20년 1회차

피상전력은 500 VA, 역률은 0.8이다.

피상전력: $S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{400^2+300^2}=500\ \mathrm{VA}$
역률: $\cos\theta=\dfrac{P}{S}=\dfrac{400}{500}=0.8$

• 피상전력 50 VA는 유효전력 400 W보다 작아 성립할 수 없으며, 피상전력은 항상 유효전력 이상이다.
• 0.6은 무효전력을 피상전력으로 나눈 무효율 $\sin\theta$이지 역률이 아니다.

(가)는 제베크 효과, (나)는 패러데이의 (전기분해) 법칙이다.

서로 다른 두 금속의 접합점에 온도차를 주면 열기전력이 생겨 전류가 흐르는 현상이 제베크 효과(열전대의 원리)이고, 석출량이 통과 전기량과 화학 당량에 비례한다는 것이 패러데이의 전기분해 법칙이다.

• 펠티에 효과는 반대로 두 금속 접합부에 전류를 흘릴 때 열의 흡수·발생이 일어나는 현상이라 (가)와 맞지 않는다.
• 렌츠의 법칙은 유도 기전력이 자속 변화를 방해하는 방향으로 생긴다는 전자유도 법칙으로, 전기분해 석출량과 관계없다.

역률 1이 되려면 회로 전체의 리액턴스 합이 0이어야 하므로 부하 임피던스는 $3-j5\,\mathrm{\Omega}$가 적절하다.

발전기 내부와 선로 임피던스의 합은 $Z_g+Z_l=(1.3+1.7)+j(2+3)=3+j5\,\mathrm{\Omega}$이다.
허수부 $+j5$를 상쇄하려면 부하에 $-j5$가 있어야 하고, 이 켤레 복소수 조건은 최대 전력 전달 조건과도 같다.

• 순저항 3: 유도성 리액턴스가 남아 역률이 1이 되지 않는다.
• 크기만 나타낸 값(제곱합의 제곱근): 복소 임피던스가 아니어서 리액턴스를 상쇄하지 못한다.
• $3+j5$: 리액턴스가 오히려 두 배로 커져 역률이 더 나빠진다.

2전력계법에서 3상 전력은 두 전력계 지시값의 합이므로 측정 전력은 400 kW이다.

$P=W_1+W_2$
$W_2=P-W_1=800-400=400\,\mathrm{kW}$

두 지시값이 같다는 것은 $Q=\sqrt{3}(W_1-W_2)=0$, 즉 역률 1인 평형 부하라는 뜻이다.

• 100 kW: 합이 500 kW로 3상 전력과 맞지 않는다.
• 200 kW: 합이 600 kW로 3상 전력과 맞지 않는다.
• 300 kW: 합이 700 kW로 3상 전력과 맞지 않는다.

두 파형의 각주파수가 모두 $120\pi$이므로 주파수는 둘 다 60 Hz이다.

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{120\pi}{2\pi}=60\ \mathrm{Hz}$
또 $e(t)=100\cos(120\pi t+30^\circ)=100\sin(120\pi t+120^\circ)$로 바꾸면 $i$와 같은 sin 기준이 된다.

• 위상차는 $120^\circ-60^\circ=60^\circ$이므로 30도가 아니다.
• 실횻값은 최댓값을 $\sqrt{2}$로 나눈 $\dfrac{100}{\sqrt{2}}\ \mathrm{V}$, $20\ \mathrm{A}$이므로 최댓값을 그대로 쓴 설명은 틀리다.
• 평균값은 $\dfrac{2V_m}{\pi}$이므로 $\dfrac{200}{\pi}\ \mathrm{V}$, $\dfrac{40\sqrt{2}}{\pi}\ \mathrm{A}$이며 계수 2가 빠진 설명은 틀리다.

Δ결선은 선간전압이 곧 상전압이므로 크기와 위상이 같다.

Δ결선은 각 상 부하가 두 선 사이에 바로 연결되어 $V_l=V_p$이고, 선전류가 상전류의 $\sqrt{3}$배가 된다. Y결선은 반대로 $I_l=I_p$, $V_l=\sqrt{3}V_p$이다.

• Δ결선은 중성점이 없어 3상 3선식으로 쓰며, 3상 4선식은 중성선을 끌어낼 수 있는 Y결선 방식이다.
• Y결선은 선전류와 상전류가 같고, $\sqrt{3}$배가 되는 것은 선간전압이다.
• Y결선은 세 상의 한 끝을 모은 중성점이 있는 결선이다.

제5고조파 전류의 실횻값은 2 A이다.

고조파 차수 $n$에서 유도 리액턴스는 $nX_L$로 커진다: $X_{L5}=5\times12=60\ \mathrm{\Omega}$

$Z_5=\sqrt{R^2+X_{L5}^2}=\sqrt{80^2+60^2}=100\ \mathrm{\Omega}$
$I_5=\dfrac{V_5}{Z_5}=\dfrac{200}{100}=2\ \mathrm{A}$ ($V_5$는 실횻값 200 V)

• 리액턴스를 기본파 값 12 Ω 그대로 쓰면 임피던스가 작게 나와 전류가 과대 계산된다.
• 저항 $R$은 주파수와 무관하므로 리액턴스만 5배 하는 것이 핵심이다.

