20년 1회차

두 단면의 도심축 단면 2차 모멘트를 같게 놓으면 $B=\dfrac{a}{3}$이다.

직사각형: $I=\dfrac{Ba^3}{12}$, 삼각형(밑변 $a$, 높이 $a$)의 도심축: $I=\dfrac{a\cdot a^3}{36}=\dfrac{a^4}{36}$

$\dfrac{Ba^3}{12}=\dfrac{a^4}{36}\;\rightarrow\;B=\dfrac{12a}{36}=\dfrac{a}{3}$

• $\dfrac{2a}{3}$: 직사각형의 $I$가 삼각형의 2배가 되어 맞지 않는다.
• $\dfrac{a}{2}$: 삼각형 도심축 계수를 1/36이 아닌 1/24로 잡은 값이다.
• $\dfrac{a}{4}$: 직사각형의 $I$가 삼각형보다 작아진다.

최대 전단응력은 직사각형이 평균의 1.5배, 원형이 평균의 4/3배이므로 비는 $\dfrac{9}{8}$이다.

면적 $A$와 전단력 $V$가 같으므로 평균 전단응력 $V/A$도 같다.

$\dfrac{\tau_a}{\tau_b}=\dfrac{\frac{3}{2}\frac{V}{A}}{\frac{4}{3}\frac{V}{A}}=\dfrac{9}{8}$

• $\dfrac{5}{4}$: 원형 계수를 1.2로 잡아야 나오는 값이다.
• $\dfrac{7}{6}$: 원형 계수를 4/3보다 작은 $\dfrac{9}{7}$로 잡은 값이다.
• $\dfrac{10}{9}$: 원형 계수를 1.35로 잡은 값으로 4/3과 다르다.

힘이 아래로 30° 기울어 누르므로 수직항력이 커지며, 최대 힘은 $F=\dfrac{\mu mg}{\cos 30^\circ-\mu\sin 30^\circ}$이다.

수직항력: $N=mg+F\sin 30^\circ$
미끄러지기 직전: $F\cos 30^\circ=\mu N=\mu(mg+F\sin 30^\circ)$

$F(\cos 30^\circ-\mu\sin 30^\circ)=\mu mg$ 에서 위 식이 된다.

• $\sin 30^\circ$와 $\mu mg$를 더한 분자를 가진 식들은 힘과 무차원량을 더한 것으로 차원이 맞지 않는다.
• $\mu(\cos 30^\circ+mg)$를 분자로 둔 식도 같은 이유로 성립하지 않는다.

한단자유·타단고정(캔틸레버형) 기둥은 유효길이 계수 $k=2.0$이므로 이 조합이 옳다.

유효길이 $kl$은 변곡점 사이 거리로, 구속이 약할수록 길어진다. 자유단 기둥의 처짐 형상은 길이 $2l$인 양단힌지 기둥의 절반과 같아 $k=2.0$이 된다.

• 양단힌지는 기본형으로 $k=1.0$이며 0.5가 아니다.
• 양단고정은 변곡점 간격이 절반이 되어 $k=0.5$이며 1.0이 아니다.
• 한단힌지·타단고정은 $k\approx0.7$로, 양단힌지보다 작아야 하므로 1.5는 틀렸다.

모멘트분배법으로 풀면 고정단 A의 휨모멘트 크기는 15 kN·m이다.

B 절점 강도: $k_{BA}=\dfrac{4(1.5EI)}{12}=0.5EI$, $k_{BC}=\dfrac{3EI}{6}=0.5EI$(C 힌지) → 분배율 각 0.5. B는 AB 축강성으로 수평이동이 막혀 횡변위가 없다.

고정단모멘트 $\dfrac{wL^2}{12}=\dfrac{1\times12^2}{12}=12$. B의 불균형 12를 반씩 분배(6)하고 A로 1/2 전달(3).
$M_A=12+3=15\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 9: 전달모멘트를 빼 준 값이다.
• 12: 고정단모멘트만 취하고 전달모멘트를 누락한 값이다.
• 18: 분배 모멘트 전체(6)를 그대로 더한 값이다.

자유단에서 거리 $x$의 휨모멘트를 적분하면 변형에너지는 $\dfrac{w^2L^5}{40EI}+\dfrac{wML^3}{6EI}+\dfrac{M^2L}{2EI}$이다.

