20년 1회차

관측값에서 최확값을 뺀 값은 잔차이며, 최소제곱법으로 잔차 제곱합을 최소로 하여 관측값을 조정한다.

참값은 알 수 없으므로 실제 조정에는 참오차 대신 최확값 기준의 잔차를 쓴다.

• 참값: 오차가 전혀 없는 이론상의 값으로, 실제로는 구할 수 없다.
• 참오차: 관측값과 참값의 차로, 참값을 모르므로 조정에 직접 쓰지 못한다.
• 편의: 관측값 평균과 참값의 차로, 정오차(계통오차)의 크기를 나타낸다.

경도는 본초 자오선을 기준으로 동경·서경 각각 0°~180°로 나타내므로, 동서로 각각 360°까지 나타낸다는 설명이 옳지 않다.

경위도 좌표계는 경도와 위도로 지구상의 수평 위치를 표시하는 좌표계이다.

• 경도와 위도에 의한 좌표로 수평 위치를 나타낸다는 설명은 옳다.
• 위도는 어떤 지점의 연직선이 적도면과 이루는 각으로, 남위·북위 각각 0°~90°로 표시한다.
• 본초 자오선과 적도의 교점을 원점(경도 0°, 위도 0°)으로 한다는 설명은 옳다.

지표의 표고나 수심을 숫자로 직접 기입하는 방법은 점고법으로, 해도의 수심 표시나 하천·호수의 깊이 표시에 주로 쓴다.

지형 표시법은 그림으로 나타내는 자연적 도법(우모법·음영법)과 숫자·선으로 나타내는 부호적 도법(점고법·등고선법·채색법)으로 나뉜다.

• 우모법: 짧은 선(새털 모양)의 굵기·길이로 경사를 표현한다.
• 음영법: 일정 방향에서 빛을 비춘다고 가정해 생기는 그림자로 기복을 표현한다.
• 등고선법: 같은 높이의 점을 연결한 곡선으로 지형을 표현하며, 일반 지형도에 가장 널리 쓴다.

하천 횡단 측량은 하천 중심선을 따라 설치한 거리표를 기준으로 그 위치에서 직각 방향의 횡단면을 측량한다.

거리표는 하천 양안에 일정 간격으로 설치하므로 횡단면도의 위치와 방향을 정하는 기준이 된다.

• 도근점: 세부 측량을 위해 삼각점 등을 기준으로 추가 설치한 기준점이다.
• 삼각점: 삼각 측량으로 수평 위치를 정한 국가 기준점이다.
• 수위표: 하천의 수위를 관측하기 위해 설치하는 표척이다.

노선 기점에서 곡선 종점(E.C)까지의 거리는 319.02 m이다.

곡선 시점 B.C = 교점 거리 − 접선 길이
$274.50 - 49.71 = 224.79\,\mathrm{m}$
곡선 종점 E.C = B.C + 곡선 길이
$224.79 + 94.23 = 319.02\,\mathrm{m}$

곡선 종점은 교점에 접선 길이를 더하는 것이 아니라 곡선 시점에 곡선 길이를 더해 구하며, 중앙 종거는 이 계산에 쓰이지 않는다.

• 309.89 m: 올바른 결과에서 중앙 종거를 뺀 값이다.
• 328.15 m: 올바른 결과에 중앙 종거를 더한 값이다.
• 427.57 m: 교점 거리에 접선 길이·곡선 길이·중앙 종거를 모두 더한 값으로, 접선 길이는 빼야 한다.

헤론의 공식으로 구한 삼각형의 면적은 $4\sqrt{6}\ \mathrm{m^2}$이다.

세 변이 $a=4,\ b=5,\ c=7$일 때 반둘레 $s=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+5+7}{2}=8$이다.
$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{8\times4\times3\times1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$

• $4\sqrt{5}=\sqrt{80}$: 근호 안이 96이 아니므로 맞지 않는다.
• $5\sqrt{5}=\sqrt{125}$: 계산값보다 크다.
• $5\sqrt{6}=\sqrt{150}$: 계산값보다 크다.

유효 입체 모델 면적은 $0.96\,\mathrm{km^2}$이다.

사진 한 변의 실제 거리 = 사진 크기 × 축척분모
$ma = 0.2\,\mathrm{m} \times 10000 = 2000\,\mathrm{m}$

유효 모델 면적 $A_0 = (ma)^2(1-p)(1-q)$
$A_0 = (2000 \times 0.4) \times (2000 \times 0.6) = 960000\,\mathrm{m^2} = 0.96\,\mathrm{km^2}$

중복도는 그대로 곱하지 않고 겹치지 않는 비율(1 − 중복도)로 곱해야 한다.