마디 해석으로 구하면 $V_a=7\,\mathrm{V}$, $V_b=4\,\mathrm{V}$이므로 $V_{ab}=3\,\mathrm{V}$이다.

아래 도선을 기준(0 V)으로 잡는다. 4 V·5 V 전원은 모두 위쪽이 (+)이다.
마디 a: $2=\dfrac{V_a-4}{3}+\dfrac{V_a-V_b}{3}$ → $2V_a-V_b=10$

마디 b: $\dfrac{V_a-V_b}{3}=\dfrac{V_b-5}{3}+\dfrac{V_b}{3}$ → $V_a=3V_b-5$
연립하면 $5V_b=20$, $V_b=4$, $V_a=7$이고 $V_{ab}=7-4=3\,\mathrm{V}$이다.

• 1 V·2 V: 두 마디 방정식을 연립한 결과 $V_a-V_b=3$과 맞지 않는다.
• 4 V: b마디 전위 자체를 답으로 고른 값이다.

부하는 저항 5 Ω, 리액턴스 8 Ω이므로 인덕턴스는 $\dfrac{1}{15\pi}\,\mathrm{H}$이다.

스위치를 a에 두면 저항계가 부하 양단에만 연결되어 직류로 부하 저항 $R=5\,\mathrm{\Omega}$을 잰다.
스위치를 b에 두면 전원 실횻값 100 V, 전류 10 A이므로 $|Z|=\dfrac{100}{10}=10\,\mathrm{\Omega}$이다.

전체 저항은 $1+5=6\,\mathrm{\Omega}$이므로 $X_L=\sqrt{10^2-6^2}=8\,\mathrm{\Omega}$이다.
$\omega=120\pi$이므로 $L=\dfrac{8}{120\pi}=\dfrac{1}{15\pi}\,\mathrm{H}$

• $\dfrac{8}{15\pi}$: 리액턴스 8을 $\omega$ 대신 $15\pi$로만 나눈 값이다.
• $\sqrt{3}$이 들어간 값들: 전체 저항 6 Ω과 임피던스 10 Ω에서 나오는 리액턴스 8 Ω과 맞지 않는다.

물의 온도는 약 14.4도 상승하여 34.4도가 된다.

전력량: $W=Pt=100\times600=60000\ \mathrm{J}$
열량: $H=0.24\times60000=14400\ \mathrm{cal}$

온도 상승: $\Delta T=\dfrac{H}{mc}=\dfrac{14400}{1000\times1}=14.4\ ^\circ\mathrm{C}$
$T=20+14.4=34.4\ ^\circ\mathrm{C}$

3 H 세 개의 병렬은 1 H이고, 양쪽 1 H와 직렬이므로 합성 인덕턴스는 3 H이다.

상호 유도가 없는 인덕터는 저항과 같은 방식으로 합성한다.
병렬: $\dfrac{1}{L_p}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1$ → $L_p=1\,\mathrm{H}$

직렬: $L_{ab}=1+1+1=3\,\mathrm{H}$

• 1 H: 병렬 부분만 계산하고 직렬 인덕터를 빠뜨린 값이다.
• 2 H: 직렬 인덕터 하나만 더한 값이다.
• 4 H: 병렬 합성값을 잘못 잡은 값이다.

자기 인덕턴스 합은 80 mH, 상호 인덕턴스는 10 mH이다.

자속이 같은 방향(가동 결합): $L_1+L_2+2M=100$
자속이 반대 방향(차동 결합): $L_1+L_2-2M=60$

두 식을 더하면 $2(L_1+L_2)=160$이므로 $L_1+L_2=80\ \mathrm{mH}$
두 식을 빼면 $4M=40$이므로 $M=10\ \mathrm{mH}$

• 160은 두 식을 더한 값으로, 2로 나누지 않은 것이다.
• 20은 $2M$에 해당하는 값으로, 상호 인덕턴스 자체는 그 절반이다.

직렬 합성 정전 용량은 2.4 μF, 4 μF 양단 전압은 12 V이다.

$C_{ab}=\dfrac{4\times 6}{4+6}=2.4\,\mathrm{\mu F}$
직렬이므로 전하는 같다: $Q=C_{ab}V=2.4\times 20=48\,\mathrm{\mu C}$

$V_1=\dfrac{Q}{4}=\dfrac{48}{4}=12\,\mathrm{V}$ (6 μF 쪽은 8 V)

• 2.4 μF와 8 V: 8 V는 6 μF 커패시터 양단 전압이다.
• 10 μF가 들어간 조합: 직렬을 병렬처럼 더한 값이다.

두 전하가 A에 만드는 전계는 10 V/m와 9 V/m로 서로 수직이므로 합성 세기는 $\sqrt{181}\,\mathrm{V/m}$이다.

