25년 1회차

등속 원운동하는 물체의 알짜힘은 원의 중심을 향하며 크기는 $\dfrac{mv^2}{r}$이다.

속력은 일정해도 속도의 방향이 계속 바뀌므로 중심 방향의 구심 가속도 $a=\dfrac{v^2}{r}$가 생기고, 이를 만드는 힘이 구심력 $F=ma=\dfrac{mv^2}{r}$이다.

• 접선 방향의 힘: 접선 방향 힘이 있으면 속력이 변하므로 등속 원운동이 아니다.
• 중심에서 멀어지는 방향, $\dfrac{mv}{r^2}$: 원심력은 회전 좌표계의 관성력일 뿐 알짜힘이 아니며, 크기의 차원도 힘이 아니다.
• 속도 방향의 힘: 속도 방향은 접선 방향이고 크기 식도 틀렸다.

B가 본 C는 서쪽으로 5 m/s로 움직인다.

동쪽을 (+)로 두면 A가 본 B의 속도는 $v_B-v_A=+10\,\mathrm{m/s}$, C가 본 A의 속도는 $v_A-v_C=-5\,\mathrm{m/s}$이다.

상대속도를 이어 붙이면 $v_C-v_B=(v_C-v_A)+(v_A-v_B)=5-10=-5\,\mathrm{m/s}$로, 음수이므로 서쪽이다.

• 서쪽 15 m/s: 두 상대속도의 크기를 단순히 더한 값으로, 방향 부호를 무시한 결과다.
• 동쪽 5 m/s: 크기는 맞지만 관측자와 대상을 뒤바꾼(C가 본 B) 방향이다.
• 동쪽 15 m/s: 부호와 크기가 모두 맞지 않는다.

나침반의 S극은 ㉠에서 오른쪽, ㉡에서 왼쪽을 가리킨다.

직선 전류 주위 자기장은 오른손 법칙에 따라 도선을 감싸는 동심원 방향이므로, 도선을 사이에 두고 마주 보는 두 지점에서는 자기장 방향이 서로 반대다.

전류가 그림의 아래쪽으로 흐를 때 도선 앞쪽 ㉠의 자기장은 왼쪽이라 N극이 왼쪽, S극이 오른쪽을 향하고, 도선 뒤쪽 ㉡에서는 자기장이 오른쪽이라 S극이 왼쪽을 향한다.

• 양쪽 모두 왼쪽: 두 위치의 자기장이 같다고 본 것으로, 도선 반대편에서 방향이 뒤집히는 것을 놓쳤다.
• ㉠ 왼쪽·㉡ 오른쪽: N극이 가리키는 방향을 S극으로 착각한 결과다.
• 양쪽 모두 오른쪽: 두 위치의 자기장이 같다고 본 것이다.

에너지 비는 16이다.

1차원 무한 퍼텐셜 우물의 에너지 준위는 $E_n=\dfrac{n^2h^2}{8mL^2}$로 양자수의 제곱에 비례한다.

$\dfrac{E_8}{E_2}=\dfrac{8^2}{2^2}=\dfrac{64}{4}=16$

• 4: 양자수 비 $\dfrac{8}{2}$만 취한 값으로, 제곱을 빠뜨렸다.
• 8: 양자수 8을 그대로 쓴 값이다.
• 32: 64를 2로 나눈 값으로, 분모의 제곱을 빠뜨렸다.

구껍질 바깥에서는 전하가 중심에 모인 점전하처럼 작용하므로 전기장은 거리의 제곱에 반비례하고, 두 지점의 비는 4:1이다.

가우스 법칙에 따라 $r$보다 먼 지점의 전기장은 $E=k\dfrac{q}{d^2}$이다.

$E_{2r}:E_{4r}=\dfrac{1}{(2r)^2}:\dfrac{1}{(4r)^2}=\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{16}=4:1$

• 2:1은 거리에 단순 반비례한다고 본 값으로, 점전하 전기장의 역제곱 관계를 놓친 것이다.
• 3:1은 거리 비(2:1)와도 거리 제곱 비(4:1)와도 맞지 않는다.
• 1:3은 가까운 쪽 전기장을 더 작게 본 값으로, 거리가 멀수록 전기장이 약해진다는 관계와 반대이다.

옳은 것은 A와 B 사이의 열 전달, 5분일 때의 열평형 두 가지다.

