25년 1회차

두 저항이 20 V 전원에 병렬로 연결되어 같은 전압을 받으므로, 전체 전력에서 5 Ω의 전력을 빼면 $R=2\,\mathrm{\Omega}$이다.

5 Ω의 전력: $P_5=\dfrac{V^2}{5}=\dfrac{20^2}{5}=80\,\mathrm{W}$
R의 전력: $P_R=280-80=200\,\mathrm{W}$

$R=\dfrac{V^2}{P_R}=\dfrac{400}{200}=2\,\mathrm{\Omega}$

• 5 Ω: 전체 전력이 $80+80=160\,\mathrm{W}$에 그친다.
• 10 Ω: 전체 전력이 $80+40=120\,\mathrm{W}$로 부족하다.
• 20 Ω: 전체 전력이 $80+20=100\,\mathrm{W}$로 부족하다.

코일에 유도되는 기전력은 18 V이다.

자기유도 기전력은 전류 변화율에 비례한다.
$e=L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$
$e=0.3\times\dfrac{14-2}{0.2}=0.3\times60=18\,\mathrm{V}$

• 12 V는 전류 증가분 12 A를 그대로 쓴 값으로, 시간과 인덕턴스를 반영하지 않았다.
• 16 V는 변화율 60 A/s에 인덕턴스 0.3 H를 곱한 결과와 다르다.
• 20 V 역시 $0.3\times60$의 결과와 맞지 않다.

병렬부 전압으로 전체 전류를 구하면 $R_1=12\,\mathrm{\Omega}$이다.

병렬부 전압: $V=IR_2=2\times12=24\,\mathrm{V}$
24 Ω 전류: $\dfrac{24}{24}=1\,\mathrm{A}$, 전체 전류: $2+1=3\,\mathrm{A}$

$R_1$의 전압강하는 $60-24=36\,\mathrm{V}$이므로
$R_1=\dfrac{36}{3}=12\,\mathrm{\Omega}$로 KVL을 만족한다.

• 6 Ω: 병렬 합성 8 Ω과 직렬이 되어 병렬부 전압이 약 34.3 V가 되므로 $R_2$ 전류가 2 A보다 크다.
• 8 Ω: 병렬부 전압이 30 V가 되어 $R_2$ 전류가 2.5 A이다.
• 10 Ω: 병렬부 전압이 약 26.7 V가 되어 $R_2$ 전류가 약 2.2 A이다.

도체 바깥 $2a$ 위치의 자기장 세기는 $\dfrac{H_0}{2}$이다.

도체 외부($r\ge a$)에서는 앙페르 법칙으로 $H=\dfrac{I}{2\pi r}$이므로 자기장은 거리에 반비례한다.
$H_0=\dfrac{I}{2\pi a},\;H_{2a}=\dfrac{I}{2\pi(2a)}=\dfrac{H_0}{2}$

• $\dfrac{H_0}{\sqrt{2}}$는 거리의 제곱근에 반비례한다고 본 값으로 맞지 않다.
• $\sqrt{2}\,H_0$는 멀어질수록 자기장이 커진다는 뜻이 되어 외부 자계의 성질과 반대다.
• $2H_0$는 거리에 비례한다고 본 값으로, 도체 내부($r\lt a$)에서나 성립하는 관계다.

거리가 4 m가 되면 힘은 2.5 N이 된다.

쿨롱 법칙 $F=k\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}$에서 힘은 거리의 제곱에 반비례한다.
$F'=10\times\left(\dfrac{2}{4}\right)^2=10\times\dfrac{1}{4}=2.5\,\mathrm{N}$

• 5 N은 거리에 단순 반비례한다고 본 값이다.
• 20 N은 거리에 비례한다고 본 값이다.
• 40 N은 거리의 제곱에 비례한다고 본 값이다.

전위가 절반이 되는 거리는 $2d$이다.

점전하의 전위 $V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$는 거리에 반비례한다(전계와 달리 제곱이 아니다).
$\dfrac{V_d}{2}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0(2d)}\;\Rightarrow\;r=2d$

• $\dfrac{1}{4}d$는 가까워지는 방향이라 전위가 오히려 4배로 커진다.
• $\dfrac{1}{2}d$에서는 전위가 2배가 된다.
• $4d$는 전위가 거리 제곱에 반비례한다고 착각한 값으로, 실제로는 전위가 4분의 1이 된다.

