24년 1회차

두 전원 가지가 a-b에 병렬로 연결되어 있으므로 밀만의 정리로 구하면 $V_{ab}=10\,\mathrm{V}$이다.

밀만의 정리: $V_{ab}=\dfrac{\dfrac{E_1}{R_1}+\dfrac{E_2}{R_2}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}}$

대입: $V_{ab}=\dfrac{\dfrac{9}{3}+\dfrac{12}{6}}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}=\dfrac{5}{0.5}=10\,\mathrm{V}$
검산: 순환전류 $\dfrac{12-9}{3+6}=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{A}$, $9+3\times\dfrac{1}{3}=10\,\mathrm{V}$로 같은 값이다.

• 9 V: 3 Ω 저항에 흐르는 순환전류의 전압강하를 무시하고 9 V 전원만 본 값이다.
• 12 V: 6 Ω 저항의 전압강하를 무시하고 12 V 전원만 본 값이다.
• 21 V: 병렬로 연결된 두 전원을 직렬처럼 더한 값이다.

전지의 기전력은 $80\,\mathrm{V}$, 내부저항은 $5\,\mathrm{\Omega}$이다.

전지를 기전력 $E$와 내부저항 $r$의 직렬로 보고 두 조건에서 $E=I(R+r)$를 세운다.

$E=8(5+r)=4(15+r)$
$40+8r=60+4r\Rightarrow r=5\,\mathrm{\Omega}$
$E=8\times(5+5)=80\,\mathrm{V}$

• 기전력 $40\,\mathrm{V}$ 조합은 부하 단자전압 $8\times5=40\,\mathrm{V}$를 기전력으로 착각한 값이다.
• 내부저항 $10\,\mathrm{\Omega}$ 조합은 대입하면 $\dfrac{80}{5+10}\neq8\,\mathrm{A}$처럼 첫 조건의 전류가 맞지 않는다.

발생한 열량은 $7200\,\mathrm{J}$이다.

줄의 법칙 $H=I^2Rt$에서 시간은 초 단위로 바꿔 3분 = 180초를 대입한다.

$H=2^2\times10\times180=7200\,\mathrm{J}$

• 시간을 분 그대로 넣으면 $2^2\times10\times3=120\,\mathrm{J}$로 잘못 나온다.
• 전류를 제곱하지 않으면 $2\times10\times180=3600\,\mathrm{J}$로 절반이 된다.

브리지가 평형이므로 2 Ω에는 전류가 흐르지 않아 $P=0\,\mathrm{W}$이고, 3 Ω에 흐르는 전류는 $I=4\,\mathrm{A}$이다.

평형 조건: 마주 보는 변의 곱 $3\times8=6\times4=24$로 같으므로 위·아래 꼭짓점의 전위가 같다.

2 Ω을 떼어 내면 3 Ω과 6 Ω이 직렬로 36 V에 걸린다.
$I=\dfrac{36}{3+6}=4\,\mathrm{A}$

• 6 A와 8 W: 평형 브리지의 가운데 저항에 전류가 흐른다고 본 조합이라 성립하지 않는다.
• 8 A와 0 W: 소비전력은 맞지만 3 Ω 가지 전류를 두 배로 잡은 값이다.
• 10 A와 8 W: 전류와 전력이 모두 평형 조건과 맞지 않는다.

소비한 총전력량은 $792\,\mathrm{Wh}$이다.

두 기기는 같은 전압에 병렬 접속되므로 전력량 = 전압 × 전류 × 시간으로 각각 구해 더한다.

• 에어컨: $220\times0.2\times12=528\,\mathrm{Wh}$
• 선풍기: $220\times0.1\times12=264\,\mathrm{Wh}$
• 합계: $528+264=792\,\mathrm{Wh}$

평형 부하를 Y결선에서 △결선으로 바꾸면 임피던스가 3배가 되므로 $Z_{ab}=45\,\mathrm{\Omega}$이다.

Y→△ 변환: $Z_{ab}=\dfrac{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}{Z_c}$이고, 평형이면 $Z_\Delta=3Z_Y$이다.