그래프에서 A는 80℃에서 50℃로 30℃ 내려가고, B는 30℃에서 50℃로 20℃ 올라간다. 상자가 단열되어 있으므로 A가 잃은 열량과 B가 얻은 열량은 같다.

$C_A\times 30=C_B\times 20$이므로 $C_A \lt C_B$로, 열용량은 B가 더 크다.

• A와 B의 열용량이 같다: 같은 열량에 대한 온도 변화가 30℃와 20℃로 달라 틀린 설명이다.
• A와 B 사이에 열에 의한 에너지 전달이 있다: 칸막이가 단열되지 않아 고온의 A에서 저온의 B로 열이 이동하므로 옳다.
• 5분일 때 열평형에 도달한다: 5분부터 두 온도가 50℃로 같아져 변하지 않으므로 옳다.

100일은 반감기 20일의 다섯 배이므로 질량이 다섯 차례 절반으로 줄어 20 kg이 남는다.

남은 질량은 $m=m_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$이다.

$\dfrac{t}{T}=\dfrac{100}{20}=5$
$m=640\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=\dfrac{640}{32}=20\,\mathrm{kg}$

640 → 320 → 160 → 80 → 40 → 20 kg 순으로 줄어들며, 반감기 횟수를 하나라도 덜 세면 40 kg이나 80 kg으로 잘못 고르게 된다.

옳지 않은 설명은 가속도 크기를 $\dfrac{qvB}{r}$로 쓴 것이다.

로렌츠 힘 $qvB$가 구심력이므로 $qvB=ma=\dfrac{mv^2}{r}$이고, 가속도는 $a=\dfrac{qvB}{m}$로 질량으로 나눈 값이다.

• 주기 $\dfrac{2\pi m}{qB}$: $T=\dfrac{2\pi r}{v}$에 반지름을 대입한 결과로 옳다.
• 반지름 $\dfrac{mv}{qB}$: $qvB=\dfrac{mv^2}{r}$에서 바로 얻어지므로 옳다.
• 운동에너지 $\dfrac{1}{2}mv^2$: 자기력은 속도에 수직이라 일을 하지 않아 속력이 일정하므로 옳다.

전류는 $I_2=2\,\mathrm{A}$, $I_3=1\,\mathrm{A}$이다.

왼쪽 접점 전위를 0, 오른쪽 접점 전위를 $V$로 두고 키르히호프 법칙을 적용한다. 분기점에서 $I_1=I_2+I_3$이다.

위 가지: $V=18-4I_1$
가운데 가지: $V=6I_3$
아래 가지: $0=V+20-13I_2$

연립하면 $I_1=3\,\mathrm{A}$, $I_2=2\,\mathrm{A}$, $I_3=1\,\mathrm{A}$, $V=6\,\mathrm{V}$로 세 식을 모두 만족한다.

• 2 A, 0.5 A: 가운데 가지에서 $V=3\,\mathrm{V}$인데 위 가지에서는 $V=8\,\mathrm{V}$로 맞지 않는다.
• 2 A, 2 A: $I_1=4\,\mathrm{A}$이면 위 가지에서 $V=2\,\mathrm{V}$, 가운데 가지에서 $V=12\,\mathrm{V}$로 서로 맞지 않는다.
• 1 A, 1 A: 아래 가지 식에서 $V=-7\,\mathrm{V}$가 되어 가운데 가지와 맞지 않는다.

진동수와 파장이 같은 파동은 진폭을 위상각 방향의 벡터(페이저)로 더하며, 합성 진폭은 $\dfrac{5}{6}\mathrm{A}$이다.

위상 $0$과 $\pi$인 두 파동은 서로 반대 방향이므로 상쇄되어 $\mathrm{A}-\dfrac{1}{2}\mathrm{A}=\dfrac{1}{2}\mathrm{A}$가 남는다.

