25년 1회차

최확값과 관측값의 차이는 잔차이다.

잔차는 관측값에서 최확값을 뺀 값으로, 참값을 알 수 없으므로 최소제곱법으로 구한 최확값을 기준으로 삼는다.

• 참값은 오차가 전혀 없는 이론상의 값으로, 실제로는 알 수 없다.
• 참오차는 관측값과 참값의 차이이다.
• 표준오차는 잔차를 이용해 산출하는 정밀도 지표로, 관측값과 최확값의 차이 자체가 아니다.

90°를 라디안으로 나타내면 $\dfrac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}$이다.

$180^{\circ} = \pi\,\mathrm{rad}$이므로 $\theta_{\mathrm{rad}} = \theta^{\circ} \times \dfrac{\pi}{180^{\circ}}$
$90^{\circ} \times \dfrac{\pi}{180^{\circ}} = \dfrac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}$

• $\dfrac{\pi}{6}$는 $30^{\circ}$에 해당한다.
• $\dfrac{\pi}{4}$는 $45^{\circ}$에 해당한다.
• $\dfrac{\pi}{3}$는 $60^{\circ}$에 해당한다.

두 관측값의 경중률 비는 4 : 1이다.

경중률은 표준편차의 제곱에 반비례한다: $P \propto \dfrac{1}{\sigma^{2}}$
$P_{\mathrm{A}} : P_{\mathrm{B}} = \dfrac{1}{0.01^{2}} : \dfrac{1}{0.02^{2}} = 10000 : 2500 = 4 : 1$

• 2 : 1은 표준편차를 제곱하지 않고 단순 반비례로 계산한 값이다.
• 1 : 2는 표준편차에 단순 비례시킨 값으로, 정밀한 A의 경중률이 더 커야 한다는 점과 어긋난다.
• 1 : 4는 제곱 관계를 반비례가 아닌 비례로 적용한 값이다.

1 : 25,000 지형도의 주곡선 간격은 10 m이다.

등고선 간격은 축척이 작아질수록 커지며, 계곡선은 주곡선 5개마다 굵게 표시하므로 이 축척의 계곡선 간격은 50 m이다.

• 5 m는 이보다 큰 축척(1 : 5,000, 1 : 10,000) 지형도의 주곡선 간격이다.
• 20 m는 1 : 50,000 지형도의 주곡선 간격이다.
• 100 m는 1 : 50,000 지형도의 계곡선 간격이다.

내업 순서는 방위각 계산 → 방위 계산 → 위거·경거 계산 → 폐합오차 조정이다.

관측각의 오차를 배분한 뒤 조정각으로 각 측선의 방위각을 구하고, 이를 방위로 바꿔 위거·경거를 계산한다. 위거·경거의 합으로 폐합오차를 구해 조정한 뒤 누적하여 좌표를 계산한다.

• 방위를 먼저 두고 방위각을 뒤에 두는 순서는 틀리다. 방위는 방위각으로부터 환산한다.
• 위거·경거 계산을 맨 앞에 두는 순서는 틀리다. 위거·경거는 방위가 정해져야 계산할 수 있다.
• 폐합오차 조정을 맨 앞에 두는 순서는 틀리다. 폐합오차는 위거·경거의 합계로부터 구한다.

수평 위치·높이·시간을 모두 포함한 전체 정밀도 저하율은 GDOP(기하학적 정밀도 저하율)이다.

DOP는 위성 배치의 기하학적 상태가 측위 정확도에 미치는 영향을 나타내며, 위성이 넓게 분산될수록 값이 작고 정확도가 좋다.

• TDOP는 시간(시계 오차)에 대한 정밀도 저하율이다.
• PDOP는 수평·높이의 3차원 위치에 대한 정밀도 저하율로, 시간은 포함하지 않는다.
• HDOP는 수평 위치에 대한 정밀도 저하율이다.

항공사진 측량은 촬영 계획 → 항공사진 촬영 → 수치 도화 → 현지 조사 및 보완 측량 순서로 진행한다.

계획에 따라 촬영한 사진으로 도화를 하고, 도화 결과에서 판독이 어려운 부분은 현지 조사·보완 측량으로 확인해 마무리한다.

• 촬영 계획 다음에 수치 도화를 두는 순서는 사진이 없는 상태에서 도화하게 되므로 틀리다.
• 현지 조사 및 보완 측량 → 촬영 계획 → 촬영 → 도화 순서는 보완할 도화 결과가 없는 상태에서 보완 측량을 하게 되므로 틀리다.
• 현지 조사 및 보완 측량 → 촬영 → 촬영 계획 → 도화 순서는 계획보다 촬영이 앞서므로 틀리다.

(가) 고저각, (나) 천정각, (다) 방위각, (라) 방향각으로 연결된다.

연직각 중 수평선을 기준으로 잰 것은 고저각, 천정을 기준으로 잰 것은 천정각이다.