왜형률은 25 %이다.

왜형률은 고조파 실횻값 합성 ÷ 기본파 실횻값이다. 각 성분의 실횻값은 기본파 20 V, 3고조파 3 V, 5고조파 4 V이다.

$\mathrm{THD}=\dfrac{\sqrt{3^2+4^2}}{20}=\dfrac{5}{20}=0.25$

• 10 %는 고조파 합성 실횻값 5 V를 기본파 20 V로 나눈 0.25와 맞지 않는다.
• 15 %는 3고조파 성분만 반영한 값이다.
• 20 %는 5고조파 성분만 반영한 값이다.

필요한 시간은 5분이다.

물이 얻는 열량 $H=mc\Delta T$와 전열기 발열량 $H=0.24Pt$ [cal]을 같게 둔다.
$H=2400\times1\times30=72000\,\mathrm{cal}$

$t=\dfrac{72000}{0.24\times1000}=300\,\mathrm{s}=5\,\mathrm{min}$

• 2분은 필요 열량의 절반에도 못 미친다.
• 3분(180 s)은 43200 cal만 공급해 30 °C 상승에 부족하다.
• 4분(240 s)은 57600 cal로 역시 부족하다.

무효전력은 $1.8\,\mathrm{kVAR}$이므로 무효전력이 2.4 kVAR라는 설명이 옳지 않다.

전원과 부하가 모두 Y결선이므로 상전류 = 선전류이다.
$|\dot{Z}|=\sqrt{8^2+6^2}=10\,\mathrm{\Omega}$, $I=\dfrac{100}{10}=10\,\mathrm{A}$

$Q=3I^2X=3\times10^2\times6=1800\,\mathrm{VAR}$
2.4 kW는 유효전력 $P=3\times10^2\times8=2400\,\mathrm{W}$에 해당하는 값이다.

• 선전류 10 A: Y결선에서 선전류는 상전류와 같아 옳다.
• 선간전압 $100\sqrt{3}\,\mathrm{V}$: Y결선 선간전압은 상전압의 $\sqrt{3}$배라 옳다.
• 역률 80 %: $\cos\theta=\dfrac{R}{|Z|}=\dfrac{8}{10}=0.8$로 옳다.

같은 저항을 Δ결선에서 Y결선으로 바꾸면 각 저항에 걸리는 전압이 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$배가 되어 소비전력은 $\dfrac{1}{3}$배로 감소한다.

Δ결선(가): 각 저항에 선간전압 $V$가 걸린다.
$P_\Delta=3\times\dfrac{V^2}{R}$

Y결선(나): 각 저항에 $\dfrac{V}{\sqrt{3}}$가 걸린다.
$P_Y=3\times\dfrac{(V/\sqrt{3})^2}{R}=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{1}{3}P_\Delta$

• $\dfrac{1}{9}$배 감소: 전압비 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$의 네제곱으로 본 값이다. 전력은 전압의 제곱에 비례하므로 $\dfrac{1}{3}$배이다.
• 3배 증가: Y결선에서 Δ결선으로 바꿀 때의 변화이다.
• 9배 증가: 방향과 배율이 모두 틀렸다.

상전류와 상전압의 위상차는 30°이다.

2전력계법에서 $P=P_1+P_2$, $Q=\sqrt{3}(P_2-P_1)$이다.
$P=2000+4000=6000\,\mathrm{W}$
$Q=\sqrt{3}(4000-2000)=2000\sqrt{3}\,\mathrm{VAR}$

$\tan\theta=\dfrac{2000\sqrt{3}}{6000}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\;\Rightarrow\;\theta=30^\circ$
검산: $\cos\theta=\dfrac{6000}{\sqrt{3}\times400\times10}\approx0.866$

• 0°는 두 전력계 지시가 같을 때(역률 1)의 경우다.
• 60°는 한 전력계 지시가 다른 쪽의 2배가 아니라 0이 될 때의 경우다.
• 90°는 두 지시값의 크기가 같고 부호가 반대일 때(유효전력 0)의 경우다.

합성 임피던스가 용량성($0.5-j0.5\,\mathrm{\Omega}$)이므로 전류는 전압보다 앞서며 $i(t)=10\sqrt{2}\sin(\omega t+45^\circ)\,\mathrm{A}$이다.