대입: $Z_{ab}=3\times15=45\,\mathrm{\Omega}$

• 5 Ω: △→Y 변환(3분의 1)을 거꾸로 적용한 값이다.
• 15 Ω: 결선을 바꿔도 임피던스가 그대로라고 본 값이다.
• 25 Ω: 평형 변환 계수 3과 맞지 않는 값이다.

3상 전체 소비전력은 $3.6\,\mathrm{kW}$이다.

△결선은 상전압 = 선간전압이므로 한 상에 $100\,\mathrm{V}$가 걸린다.

$|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{\Omega}$
$I_p=\dfrac{100}{5}=20\,\mathrm{A}$
$P=3I_p^2R=3\times20^2\times3=3600\,\mathrm{W}$

• 한 상의 전력 $20^2\times3=1200\,\mathrm{W}$만 구하면 $1.2\,\mathrm{kW}$가 된다.
• Y결선으로 착각해 상전압을 $\dfrac{100}{\sqrt{3}}\,\mathrm{V}$로 잡아도 $1.2\,\mathrm{kW}$로 작아진다.

제베크 효과는 두 종류 금속을 고리로 접속하고 두 접속점에 온도차를 주면 열기전력이 생겨 전류가 흐르는 현상이다.

열에너지가 전기에너지로 바뀌는 현상으로 열전대 온도계의 원리다.

• 한 금속의 양 끝 온도차가 있는 곳에 전류가 흐를 때 열이 흡수·발생하는 현상은 톰슨 효과다.
• 석출량이 통과 전기량에 비례하는 현상은 패러데이의 전기분해 법칙이다.
• 두 금속 접합부에 전류를 흘릴 때 열이 발생·흡수되는 현상은 펠티에 효과로, 제베크 효과의 역현상이다.

오른쪽 저항망을 하나의 등가저항으로 묶어 루프 해석하면 $V_O=2\,\mathrm{V}$이다.

$V_O$가 걸린 4 kΩ의 아래 마디는 바로 하단 도선과 이어지므로, 위 마디와 하단 도선 사이에 4 kΩ, 오른쪽 끝 8 kΩ, 그리고 4 kΩ과 $(8\parallel8)$ kΩ의 직렬이 모두 병렬이다.
$R_{eq}=4\parallel8\parallel(4+4)=4\parallel4=2\,\mathrm{k\Omega}$

왼쪽 루프는 12 V와 6 V가 서로 반대 방향이라 순기전력 $12-6=6\,\mathrm{V}$이다.
$i=\dfrac{6}{4+2}=1\,\mathrm{mA}$, $V_O=1\,\mathrm{mA}\times2\,\mathrm{k\Omega}=2\,\mathrm{V}$

• 1 V: 등가저항을 실제보다 작게 잡아 분압을 줄인 값이다.
• 3 V: 순기전력 6 V가 왼쪽 4 kΩ과 부하에 반씩 나뉜다고 본 값으로, 등가저항 2 kΩ과 맞지 않는다.
• 4 V: 왼쪽 4 kΩ의 전압강하를 2 V만 뺀 값으로 루프 방정식을 만족하지 않는다.

R-C 직렬회로에서 평균전력은 저항에서만 소비되므로 $P=1000\,\mathrm{W}$이다.

실횻값 전압: $V=\dfrac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=100\,\mathrm{V}$
임피던스: $|Z|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\,\mathrm{\Omega}$(위상차 45°와 일치)

전류: $I=\dfrac{100}{5\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\,\mathrm{A}$
유효전력: $P=I^2R=200\times5=1000\,\mathrm{W}$(또는 $VI\cos45^\circ=100\times10\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1000\,\mathrm{W}$)

• 707 W: 역률 0.707을 한 번 더 곱한 값이다.
• 1,414 W: 피상전력 $VI$를 평균전력으로 본 값이다.
• 2,000 W: 최댓값 전압을 실횻값처럼 써서 전력을 두 배로 계산한 값이다.

옳지 않은 설명은 공진일 때 저항에만 전류가 흐른다는 것이다.

병렬 공진에서도 L과 C에는 전류가 흐르지만, 두 전류는 크기가 같고 위상이 반대라 서로 상쇄되어 전원 전류가 저항 전류와 같아질 뿐이다.