수평각 중 자오선의 북을 기준으로 우회한 각은 방위각, 좌표의 X축(도북)을 기준으로 우회한 각은 방향각이다.

• 고저각·천정각·방향각·방위각 연결은 자오선 기준과 X축 기준을 뒤바꾼 것이다.
• 천정각·고저각·방위각·방향각 연결은 수평선 기준과 천정 기준을 뒤바꾼 것이다.
• 천정각·고저각·방향각·방위각 연결은 연직각과 수평각의 기준을 모두 뒤바꾼 것이다.

보정량이 항상 음(−)인 것은 경사 보정뿐이다.

경사거리는 수평거리보다 항상 길므로, 수평거리로 환산하는 경사 보정량 $C_{g} = -\dfrac{h^{2}}{2L}$은 언제나 음수이다.

• 테이프의 상수(표준척) 보정은 테이프가 표준보다 길면 양, 짧으면 음이 되어 부호가 일정하지 않다.
• 온도 보정 $C_{t} = \alpha L (t - t_{0})$은 측정 온도가 표준온도보다 높으면 양, 낮으면 음이 되어 부호가 일정하지 않다.

온도 변화로 인한 테이프의 신축은 자연적 원인에 의한 정오차이다.

온도라는 자연 조건 때문에 생기고, 측정 온도와 표준온도의 차이에 따라 크기와 방향이 일정하게 나타나므로 계산으로 보정할 수 있는 계통적 오차이다.

• 기계적 원인·정오차 연결은 원인이 틀리다. 기계적 원인은 눈금 불량 등 기계 자체의 결함에서 생긴다.
• 자연적 원인·우연오차 연결은 종류가 틀리다. 우연오차는 원인이 불분명하고 크기·방향이 불규칙한 오차이다.
• 기계적 원인·우연오차 연결은 원인과 종류가 모두 틀리다.

측선 AB의 방위는 N 45° W이다.

위거 $\Delta X = 200.0 - 100.0 = +100.0\,\mathrm{m}$
경거 $\Delta Y = 100.0 - 200.0 = -100.0\,\mathrm{m}$
$\tan\theta = \dfrac{|\Delta Y|}{|\Delta X|} = \dfrac{100.0}{100.0} = 1 \;\Rightarrow\; \theta = 45^{\circ}$

위거가 양(북쪽), 경거가 음(서쪽)이므로 제4상한에 놓여 N θ W로 표기한다.

• N 45° E는 경거의 부호를 양으로 잘못 본 것이다.
• S 60° E는 위거·경거 부호와 각의 크기가 모두 맞지 않는다.
• S 60° W는 위거의 부호와 각의 크기가 맞지 않는다.

점 조건은 한 측점 주위에서 측량한 모든 각의 합이 360°가 되어야 한다는 조건이다.

삼각망 조정 조건에는 점 조건 외에 각 조건과 변 조건이 있다.

• 삼각형 내각의 합이 180°가 되어야 하는 것은 각 조건이다.
• 임의의 한 변의 길이가 계산 순서와 관계없이 같아야 하는 것은 변 조건이다.
• 한 측점에서 관측한 여러 각의 합은 그 전체를 한 각으로 관측한 값과 같아야 하므로, 180° 차이가 난다는 설명은 틀리다.

완화곡선은 수직곡선이 아니라 수평곡선에 속하므로, 수직곡선으로 분류된다는 설명이 옳지 않다.

완화곡선은 평면상에서 직선부와 원곡선 사이에 넣어 곡률을 점차 변화시킴으로써 원심력의 급변을 막는 곡선이다.

• 렘니스케이트 곡선은 클로소이드, 3차 포물선과 함께 완화곡선의 한 종류이다.
• 직선과 곡선의 변화점에서 원심력이 급격하게 작용하는 것을 막기 위해 설치한다는 설명은 옳다.
• 직선부와 곡선부 사이에 삽입해 차량을 안전하고 원활하게 통과시키는 특수 곡선이라는 설명은 옳다.

굴뚝의 실제 높이는 96 m이다.

기복변위는 물체의 높이와 연직점으로부터의 거리에 비례하고 촬영고도에 반비례한다.
$\Delta r = \dfrac{h}{H}\,r \;\Rightarrow\; h = \dfrac{\Delta r \cdot H}{r}$

$h = \dfrac{3.2\,\mathrm{mm} \times 1200\,\mathrm{m}}{40\,\mathrm{mm}} = 96\,\mathrm{m}$

교호수준측량에서는 두 기계 위치의 고저차를 평균하여 B점 표고를 구하며, B점 표고는 $10.950\,\mathrm{m}$이다.