리액턴스: $X_C=\dfrac{1}{\omega C}=1\,\mathrm{\Omega}$, $X_L=\omega L=1\,\mathrm{\Omega}$
병렬부: $\dfrac{1\times j1}{1+j1}=\dfrac{1+j1}{2}=0.5+j0.5\,\mathrm{\Omega}$

합성: $\dot{Z}=-j1+0.5+j0.5=0.5-j0.5=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\angle-45^\circ\,\mathrm{\Omega}$
최댓값: $I_m=\dfrac{10}{1/\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\,\mathrm{A}$, 위상 $0^\circ-(-45^\circ)=+45^\circ$

• $5\sqrt{2}\sin(\omega t-45^\circ)$: 크기가 절반이고 위상도 뒤진다.
• $5\sqrt{2}\sin(\omega t+45^\circ)$: 위상은 맞지만 크기가 절반이다.
• $10\sqrt{2}\sin(\omega t-45^\circ)$: 크기는 맞지만 유도성 회로처럼 전류가 뒤진다고 본 것이다.

직렬 공진에서는 $X_L=X_C$로 리액턴스가 상쇄되므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

공진 시 $Z=R$(순저항)이 되어 전압과 전류가 동위상이고 역률은 1이다.
공진 조건 $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$에서 $f_o=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$이다.

• ㄱ, ㄴ: 공진 시 위상차는 0이므로 ㄴ이 틀렸다.
• ㄴ, ㄷ: 위상차가 $\dfrac{\pi}{2}$라는 ㄴ이 틀렸다.
• ㄷ, ㄹ: 직렬 공진에서 임피던스는 최소, 전류는 최대가 되므로 ㄹ이 틀렸다.

무효전력은 80 VAR이다.

피상전력을 먼저 구한 뒤 $\sin\theta$를 곱한다.
$S=\dfrac{P}{\cos\theta}=\dfrac{60}{0.6}=100\,\mathrm{VA}$
$\sin\theta=\sqrt{1-0.6^2}=0.8$
$Q=100\times0.8=80\,\mathrm{VAR}$

• 40 VAR은 피상전력과 유효전력의 차이로 계산한 값으로, 전력 삼각형 관계가 아니다.
• 60 VAR은 유효전력과 같은 값으로 역률이 0.707일 때에 해당한다.
• 100 VAR은 피상전력 값이다.

직렬 연결 시 100 W 전구가 2배의 전력을 소모한다.

정격에서 저항을 구하면 $R=\dfrac{V^2}{P}$이다.
$R_{100}=\dfrac{200^2}{100}=400\,\mathrm{\Omega},\;R_{200}=\dfrac{200^2}{200}=200\,\mathrm{\Omega}$

직렬이면 전류가 같으므로 $P=I^2R$에서 전력은 저항에 비례한다: $\dfrac{400}{200}=2$

• 2분의 1배는 병렬 연결(전압이 같아 전력이 저항에 반비례)일 때의 비다.
• 1배는 두 전구 저항이 같을 때만 성립한다.
• 4배는 저항비를 제곱한 값으로 맞지 않다.

a-b 단자에서 본 등가 회로는 $R_{TH}=8\,\mathrm{\Omega}$, $V_{TH}=8\,\mathrm{V}$이다.

등가 저항: 전압원을 단락하면 3 Ω과 6 Ω이 병렬이 되고, 여기에 6 Ω이 직렬로 붙는다.
$R_{TH}=6+\dfrac{3\times6}{3+6}=6+2=8\,\mathrm{\Omega}$

등가 전압: a-b가 개방이면 오른쪽 6 Ω에는 전류가 흐르지 않으므로 전압 분배로 구한다.
$V_{TH}=12\times\dfrac{6}{3+6}=8\,\mathrm{V}$

• 8 Ω과 6 V: 저항은 맞지만 등가 전압을 전원 전압의 절반으로 잘못 나눈 값이다.
• 12 Ω과 6 V: 3 Ω과 6 Ω의 병렬(2 Ω)을 빠뜨렸고 전압도 맞지 않는다.
• 12 Ω과 8 V: 전압은 맞지만 등가 저항은 $6+2=8\,\mathrm{\Omega}$이어야 한다.

철심의 자속밀도는 $4\,\mathrm{Wb/m^2}$이므로 자속밀도가 8 $Wb/m^{2}$라는 설명이 옳지 않다.