등분포하중과 끝단 모멘트가 같은 방향(부모멘트)으로 휘게 하므로 $M(x)=\dfrac{wx^2}{2}+M$

$U=\dfrac{1}{2EI}\int_0^L\left(\dfrac{wx^2}{2}+M\right)^2dx=\dfrac{1}{2EI}\left(\dfrac{w^2L^5}{20}+\dfrac{wML^3}{3}+M^2L\right)$

• $\dfrac{w^2L^5}{40EI}+\dfrac{wML^3}{8EI}+\dfrac{M^2L}{3EI}$: 교차항과 모멘트 항의 적분 계수가 틀렸다.
• $\dfrac{w^2L^5}{48EI}+\dfrac{wML^3}{6EI}+\dfrac{M^2L}{3EI}$: 등분포하중 항과 모멘트 항이 틀렸다.
• $\dfrac{w^2L^5}{48EI}+\dfrac{wML^3}{8EI}+\dfrac{M^2L}{2EI}$: 등분포하중 항(48EI)과 교차항이 틀렸다.

B 지점은 처짐이 $\delta$ 생긴 뒤에야 닿으므로 반력은 $\dfrac{5wL}{4}-\dfrac{6\delta EI}{L^3}$이다.

경간 $2L$ 단순보 중앙 처짐: $\dfrac{5w(2L)^4}{384EI}=\dfrac{5wL^4}{24EI}$, 중앙 집중하중 $R$에 의한 처짐: $\dfrac{R(2L)^3}{48EI}=\dfrac{RL^3}{6EI}$

적합조건 $\dfrac{5wL^4}{24EI}-\dfrac{RL^3}{6EI}=\delta$ → $R=\dfrac{5wL}{4}-\dfrac{6\delta EI}{L^3}$

• $\dfrac{5wL}{8}$로 시작하는 식들은 경간을 $2L$이 아닌 $L$로 본 결과다.
• $\dfrac{3\delta EI}{L^3}$를 뺀 식은 집중하중 처짐 계수를 잘못 잡았다.

구간별 축력으로 늘음량을 더하면 C점 변형량은 $\dfrac{13PL}{4E\pi d^2}$이다.

BC 구간(지름 $d$, 길이 $L/4$): 축력 $P$ → $\dfrac{P(L/4)}{E\pi d^2/4}=\dfrac{PL}{E\pi d^2}$
AB 구간(지름 $2d$, 길이 $3L/4$): 축력 $3P$ → $\dfrac{3P(3L/4)}{E\pi d^2}=\dfrac{9PL}{4E\pi d^2}$

합: $\dfrac{4PL+9PL}{4E\pi d^2}=\dfrac{13PL}{4E\pi d^2}$

• $\dfrac{9PL}{4E\pi d^2}$: AB 구간만 계산한 값이다.
• $\dfrac{2PL}{E\pi d^2}$: 구간별 축력과 단면적의 조합이 맞지 않는 값이다.
• $\dfrac{12PL}{E\pi d^2}$: 단면적을 잘못 대입한 값이다.

대칭 고정 라멘을 모멘트분배법으로 풀면 A점 수평 반력은 $\dfrac{wL}{12}$이다.

대칭이므로 보의 수정 강도 $\dfrac{2EI}{L}$, 기둥 강도 $\dfrac{4EI}{L}$ → 분배율 보 1/3, 기둥 2/3. 고정단모멘트 $\dfrac{wL^2}{12}$ 중 기둥 몫 $\dfrac{wL^2}{18}$, A로 전달 $\dfrac{wL^2}{36}$

기둥 AB의 평형: $H_A=\dfrac{M_B+M_A}{L}=\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{wL^2}{18}+\dfrac{wL^2}{36}\right)=\dfrac{wL}{12}$

• $\dfrac{wL}{18}$: 기둥 하단의 전달모멘트를 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{wL}{16}$: 분배율을 잘못 잡아 나온 값이다.
• $\dfrac{wL}{24}$: 기둥 상단 모멘트만 절반으로 본 값이다.

대칭 하중이므로 반력이 쉽게 구해지며, C점 휨모멘트 크기는 $\dfrac{PL}{2}(1-\sin\theta-\cos\theta)$이다.

수직 반력 $V_A=\dfrac{P}{2}$. 힌지 G에서 좌측 모멘트 0: $V_A L-H_A L=0$ → $H_A=\dfrac{P}{2}$

C의 위치(A 기준): 수평 $L-L\cos\theta$, 높이 $L\sin\theta$
$M_C=\dfrac{P}{2}(L-L\cos\theta)-\dfrac{P}{2}L\sin\theta=\dfrac{PL}{2}(1-\sin\theta-\cos\theta)$

• $(1+\sin\theta+\cos\theta)$는 수평 반력이 만드는 반대 방향 모멘트를 무시했다.
• $(1+\sin\theta-\cos\theta)$는 수평 반력 항의 부호를 뒤집은 것이다.
• $(1-\sin\theta+\cos\theta)$는 C의 수평거리를 잘못 잡았다.