A점 쪽 기계에서 $\Delta h_1 = a_1 - b_1 = 1.200 - 0.250 = 0.950\,\mathrm{m}$
B점 쪽 기계에서 $\Delta h_2 = a_2 - b_2 = 1.950 - 1.000 = 0.950\,\mathrm{m}$

$\Delta h = \dfrac{0.950 + 0.950}{2} = 0.950\,\mathrm{m}$이고, 전시가 후시보다 작으므로 B점이 높다. $H_B = 10.000 + 0.950 = 10.950\,\mathrm{m}$

• 9.950은 B점을 A점보다 낮게 본 값으로, 두 기계 모두 B점 표척 읽음이 A점보다 작아 B점이 높다는 관측 결과와 모순된다.
• 10.450, 11.450은 고저차가 각각 0.450 m, 1.450 m일 때의 값으로, 교호수준의 평균 고저차 0.950 m와 맞지 않는다.

폐합비는 폐합오차 ÷ 측선 전체 길이이며, 이 측량의 폐합비는 $\dfrac{1}{600}$이다.

도상 폐합오차를 실제 거리로 환산하면 $0.5\,\mathrm{mm} \times 300 = 150\,\mathrm{mm} = 0.15\,\mathrm{m}$이다.
측선 총길이는 $24 + 16 + 22 + 28 = 90\,\mathrm{m}$이다.

따라서 폐합비는 $\dfrac{0.15}{90} = \dfrac{1}{600}$이다.

• 1/300은 도면 축척을 그대로 폐합비로 착각한 값이다.
• 1/500, 1/1,000은 도상오차의 축척 환산이나 측선 길이 합산을 잘못한 경우에 나오는 값이다.

A점에서 B점 방향의 평균경사는 2.5 %이다.

계곡선이 100 m 간격이므로 주곡선 간격은 20 m이고, 이 등고선 간격은 1:50,000 지형도에 해당한다. 100 m 계곡선 위 첫 주곡선에 있는 A점은 120 m, 200 m 계곡선 바로 아래 주곡선에 있는 B점은 180 m이다.

높이차 $H = 180 - 120 = 60\,\mathrm{m}$
수평거리 $D = 48\,\mathrm{mm} \times 50000 = 2400\,\mathrm{m}$
경사 $\dfrac{60}{2400} \times 100 = 2.5\,\%$

• 1.5 %는 높이차가 36 m일 때의 값으로, A·B 사이 높이차 60 m보다 작다.
• 3.5 %, 4.5 %는 높이차가 각각 84 m, 108 m일 때의 값으로, A·B 사이 주곡선 수와 맞지 않는다.

심프슨 제1법칙으로 지거 간격을 구하면 3 m이고, 구간이 6개이므로 AB 거리는 18.0 m이다.

심프슨 제1법칙: $A = \dfrac{d}{3}\left[y_0 + y_6 + 4(y_1 + y_3 + y_5) + 2(y_2 + y_4)\right]$

대입: $y_0 + y_6 = 4 + 5 = 9$, $4(5 + 5 + 6) = 64$, $2(4 + 6) = 20$이므로 괄호 안의 합은 93이다.
$93 = \dfrac{d}{3} \times 93$ 에서 $d = 3\,\mathrm{m}$, $\overline{\mathrm{AB}} = 6 \times 3 = 18.0\,\mathrm{m}$

• 3.0은 지거 간격 $d$로, AB 전체 거리가 아니다.
• 3.5, 18.5는 홀수 번째 지거에 4, 짝수 번째 지거에 2를 곱하는 가중치를 바르게 적용하면 나올 수 없는 값이다.

토지의 면적은 34 m²이다.

좌표법(배면적): $2S = \sum X_{i}\,(Y_{i+1} - Y_{i-1})$

측점 A: $109 \times (110 - 108) = 218$
측점 B: $110 \times (109 - 104) = 550$
측점 C: $100 \times (108 - 110) = -200$
측점 D: $100 \times (104 - 109) = -500$
$2S = 218 + 550 - 200 - 500 = 68$

면적은 배면적을 2로 나눈 값이므로 $S = \dfrac{68}{2} = 34\,\mathrm{m^{2}}$이다. 68은 2로 나누지 않은 배면적이다.

교각은 90°, 접선길이는 200 m이므로 A점에서 C점까지의 거리는 150 m이다.

삼각형 CPD에서 C의 내각은 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, D의 내각은 $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$이므로 교각 $I = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$, P의 내각도 90°이다.

사인법칙: $\overline{\mathrm{CP}} = 100 \times \dfrac{\sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = 50\,\mathrm{m}$
접선길이: $TL = R\tan\dfrac{I}{2} = 200 \times \tan 45^\circ = 200\,\mathrm{m}$
$\overline{\mathrm{AC}} = 200 - 50 = 150\,\mathrm{m}$

• 145, 155는 CP를 50 m가 아닌 값으로 구했거나 교각을 90°가 아닌 값으로 잡은 경우에 나오는 값이다.
• 160은 접선길이 200 m에서 40 m를 뺀 값으로, 사인법칙으로 구한 CP 50 m와 맞지 않는다.