자기장의 세기: $H=\dfrac{NI}{2\pi r}=\dfrac{400\times2}{2\pi\times0.2}=\dfrac{2}{\pi}\times10^3\,\mathrm{AT/m}$

자속밀도: $B=\mu_0\mu_rH=4\pi\times10^{-7}\times5000\times\dfrac{2000}{\pi}=4\,\mathrm{Wb/m^2}$
자속: $\Phi=BA=4\times0.04=0.16\,\mathrm{Wb}$

• 외부 자기장 0: 환상 솔레노이드는 자기장이 철심 내부에만 생기므로 옳다.
• 내부 자기장 $\dfrac{2}{\pi}\times10^3\,\mathrm{AT/m}$: 앞의 계산과 같아 옳다.
• 자속량 $16\times10^{-2}\,\mathrm{Wb}$: $0.16\,\mathrm{Wb}$와 같아 옳다.

정상상태에서 인덕터는 단락으로 보므로 스위치를 닫기 전 $I=5\,\mathrm{A}$, 닫은 후 $I=\dfrac{30}{7}\,\mathrm{A}$이다.

닫기 전: 12 Ω 가지가 끊겨 10 A가 4 Ω 두 가지에 똑같이 나뉜다.
$I=\dfrac{10}{2}=5\,\mathrm{A}$

닫은 후: 세 가지가 병렬이다.
$G=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}\,\mathrm{S}$, $V=\dfrac{10}{7/12}=\dfrac{120}{7}\,\mathrm{V}$
$I=\dfrac{V}{4}=\dfrac{30}{7}\,\mathrm{A}$

• 닫기 전·후 모두 0: 정상상태 인덕터를 개방으로 잘못 본 것이다.
• 닫기 전 0, 닫은 후 $\dfrac{30}{7}$: 닫기 전에도 4 Ω 두 가지로 전류가 나뉜다.
• 닫기 전 5, 닫은 후 0: 닫은 후에도 인덕터 가지에는 전류가 흐른다.

부하 전력으로 전류를 구하고 전체 임피던스를 곱하면 $V_S=20\,\mathrm{V}$이다.

부하 임피던스: $\dfrac{4\times j4}{4+j4}=2+j2\,\mathrm{\Omega}$
유효전력은 저항분에서만 소비된다: $16=I^2\times2$, $I=2\sqrt{2}\,\mathrm{A}$

전체 임피던스: $(3+j3)+(2+j2)=5+j5$, $|Z|=5\sqrt{2}\,\mathrm{\Omega}$
$V_S=2\sqrt{2}\times5\sqrt{2}=20\,\mathrm{V}$

• $3\sqrt{2}\,\mathrm{V}$: 선로 임피던스 $|3+j3|=3\sqrt{2}\,\mathrm{\Omega}$의 크기일 뿐 전압이 아니다.
• 8 V: 부하 양단 전압($4\,\mathrm{\Omega}$에서 $\sqrt{16\times4}=8\,\mathrm{V}$)으로, 선로 전압강하가 빠졌다.
• 16 V: 선로 전압강하 $2\sqrt{2}\times3\sqrt{2}=12\,\mathrm{V}$와 부하 전압 8 V는 위상이 같아(둘 다 45°) 합이 20 V이므로 맞지 않는다.

각 가지 전류로 임피던스를 구하면 $A=16$, $B=12$, $C=50$이다.

벡터도에서 $\dot{I}_1=4-j3\,\mathrm{A}$, $\dot{I}_2=j2\,\mathrm{A}$이고, 합 $\dot{I}_S=4-j1\,\mathrm{A}$로 KCL이 맞는다.

$\dot{Z}_1=\dfrac{100}{4-j3}=\dfrac{100(4+j3)}{25}=16+j12\,\mathrm{\Omega}$
$\dot{Z}_2=\dfrac{100}{j2}=-j50\,\mathrm{\Omega}$

• 12, 6, 50: $12+j6$이면 $\dot{I}_1$의 크기가 약 7.5 A가 되어 벡터도의 5 A와 다르다.
• 25, $\dfrac{100}{3}$, 50: 전류 실수부·허수부로 각각 따로 나누어 구한 값이다.
• 25, 50, $\dfrac{100}{3}$: 같은 방식에 B와 C까지 뒤바뀐 값이다.