일체 거동이라 두 재료의 변형률이 같으므로 $A_s/A_c=\dfrac{1}{10}$이다.

힘 $P_i=E_iA_i\varepsilon$이고 $\varepsilon$이 같으므로 $E_sA_s=E_cA_c$

$\dfrac{A_s}{A_c}=\dfrac{E_c}{E_s}=\dfrac{1}{10}$

• $\dfrac{1}{5}$: 강봉이 콘크리트보다 2배 큰 힘을 받게 된다.
• $\dfrac{1}{15}$: 강봉 힘이 콘크리트의 2/3로 작아진다.
• $\dfrac{1}{20}$: 강봉 힘이 콘크리트의 절반이 된다.

단면 2차 상승 모멘트는 양수·음수·0이 모두 가능하므로 "항상 0보다 크거나 같다"는 설명이 옳지 않다.

상승 모멘트는 $I_{xy}=\int xy\,dA$로, 좌표의 곱이라 면적이 2·4사분면에 많으면 음수가 된다. 반면 단면 2차 모멘트는 거리의 제곱을 적분하므로 항상 양수다.

• 단면 2차 극 모멘트는 $I_P=\int r^2dA=\int(x^2+y^2)dA=I_x+I_y$로 두 직교축 값의 합이므로 옳다.
• 단면 2차 모멘트는 $\int y^2dA$로 면적이 있는 한 항상 0보다 크므로 옳다.
• 도심축에 대한 단면 1차 모멘트는 도심의 정의상 항상 0이므로 옳다.

절점 평형만으로 판단하면 AB 부재와 GH 부재 모두 0이다.

B는 벽의 롤러로 수평 반력만 생긴다. B 절점에는 수직 부재 AB와 수평 부재 BD뿐이므로 수직 평형에서 AB 부재력은 0이다.

G 절점에는 일직선인 상현재 EG·GI와 수직재 GH만 모이고 하중이 없으므로, 직선상에 있지 않은 GH 부재력은 0이다.

• AB 0, GH 3.5: H점 하중은 GH가 아니라 하현재·사재가 받는다.
• AB 3.5, GH 0: B 지점에 수직 반력이 없다는 점을 놓쳤다.
• AB 3.5, GH 2: 두 부재 모두 0부재 판정을 놓쳤다.

C점 영향선에 두 하중을 배치해 비교하면 최대 휨모멘트는 4.4 kN·m이다.

C점 영향선 최대 종거 $\dfrac{ab}{L}=\dfrac{2\times8}{10}=1.6$, 좌측 기울기 0.8, 우측 기울기 0.2

선행하중(2 kN)이 C에 있을 때: $2(1.6)+1(0.8)=4.0$
후행하중(1 kN)이 C에 있을 때: $1(1.6)+2(1.6-0.2)=4.4$

• 4.0: 큰 하중을 C에 둔 경우로 최대가 아니다.
• 3.2: 2 kN 하중 하나만 고려한 값이다.
• 3.6: 하중 위치나 영향선 기울기를 잘못 잡은 값이다.

E와 G로 푸아송비를 구하면 직경 감소량은 $\left(\dfrac{36}{\pi}-9\right)\times10^{-3}$ mm이다.

$\sigma=\dfrac{27000}{\pi\times15^2}=\dfrac{120}{\pi}\ \mathrm{MPa}$, $\varepsilon=\dfrac{0.3}{1000}=3\times10^{-4}$ → $E=\dfrac{4\times10^5}{\pi}\ \mathrm{MPa}$

$\nu=\dfrac{E}{2G}-1=\dfrac{4}{\pi}-1$
$\Delta d=\nu\varepsilon d=\left(\dfrac{4}{\pi}-1\right)(3\times10^{-4})(30)=\left(\dfrac{36}{\pi}-9\right)\times10^{-3}$

• $\left(\dfrac{32}{\pi}-8\right)\times10^{-3}$: 지름 대신 다른 길이를 곱한 형태다.
• $\left(\dfrac{26}{\pi}-8\right)\times10^{-3}$: 푸아송비 관계식을 잘못 대입한 값이다.
• $\left(\dfrac{30}{\pi}-9\right)\times10^{-3}$: $E=2G(1+\nu)$를 정확히 적용하지 않은 값이다.