• L·C 부분의 합성 어드미턴스가 0이 되므로 합성 임피던스는 $R$이다 — 옳다.
• 공진 주파수 $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ — 옳다.
• 공진 조건은 $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$, 즉 두 리액턴스의 크기가 같다 — 옳다.

코일의 저항은 $45\,\mathrm{\Omega}$이다.

직류는 주파수가 0이라 유도리액턴스가 0이므로 인덕턴스는 무관하고 저항만 전력을 소비한다.

$P=\dfrac{V^2}{R}\Rightarrow R=\dfrac{150^2}{500}=\dfrac{22500}{500}=45\,\mathrm{\Omega}$

• $10\,\mathrm{mH}$는 교류일 때만 리액턴스로 작용하므로 직류 계산에 넣지 않는다.
• $50\,\mathrm{\Omega}$을 대입하면 $\dfrac{22500}{50}=450\,\mathrm{W}$로 조건과 맞지 않는다.

자속 밀도는 $6\,\mathrm{Wb/m^2}$이다.

자기장 속 전류 도체가 받는 힘은 $F=BIl\sin\theta$이다.

$B=\dfrac{F}{Il\sin\theta}=\dfrac{30}{5\times2\times\sin30^\circ}=\dfrac{30}{5}=6\,\mathrm{Wb/m^2}$

• $\sin$ 대신 $\cos30^\circ$를 쓰면 $2\sqrt{3}$이 나오는데, 힘은 도체와 자기장이 이루는 각의 사인에 비례한다.
• 각을 무시하고 직각으로 보면 $\dfrac{30}{10}=3\,\mathrm{Wb/m^2}$가 되어 맞지 않는다.

(a)는 가동 결합, (b)는 차동 결합이므로 $L_b=\dfrac{1}{9}L_a$이다.

(a)에서 $L_1+L_2$보다 합성값이 크므로 가동 결합이다.
$L_a=L_1+L_2+2M\Rightarrow180=80+20+2M\Rightarrow M=40\,\mathrm{mH}$

(b)는 $L_2$에 전류가 들어가는 단자가 (a)와 반대이므로 차동 결합이다.
$L_b=L_1+L_2-2M=100-80=20\,\mathrm{mH}$, $\dfrac{L_b}{L_a}=\dfrac{20}{180}=\dfrac{1}{9}$

• $\dfrac{2}{3}$배: $L_b=120\,\mathrm{mH}$가 되어야 하는데, 차동 결합 값 $20\,\mathrm{mH}$와 맞지 않는다.
• $\dfrac{3}{2}$배: 차동 결합인데 합성 인덕턴스가 커진다고 본 것이다.
• 9배: 비율을 거꾸로 $\dfrac{L_a}{L_b}$로 계산한 값이다.

테브난 등가저항은 $R_{ab}=(R_4+R_5)+\dfrac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+(R_2+R_3)}$, 등가전압은 $V_{ab}=\dfrac{R_2+R_3}{R_1+R_2+R_3}V_S$이다.

등가저항: 전압원 $V_S$를 단락하면 $R_1$과 $(R_2+R_3)$가 병렬이 되고, 여기에 $R_4$, $R_5$가 직렬로 붙는다.

등가전압: a-b를 개방하면 $R_4$, $R_5$에 전류가 없어 a-b 전압은 $(R_2+R_3)$ 양단 전압과 같다. 따라서 $R_1$과 $(R_2+R_3)$의 분압이다.

• 등가전압이 $\dfrac{R_1+R_2+R_3}{R_2+R_3}V_S$인 조합: 분압비를 뒤집어 전원보다 큰 전압이 나오므로 틀렸다.
• 등가저항이 $(R_2+R_3)+R_1\parallel(R_4+R_5)$인 조합: 직렬·병렬로 묶을 저항을 서로 바꾼 것이다.
• 병렬 항이 $\dfrac{R_1+(R_4+R_5)}{R_1\times(R_4+R_5)}$인 조합: 병렬 합성식의 분자·분모가 뒤집혀 있고 등가전압도 분압식이 아니다.