꼭짓점 좌표로 좌표법(신발끈 공식)을 적용하면 단면적은 102 $\mathrm{m^2}$이다.

꼭짓점을 (−4, 0) → (4, 0) → (10, 10) → (−8, 6) 순으로 잡는다.
$2A=\sum(x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i)=0+40+140+24=204$
$A=\dfrac{204}{2}=102\ \mathrm{m^2}$

• 135: 좌표법 계산 결과와 맞지 않는다.
• 204: 배면적(2A)을 2로 나누지 않은 값이다.
• 270: 좌표법 계산 결과와 맞지 않는다.

두 점 A, B 간의 경사 거리는 5 m이다.

수평 거리: $\Delta N = 106.123 - 110.123 = -4\,\mathrm{m}$, $\Delta E = 0$이므로 수평 거리는 4 m
고저차: $\Delta H = 195.239 - 192.239 = 3\,\mathrm{m}$

경사 거리는 수평 거리와 고저차의 빗변으로 구한다.
$L = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,\mathrm{m}$

VRS 방식은 기준국 데이터 수집 → 제어국 보정값 생성 → 사용자 위치 전송 → 해당 위치 보정값 전송 → 정밀 좌표 획득 순서이므로 (다)→(라)→(나)→(마)→(가)가 옳다.

제어국은 여러 상시 기준국 데이터로 망 전체의 오차 보정 모델을 먼저 만들어 두고, 사용자가 개략 위치를 보내면 그 근처에 가상 기준점을 생성해 보정값을 보낸다.

• (나)→(라)→(다)→(마)→(가): 기준국 데이터가 수집되기 전에 보정값을 생성하는 순서라 맞지 않다.
• (나)→(마)→(라)→(다)→(가): 보정값을 생성하기도 전에 전송하는 순서라 맞지 않다.
• (다)→(마)→(라)→(나)→(가): 보정값 생성 전에, 그리고 사용자 위치를 받기 전에 위치별 보정값을 전송하는 순서라 맞지 않다.

1라디안은 원의 반지름과 같은 길이의 호에 대한 중심각이므로, 지름과 같을 때라고 한 설명이 옳지 않다.

원둘레 $2\pi r$는 반지름의 $2\pi$배이므로 한 바퀴는 $2\pi\,\mathrm{rad} = 360^\circ$이다.

• 60진법에서 원주를 360등분한 호에 대한 중심각을 1°로 한다는 설명은 옳다.
• 원 전체를 360°와 $2\pi$ 라디안으로 나타낸다는 설명은 옳다.
• 측량에서 도(degree)와 라디안(radian)을 주로 쓴다는 설명은 옳다.

DA 측선의 방위각은 330°이므로 방위는 N 30° W이다.

A→B→C→D 순으로 시계방향 진행하며 내각을 쓰면 다음 측선 방위각 = 전 측선 방위각 + 180° − 내각이다.
BC = 70° + 180° − 120° = 130°
CD = 130° + 180° − 70° = 240°
DA = 240° + 180° − 90° = 330°

방위각 330°는 제4상한이므로 방위는 N (360° − 330°) W = N 30° W이다. 검산으로 DA에서 AB를 구하면 330° + 180° − 80° = 430° → 70°로 주어진 값과 같다.

• S 20° E: 방위각 160°에 해당하여 계산값과 다르다.
• S 30° E: AD 측선의 방위(역방위)로, 진행 방향을 반대로 잡은 값이다.
• N 20° W: 방위각 340°에 해당하여 계산값과 다르다.

축척 1:25,000의 간곡선 간격(5 m)과 축척 1:5,000의 주곡선 간격(5 m)은 같다.

등고선 간격은 주곡선을 기준으로 계곡선 5배, 간곡선 1/2, 조곡선 1/4이다. 주곡선 간격은 1:5,000에서 5 m, 1:25,000에서 10 m, 1:50,000에서 20 m이다.

• 1:5,000의 계곡선 간격은 25 m로, 20 m가 아니다.
• 1:25,000의 주곡선 간격은 10 m로, 15 m가 아니다.
• 1:50,000의 간곡선 간격은 10 m, 1:25,000의 조곡선 간격은 2.5 m로 서로 다르다.

두 점 A, B 간의 정확한 거리는 200.08 m이다.

실제 거리 = 측정 거리 × (실제 테이프 길이 / 표준 길이)
$L_0 = 200 \times \dfrac{50.02}{50} = 200.08\,\mathrm{m}$

테이프가 표준보다 길면 실제 거리가 측정값보다 크므로 보정량은 (+)가 된다.