세 변이 3·4·5 m이므로 A에서 직각이다.
$E_+=9\times10^9\times\dfrac{10\times10^{-9}}{3^2}=10\,\mathrm{V/m}$
$E_-=9\times10^9\times\dfrac{16\times10^{-9}}{4^2}=9\,\mathrm{V/m}$

두 전계 방향이 각각 두 변 방향이라 서로 수직이므로 $E=\sqrt{10^2+9^2}=\sqrt{181}\,\mathrm{V/m}$

• 1: 두 전계 크기를 빼기만 한 값이다.
• $\sqrt{19}$: 제곱의 차를 잘못 쓴 값이다.
• $\sqrt{361}$: 두 크기를 같은 방향으로 더한 값(19)이다.

병렬 RLC의 합성 임피던스가 저항값 1 Ω과 같으므로 병렬 공진 상태이며 C = 10 μF이다.

공진이면 L과 C의 서셉턴스가 상쇄되어 R만 남는다.
$\omega=2\pi f=1000\,\mathrm{rad/s}$

$C=\dfrac{1}{\omega^2L}=\dfrac{1}{1000^2\times0.1}=10^{-5}\,\mathrm{F}=10\,\mathrm{\mu F}$

• 1 μF: L을 1 H로 잘못 환산한 값이다.
• 2 μF·5 μF: 공진 조건을 만족하지 않아 합성 임피던스가 1 Ω이 되지 않는다.

8 Ω에 10 A가 흘러 중간 마디 전압이 80 V이므로 E = 160 V, R = 7 Ω이다.

KCL: 4 Ω에 20 A, 오른쪽 가지에 10 A이므로 8 Ω에는 $20-10=10\,\mathrm{A}$가 흐른다.
$V_m=8\times10=80\,\mathrm{V}$

오른쪽 가지: $(R+1)\times10=80$ → $R=7\,\mathrm{\Omega}$
전원: $E=4\times20+80=160\,\mathrm{V}$

• E = 120 V인 조합: 8 Ω 전류를 5 A 등으로 잘못 나눈 값이다.
• R = 8 Ω인 조합: 직렬 1 Ω을 빼먹은 값이다.

두 코일은 감긴 방향이 서로 반대이므로 같은 방향으로 전류를 넣으면 자속 방향도 반대가 된다. 따라서 두 자속 방향이 같다는 설명이 옳지 않다.

위 코일은 도선이 원통 뒤쪽으로 먼저 감겨 들어가고, 아래 코일은 앞쪽을 가로질러 감겨 들어가 권선 방향이 반대다. 오른나사 법칙을 적용하면 $i_1$의 자속은 아래쪽(A 방향), $i_2$의 자속은 위쪽이다.

• 전류 방향과 자속 방향의 관계: 앙페르의 오른나사 법칙으로 정해지므로 옳다.
• $i_1$에 의한 자속이 A 방향: 위 코일의 권선 방향과 전류로 보아 옳다.
• 단자 전압이 쇄교 자속의 시간 변화율에 비례: 패러데이 법칙 $e=N\dfrac{d\phi}{dt}$로 옳다.

실횻값은 $5\sqrt{5}\ \mathrm{V}$, 왜형률은 50 %이다.

각 성분의 실횻값은 기본파 10 V, 제3고조파 4 V, 제5고조파 3 V이다.
$E=\sqrt{10^2+4^2+3^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\ \mathrm{V}$

왜형률은 고조파 실횻값을 기본파 실횻값으로 나눈 값이다.
$D=\dfrac{\sqrt{4^2+3^2}}{10}\times100=\dfrac{5}{10}\times100=50\ \%$

• 왜형률이 100 %이려면 고조파 합성 실횻값이 기본파와 같은 10 V여야 하지만 실제는 5 V이다.
• 실횻값 $2\sqrt{5}\ \mathrm{V}$는 기본파 실횻값 10 V보다 작아 성립할 수 없다.

전류를 2배로 하면 같은 열량을 얻는 시간은 1/4로 줄어 15초이다.

줄의 법칙 $H=I^2Rt$에서 저항을 먼저 구한다.
$R=\dfrac{H}{I^2t}=\dfrac{6000}{1^2\times60}=100\ \mathrm{\Omega}$

같은 열량에서 $t=\dfrac{H}{I^2R}=\dfrac{6000}{2^2\times100}=15\ \mathrm{s}$
발열량은 전류의 제곱에 비례하므로 30초(전류에 반비례로 본 값)가 아니다.

망 해석으로 구하면 $i_1=6\,\mathrm{A}$, $i_2=3\,\mathrm{A}$, $i_3=3\,\mathrm{A}$이다.

세 망 방정식(모든 저항 1 Ω, 시계 방향):
$2i_1-i_2-i_3=6$
$-i_1+3i_2-i_3=0$
$-i_1-i_2+3i_3=0$

회로가 대칭이므로 $i_2=i_3$, 둘째 식에서 $i_1=2i_2$이다.
첫째 식: $4i_2-2i_2=6$ → $i_2=i_3=3\,\mathrm{A}$, $i_1=6\,\mathrm{A}$

• $i_2$ = 2 A인 조합: 회로 대칭으로 $i_2$와 $i_3$가 같아야 하므로 맞지 않는다.
• $i_1$ = 9 A인 조합: 첫째 망 방정식 $2i_1-i_2-i_3=6$을 만족하지 않는다.