kN}$이다.

내부힌지 C의 모멘트 0 조건을 왼쪽 부분에 적용하면 $V_A \times 5 - H_A \times 5 = 0$, $H_A = 6\ \mathrm{kN}$이다.

• 4·8은 D점의 수평 위치(O에서 3 m)를 잘못 잡아 연직반력이 달라진 값이다.
• 10은 내부힌지 C의 모멘트 0 조건을 쓰지 않고 수평반력을 추정한 값이다.

부재 EF의 부재력은 5 kN이다.

DF·EF·EG를 자르는 단면의 왼쪽(C·D·E)에서 E점 모멘트를 취하면 $2 \times 3 = F_{DF} \times \dfrac{3}{\sqrt{13}} \times 2$이므로 $F_{DF} = \sqrt{13}$, 연직성분은 $\sqrt{13} \times \dfrac{2}{\sqrt{13}} = 2\ \mathrm{kN}$이다.

연직 평형: $2 + EF_y = 2 + 4$에서 $EF_y = 4$이고, EF는 가로 3·세로 4 경사이므로 $F_{EF} = 4 \times \dfrac{5}{4} = 5\ \mathrm{kN}$이다.

• 4는 연직성분을 부재력으로 착각한 값이다.
• 2·3은 상현재 DF의 연직성분을 빠뜨리거나 수평성분과 혼동한 값이다.

필요한 최소 힘은 $30\sqrt{2}\ \mathrm{N}$이다.

원판이 막 넘어가는 순간 바닥 반력이 0이 되어 장애물 모서리가 회전중심이 된다. 중심은 모서리보다 $50 - 10 = 40\ \mathrm{mm}$ 높고 수평으로 $\sqrt{50^2 - 40^2} = 30\ \mathrm{mm}$ 떨어져 있다.

모서리에 대한 모멘트 평형: 무게의 팔길이는 30, 45° 방향 P의 모멘트는 $P \cdot \dfrac{30 + 40}{\sqrt{2}}$이므로 $70 \times 30 = P \times \dfrac{70}{\sqrt{2}}$, $P = 30\sqrt{2}\ \mathrm{N}$이다.

• $40\sqrt{2}$는 무게의 팔길이를 40 mm로 바꿔 쓴 값이다.
• $20\sqrt{2}$·$50\sqrt{2}$는 P의 팔길이를 잘못 잡은 값이다.