$P_1$이 한 일은 자기 재하 중 일 + 추가 처짐 동안의 일로 $\dfrac{1}{2}P_1\delta_1+P_1\delta_2$이다.

$P_1$이 0에서 서서히 커지는 동안 처짐 $\delta_1$ → 일 $\dfrac{1}{2}P_1\delta_1$

이후 $P_2$가 더해져 $\delta_2$가 생기는 동안 $P_1$은 크기가 일정하므로 일 $P_1\delta_2$(1/2 없음)

• $\dfrac{1}{2}P_1\delta_1+\dfrac{1}{2}P_2\delta_2$: 두 하중이 각자 한 일만 합한 것으로 $P_1$의 일이 아니다.
• $\dfrac{1}{2}P_1(\delta_1+\delta_2)$: 추가 처짐 동안에도 1/2을 붙였다.
• $\dfrac{1}{2}(P_1+P_2)(\delta_1+\delta_2)$: 두 하중이 동시 재하된 경우의 전체 일이다.

스프링 상수가 같으므로 처짐비는 반력비와 같고, $R_B=2R_A$에서 $a=5\ \mathrm{m}$이다.

전체 하중 30 kN → $R_A=10$, $R_B=20\ \mathrm{kN}$

A점 모멘트 평형: $R_B\times10=20a+10(2a)=40a$ → $200=40a$, $a=5$

• $a=2$: $R_B=8$ kN으로 A 반력의 2배가 되지 않는다.
• $a=3$: $R_B=12$ kN, $R_A=18$ kN이다.
• $a=4$: $R_B=16$ kN, $R_A=14$ kN이다.

공액보법으로 구하면 $\theta_A=\dfrac{3M_AL}{16EI}$, $\theta_B=\dfrac{M_AL}{8EI}$로 비는 1.5이다.

휨모멘트는 $M(x)=M_A\left(1-\dfrac{x}{L}\right)$로 선형이고, 공액하중은 AC 구간에서 $M/2EI$, BC 구간에서 $M/EI$이다.

$\theta_A=\dfrac{1}{L}\int\dfrac{M}{EI}(L-x)dx=\dfrac{3M_AL}{16EI}$, $\theta_B=\dfrac{1}{L}\int\dfrac{M}{EI}x\,dx=\dfrac{2M_AL}{16EI}$

• 2.0: 등단면 보의 결과($\theta_A=2\theta_B$)로 단면 변화를 무시한 값이다.
• 1.0: 두 끝 회전각이 같다는 뜻으로, 모멘트가 큰 A쪽 회전이 더 크다는 점과 맞지 않는다.
• 0.5: A쪽 회전이 더 작다는 뜻이라 역시 맞지 않는다.

교차점 C에서 두 보의 처짐을 같게 놓으면 전달력은 $wL$이고, D점 반력은 그 절반인 0.5wL이다.

AB(경간 $2L$, $2I$) 중앙 처짐: $\dfrac{5w(2L)^4}{384E(2I)}-\dfrac{F(2L)^3}{48E(2I)}=\dfrac{5wL^4}{48EI}-\dfrac{FL^3}{12EI}$
DE(경간 $L$, $I$) 중앙 처짐: $\dfrac{FL^3}{48EI}$

같게 놓으면 $\dfrac{5wL}{48}=\dfrac{5F}{48}$ → $F=wL$, $R_D=\dfrac{F}{2}=0.5wL$

• 0.25wL: 전달력을 지점 수로 한 번 더 나눈 값이다.
• 1.0wL: 전달력 $F$ 전체를 D 반력으로 본 값이다.
• 0.75wL: 처짐 적합조건과 맞지 않는다.

비틀림 공식으로 $I_P=2000\ \mathrm{mm^4}$, $\theta=0.05\ \mathrm{rad/m}$이다.

$\tau=\dfrac{Tr}{I_P}$ → $I_P=\dfrac{10000\times5}{25}=2000\ \mathrm{mm^4}$

$\theta=\dfrac{T}{GI_P}=\dfrac{10}{(100\times10^9)(2000\times10^{-12})}=0.05\ \mathrm{rad/m}$

• 1,000과 0.05: $I_P$를 절반으로 잡았다.
• 1,000과 0.10: $I_P$를 절반으로 잡아 비틀림각도 2배가 되었다.
• 2,000과 0.10: $\theta=\dfrac{\tau}{Gr}$로도 0.05가 나오므로 맞지 않는다.