• 199.92 m: 보정량의 부호를 반대로 적용한 값이다.
• 200.80 m: 보정량을 10배로 잘못 계산한 값이다.
• 199.29 m: 보정 방향과 크기가 모두 맞지 않는 값이다.

경사 보정량은 $-\dfrac{h^2}{2L}$(h: 고저차, L: 경사 거리)로 고저차를 제곱해야 하므로, 고저차를 그대로 쓴 식이 옳지 않다.

수평 거리 $D = \sqrt{L^2 - h^2} \approx L - \dfrac{h^2}{2L}$이므로 경사 보정량은 항상 (−)이다.

• 표준 온도보다 낮으면 테이프가 수축해 측정값이 길게 나오므로 (−) 보정이 생긴다는 설명은 옳다.
• 경사 거리를 수평 거리로 고치면 항상 짧아지므로 보정량이 (−)라는 설명은 옳다.
• 테이프 상수를 사용 테이프 길이와 표준 테이프 길이의 차이로 정의한 설명은 옳다.

측점 B의 좌표는 (117, 60)이다.

X(위거 방향): $X_B = 100 + 20\cos 30^\circ = 100 + 10\sqrt{3} = 117$
Y(경거 방향): $Y_B = 50 + 20\sin 30^\circ = 50 + 10 = 60$

측량 좌표는 X가 북쪽, Y가 동쪽이므로 위거에 cos, 경거에 sin을 곱한다.

• (60, 117): X와 Y를 뒤바꾼 값이다.
• (110, 67): 위거에 sin, 경거에 cos를 잘못 적용한 값이다.
• (67, 110): sin·cos를 바꿔 적용한 뒤 X와 Y까지 뒤바꾼 값이다.

건물의 시차차는 약 0.005 m이다.

높이와 시차차의 관계 $h = \dfrac{H}{b_0 + \Delta p}\,\Delta p$에서
$\Delta p = \dfrac{h\,b_0}{H - h} = \dfrac{200 \times 0.1}{4200 - 200} = 0.005\,\mathrm{m}$

근사식 $\Delta p = \dfrac{h}{H}\,b_0 = \dfrac{200}{4200} \times 0.1 \approx 0.0048\,\mathrm{m}$로 계산해도 약 0.005 m가 된다.

노선 거리에 반비례하는 경중률로 가중평균하면 점 P의 표고는 45.52 m이다.

그림에서 A→P 1 km, B→P 4 km, C→P 2 km이므로 경중률은 $W_A:W_B:W_C=\dfrac{1}{1}:\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{2}=4:1:2$이다.
$H_P=45.50+\dfrac{4\times0+1\times0.06+2\times0.04}{4+1+2}=45.50+\dfrac{0.14}{7}=45.52\ \mathrm{m}$

• 45.53: 세 값의 단순 산술평균으로, 거리에 따른 경중률을 반영하지 않은 값이다.
• 45.54: C 노선 성과만 취한 값이다.
• 45.55: 경중률을 노선 거리에 반비례가 아니라 비례(1:4:2)하게 잡은 값(약 45.546)이다.

(가)~(라)는 각각 99.460, 99.840, 99.480, 100.740이다.

기계고 = 지반고 + 후시, 지반고 = 기계고 − 전시
No.0 기계고: $100.000 + 1.980 = 101.980$
(가) $101.980 - 2.520 = 99.460$
(나) $101.980 - 2.140 = 99.840$

No.2 기계고: $99.840 + 1.850 = 101.690$
(다) $101.690 - 2.210 = 99.480$
(라) $101.690 - 0.950 = 100.740$

검산: Σ후시 − Σ이기점 전시 = $3.830 - 3.090 = 0.740$이므로 No.4 지반고 100.740과 맞는다.

결합 트래버스의 측각 오차는 +10″이다.

A의 기준 방위각에 관측각 총합을 더하고 180°의 배수를 빼서 B의 방위각을 계산한 뒤, 기지 방위각과 비교한다(관측각 수 n=6이며, 이 도형에서는 180°×(n−1)을 뺀다).
$W_A+\sum a-180^\circ\times5=40^\circ10'05''+980^\circ00'30''-900^\circ=120^\circ10'35''$
계산값에서 기지값을 빼면 $120^\circ10'35''-120^\circ10'25''=+10''$이다.

• −10″: 기지값에서 계산값을 빼 부호를 거꾸로 잡은 값이다.
• −20″: 크기와 부호가 모두 계산과 맞지 않는다.
• +20″: 계산 차이의 두 배로, 크기가 맞지 않는다.