이것과 위상 $\dfrac{\pi}{2}$인 $\dfrac{2}{3}\mathrm{A}$는 서로 수직이므로
$\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}\,\mathrm{A}=\sqrt{\dfrac{9}{36}+\dfrac{16}{36}}\,\mathrm{A}=\dfrac{5}{6}\mathrm{A}$

• $\mathrm{A}$: 가장 큰 파동의 진폭만 남는다고 본 값으로, 위상 $\pi$ 파동의 상쇄와 위상 $\dfrac{\pi}{2}$ 파동의 수직 합성을 반영하지 않았다.
• $\dfrac{3}{4}\mathrm{A}$: 수직 성분을 페이저로 합성하지 않은 값으로, 피타고라스 합 $\dfrac{5}{6}\mathrm{A}$와 맞지 않는다.
• $\dfrac{2}{3}\mathrm{A}$는 위상 $0$과 $\pi$ 성분이 완전히 상쇄된다고 본 값이지만, 두 진폭이 달라 $\dfrac{1}{2}\mathrm{A}$가 남는다.

파장이 긴 것부터 나열하면 마이크로파 - 적외선 - 가시광선 - 자외선 - X선이다.

전자기파는 파장이 긴 쪽부터 전파, 마이크로파, 적외선, 가시광선, 자외선, X선, 감마선 순이며, 파장이 짧을수록 진동수와 에너지가 크다.

• 적외선을 마이크로파보다 앞에 두고 X선을 자외선보다 앞에 둔 나열: 두 곳 모두 순서가 뒤바뀌었다.
• X선을 맨 앞에 둔 나열: X선은 이 중 파장이 가장 짧다.
• 가시광선을 맨 앞에 둔 나열: 마이크로파와 적외선이 가시광선보다 파장이 길다.

온도는 크기만 있는 스칼라양이므로 벡터양이 아니다.

벡터양은 크기와 방향을 함께 가지는 물리량이고, 온도·질량·에너지·시간 등은 방향이 없는 스칼라양이다.

• 전기장: 양전하가 받는 힘의 방향을 가지는 벡터양이다.
• 가속도: 속도 변화의 방향을 가지는 벡터양이다.
• 힘: 작용 방향이 있는 벡터양이다.

한 원자 안의 두 전자가 같은 양자 상태를 가질 수 없다는 것은 파울리 배타 원리이다.

전자 같은 페르미온은 네 양자수(주·궤도·자기·스핀)가 모두 같은 상태에 둘 이상 들어갈 수 없으며, 이 원리로 전자 배치와 주기율표가 설명된다.

• 하위헌스 원리: 파면의 각 점이 새로운 구면파의 파원이 된다는 파동 전파 원리이다.
• 해밀튼 원리: 실제 운동 경로에서 작용이 정류값을 가진다는 역학의 변분 원리이다.
• 페르마 원리: 빛은 걸리는 시간이 극값이 되는 경로로 진행한다는 광학 원리이다.

줄이 A를 당기는 힘은 60 N이다.

A와 B를 한 덩어리로 보면 전체 질량 50 kg에 150 N이 작용하므로 공통 가속도는 $a=\dfrac{150}{50}=3\,\mathrm{m/s^2}$이다.

A에 작용하는 수평력은 줄의 장력뿐이므로 $T=m_Aa=20\times 3=60\,\mathrm{N}$이다.

• 40 N: 가속도가 $2\,\mathrm{m/s^2}$일 때의 값으로, 실제 가속도와 맞지 않는다.
• 80 N: 가속도가 $4\,\mathrm{m/s^2}$일 때의 값으로, 역시 맞지 않는다.
• 100 N: 가속도를 B의 질량만으로 구한 $\dfrac{150}{30}=5\,\mathrm{m/s^2}$를 쓴 값으로, 함께 끌려가는 A의 질량을 빠뜨렸다.

전기력의 크기는 $\dfrac{1}{32}F$가 된다.

처음 힘은 $F=k\dfrac{4q\times 2q}{r^2}=\dfrac{8kq^2}{r^2}$이다. 동일한 금속구를 접촉시키면 전체 전하 $+2q$가 똑같이 나뉘어 각각 $+q$가 된다.

거리를 $2r$로 하면 $F'=k\dfrac{q\times q}{(2r)^2}=\dfrac{kq^2}{4r^2}=\dfrac{1}{32}F$이며, 같은 부호라 척력으로 바뀐다.

• $\dfrac{1}{2}F$: 전하곱이 $\dfrac{1}{8}$배로 줄고 거리까지 2배가 되는데도 힘이 절반만 줄어든 값으로, 지나치게 크다.
• $\dfrac{1}{8}F$: 전하곱 감소($\dfrac{1}{8}$배)만 반영하고 거리 2배 효과를 빠뜨렸다.
• $\dfrac{1}{16}F$: 거리 효과를 $\dfrac{1}{4}$배로 반영했지만 전하곱을 $\dfrac{1}{4}$배로 잘못 잡은 값이다.