가운데 마디 전압을 구하면 4 Ω에 흐르는 전류는 $I=1.5\,\mathrm{A}$이다.

하단을 기준(0 V)으로, 위쪽 가운데 마디 전압을 $V$라 하고 KCL을 세운다.
$\dfrac{V-8}{2}+\dfrac{V}{4}+\dfrac{V-7}{2}=0$

양변에 4를 곱하면 $2V-16+V+2V-14=0$, $5V=30$, $V=6\,\mathrm{V}$
$I=\dfrac{6}{4}=1.5\,\mathrm{A}$

• 0.5 A: 두 전원의 차(1 V)만으로 전류를 구한 값이다.
• 2.5 A: 마디 전압이 10 V여야 하는데 두 전원 전압보다 커서 불가능하다.
• 3.5 A: 마디 전압이 14 V여야 하므로 KCL이 성립하지 않는다.

옳은 것은 ㄱ(실횻값)과 ㄹ(위상차)이다.

정현파의 실횻값은 최댓값의 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$배이고, 위상차는 $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$이다.

• ㄱ: $I=\dfrac{I_m}{\sqrt{2}}$ — 옳다.
• ㄴ: $\omega=2\pi f$이므로 $f=\dfrac{\omega}{2\pi}$이다 — 틀리다.
• ㄷ: 정현파 평균값은 $\dfrac{2}{\pi}V_m$이다($\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}$는 실횻값에 곱하는 계수) — 틀리다.
• ㄹ: 전류가 전압보다 $\dfrac{\pi}{4}$ 앞선다 — 옳다.

역률로 임피던스를 구하면 $I=5\,\mathrm{A}$, $X_L=6\,\mathrm{\Omega}$이다.

역률: $\cos\theta=\dfrac{R}{|Z|}\Rightarrow|Z|=\dfrac{8}{0.8}=10\,\mathrm{\Omega}$
리액턴스: $X_L=\sqrt{10^2-8^2}=6\,\mathrm{\Omega}$

전류: $I=\dfrac{V}{|Z|}=\dfrac{50}{10}=5\,\mathrm{A}$

• 1 A와 6 Ω: 리액턴스는 맞지만 전류가 $50/10$과 맞지 않는다.
• 5 A와 8 Ω: 리액턴스가 8 Ω이면 역률이 0.707이 되어 조건과 맞지 않는다.
• 7 A와 8 Ω: 전류·리액턴스 모두 역률 0.8 조건과 맞지 않는다.

(가)는 앙페르의 오른나사 법칙, (나)는 플레밍의 오른손 법칙이다.

(가)는 전류가 만드는 자기장의 방향을, (나)는 발전기 원리인 유도기전력의 방향을 정한다.

• 플레밍의 왼손 법칙은 자기장 속 전류가 받는 힘의 방향(전동기 원리)을 정하는 법칙이라 (나)와 다르다.
• 패러데이의 법칙은 유도기전력의 크기가 자속 변화율에 비례함을 나타내며 손가락 방향 규칙이 아니다.

임피던스 크기와 위상차로 유도리액턴스를 구하면 $L=1.25\,\mathrm{mH}$이다.

임피던스 크기: $|Z|=\dfrac{V_m}{I_m}=\dfrac{10}{2\times10^{-3}}=5\,\mathrm{k\Omega}$
위상차: $\theta=40^\circ-10^\circ=30^\circ$(전류가 뒤짐)

유도리액턴스: $X_L=|Z|\sin30^\circ=2.5\,\mathrm{k\Omega}$
$L=\dfrac{X_L}{\omega}=\dfrac{2500}{2\times10^6}=1.25\times10^{-3}\,\mathrm{H}=1.25\,\mathrm{mH}$

• 0.25 mH: $X_L$가 0.5 kΩ이 되어 위상차 30°와 맞지 않는다.
• 0.5 mH: $X_L$가 1 kΩ이 되어 위상차가 30°보다 작아진다.
• 2.5 mH: $\sin30^\circ$를 곱하지 않고 $|Z|$ 전체를 리액턴스로 본 값이다.