빛이 속력이 느린 매질에서 빠른 매질로 진행할 때 입사각이 임계각보다 크면 전반사가 일어날 수 있다.

느린 매질은 굴절률이 큰 매질이므로 굴절각이 입사각보다 커지고, 굴절각이 90°에 이르는 임계각을 넘으면 빛이 모두 반사된다.

• 빛이 매질이 있어야만 전달된다는 설명: 빛은 전자기파로 진공에서도 진행한다.
• 빛과 비슷한 파동으로 지진파 P파를 든 설명: 빛은 횡파이고 P파는 종파이므로, 빛과 같은 횡파는 S파이다.
• 빛은 종파, 소리는 횡파라는 설명: 반대로 빛이 횡파이고 소리(공기 중)가 종파이다.

위쪽을 (+)로 두고 변위 −90 m에 대한 등가속도 식을 풀면 바닥까지 6초가 걸린다.

변위 식: $\Delta h=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2$

대입: $-90=15t-5t^2$
$t^2-3t-18=0$
$(t-6)(t+3)=0$

시간은 양수이므로 $t=6\,\mathrm{s}$이며, 처음 던진 방향과 낙하 변위의 부호를 반대로 두어야 한다.

• 4초를 대입하면 변위가 $15\times4-5\times4^2=-20\,\mathrm{m}$로 아직 바닥에 닿지 않았다.
• 8초를 대입하면 $-200\,\mathrm{m}$, 10초를 대입하면 $-350\,\mathrm{m}$로 바닥보다 훨씬 아래가 되어 성립하지 않는다.

공명 진동수는 $\sqrt{2}f_0$이다.

직렬 RLC 회로에서 $V^2=V_R^2+(V_L-V_C)^2$이므로 $150^2=120^2+(90-V_C)^2$, $|90-V_C|=90$에서 $V_C=180\,\mathrm{V}$이다.

전류 최댓값은 $I=\dfrac{120}{40}=3\,\mathrm{A}$이므로 $X_L=30\,\Omega$, $X_C=60\,\Omega$이다.

$\dfrac{X_L}{X_C}=(2\pi f_0)^2LC=\left(\dfrac{f_0}{f}\right)^2=\dfrac{1}{2}$이므로 $f=\sqrt{2}f_0$로, 현재 진동수는 공명보다 낮다.

• $\dfrac{1}{2}f_0$: 리액턴스 비를 진동수 비로 바로 쓴 값이다.
• $\dfrac{1}{\sqrt{2}}f_0$: 비의 역수를 취해 방향이 뒤바뀌었다.
• $f_0$: 코일과 축전기 전압이 달라 현재 상태는 공명이 아니다.

반도체는 온도가 올라갈수록 전기전도도가 커지므로, 작아진다는 설명이 옳지 않다.

온도가 오르면 원자가 띠의 전자가 띠 간격을 넘어 전도 띠로 올라가 전자와 양공(전하 운반자)이 늘어나기 때문이다. 온도가 오르면 전도도가 작아지는 것은 금속의 성질이다.

• 원자가 전자 3개인 원소를 도핑하면 양공이 생겨 p형 반도체가 되므로 옳다.
• p형과 n형을 접합한 소자를 p-n 접합 다이오드라고 하므로 옳다.
• 순수 반도체에 불순물을 소량 첨가하는 것을 도핑이라고 하므로 옳다.

괄호에는 차례로 감소, 증가, 증가가 들어간다.

전구 저항을 $R$이라 하면 스위치를 열었을 때 회로는 A·B 병렬($R/2$)과 D($R$)의 직렬로 합성저항 $3R/2$이다.

스위치를 닫으면 C와 D가 병렬이 되어 $R/2$로 줄고, 전체 저항이 $R$로 감소해 전체 전류가 증가한다.

• C·D 합성저항: 병렬로 연결하면 어느 한 저항보다 작아지므로 감소한다.
• A에 걸린 전압: 전체 전압 중 A·B 병렬부 몫이 $\dfrac{1}{3}$에서 $\dfrac{1}{2}$로 늘어 증가한다.
• B의 소모 전력: B 전압이 A와 같이 증가하므로 $P=V^2/R$에 따라 증가한다.