20년 1회차

활을 든 궁수는 운동량 보존에 의해 $\dfrac{25}{50}\ \mathrm{m/s}$의 속력으로 화살 반대 방향으로 미끄러진다.

처음 전체 운동량이 0이므로 화살의 운동량과 (궁수+활)의 운동량 크기가 같다.
$0.5\times 50 = (40+10)\,v$
$v=\dfrac{25}{50}\ \mathrm{m/s}$

• $\dfrac{25}{40}$은 활의 질량을 빼고 궁수만 움직인다고 본 값이다.
• $\dfrac{25}{40.5}$는 궁수에 화살 질량을 더하고 활을 뺀 값으로, 날아간 화살을 반동 질량에 넣은 잘못이 있다.
• $\dfrac{25}{50.5}$는 이미 분리된 화살 질량까지 반동 쪽에 포함한 값이다.

각운동량의 크기는 $3\pi\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}$이다.

1분에 한 바퀴이므로 각속도는 $\omega=\dfrac{2\pi}{60}=\dfrac{\pi}{30}\,\mathrm{rad/s}$이다.
점입자의 중심에 대한 각운동량은 $L=mR^2\omega$이다.

$L=10\times3^2\times\dfrac{\pi}{30}=3\pi$

• $2\pi$, $4\pi$는 $mR^2\omega=3\pi$와 맞지 않는다.
• $5\pi$도 위 계산 결과보다 크다.

정류장의 관측자에게 공의 속력은 상대속도의 합인 $100\ \mathrm{m/s}$이므로 운동에너지는 500 J이다.

공의 지면 기준 속력: $v=50+50=100\ \mathrm{m/s}$
$E_k=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}\times 0.1\times 100^2=500\ \mathrm{J}$

• 125 J은 버스 안 관측자가 보는 속력 $50\ \mathrm{m/s}$로 계산한 값이다.
• 250 J은 $\dfrac{1}{2}$을 빠뜨리고 $50\ \mathrm{m/s}$를 쓴 값이다.
• 375 J은 두 운동에너지의 차처럼 속도 합성을 잘못 처리한 값으로, 운동에너지는 속력의 제곱에 비례하므로 단순 합산·차감이 성립하지 않는다.

H(헨리)는 인덕턴스의 단위이므로 압력의 단위가 아니다.

압력은 단위 면적당 힘이며, SI 단위 Pa($\mathrm{N/m^2}$) 외에 기압·바 등 관용 단위가 함께 쓰인다.

• Pa는 $1\ \mathrm{N/m^2}$로 정의되는 압력의 SI 단위이다.
• atm은 표준 대기압을 기준으로 한 압력 단위이다.
• bar는 $10^5\ \mathrm{Pa}$에 해당하는 압력 단위이다.

$K_A-K_B$는 $\dfrac{C}{2R}$이다.

그림에서 A는 지구 중심으로부터 $R$, B는 $2R$ 떨어져 있다. 만유인력만 작용하므로 역학적 에너지가 보존된다.

$K_A-K_B=U_B-U_A=-\dfrac{C}{2R}+\dfrac{C}{R}=\dfrac{C}{2R}$

• $\dfrac{C}{R}$는 A 지점 퍼텐셜에너지의 크기일 뿐 차이가 아니다.
• $\dfrac{2C}{R}$, $\dfrac{3C}{R}$는 두 지점 퍼텐셜에너지 차보다 크다.

세기 준위가 60 dB 줄려면 세기가 $10^{6}$분의 1이 되어야 하고, 역제곱 법칙에 따라 거리는 1,000 m가 된다.

$\Delta\beta=10\log\dfrac{I_1}{I_2}=60\ \mathrm{dB}\ \Rightarrow\ \dfrac{I_1}{I_2}=10^{6}$
$I\propto\dfrac{1}{r^2}\ \Rightarrow\ \dfrac{r_2}{r_1}=\sqrt{10^{6}}=10^{3}$
$r_2=1\times 10^{3}=1000\ \mathrm{m}$

• 10 m는 세기가 $10^2$배만 줄어 20 dB 감소에 해당한다.
• 60 m는 데시벨 값을 거리에 그대로 비례시킨 오류이다.
• 6,000 m는 로그 관계를 무시하고 선형으로 계산한 값이다.

$\tau_1/\tau_2$는 $\dfrac{1}{4}$이다.

돌림힘은 $\tau=I\alpha$이고 각가속도가 같으므로 돌림힘 비는 관성모멘트 비와 같다.

중심축: $I_1=\dfrac{1}{12}ml^2$, 끝축: $I_2=\dfrac{1}{3}ml^2$
$\dfrac{\tau_1}{\tau_2}=\dfrac{1/12}{1/3}=\dfrac{1}{4}$

• $\dfrac{1}{2}$은 두 관성모멘트 비 $\dfrac{1}{4}$보다 크다.
• $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{5}$는 두 관성모멘트 비와 맞지 않는다.

제곱평균 제곱근 속력은 $v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$이므로 산소 대 수소의 비는 1 : 8이다.

절대온도로 바꾸면 산소 $150\ \mathrm{K}$, 수소 $600\ \mathrm{K}$이다.
$\dfrac{v_{\mathrm{O_2}}}{v_{\mathrm{H_2}}}=\sqrt{\dfrac{T_{\mathrm{O_2}}}{T_{\mathrm{H_2}}}\cdot\dfrac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{O_2}}}}=\sqrt{\dfrac{150}{600}\cdot\dfrac{2}{32}}=\sqrt{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{1}{8}$

• 1 : 4는 몰 질량 비만 반영하고 온도 차를 무시한 값이다.
• 8 : 1과 4 : 1은 가벼운 수소가 더 빠르다는 점과 반대로 비를 뒤집은 값이다.

유리의 굴절률은 $\sqrt{1.25}$이다.

윗면에서 굴절각을 $r$라 하면 $\sin30^\circ=n\sin r$, 즉 $\sin r=\dfrac{0.5}{n}$이다.
윗면과 옆면의 법선이 수직이므로 옆면 입사각은 $90^\circ-r=\theta_c$이고, 임계각 조건 $\sin\theta_c=\cos r=\dfrac{1}{n}$이다.

$\sin^2 r+\cos^2 r=\dfrac{0.25}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}=1$ → $n^2=1.25$

• $\sqrt{1.5}$, $\sqrt{1.75}$는 이 관계식을 만족하지 않는다.
• $\sqrt{2}$는 입사각이 직각에 가까울 때(스침 입사)의 값이다.

$R_2$는 1 Ω, $C_1$은 4 μF이다.

충전이 끝나면 축전기 가지($R_3$와 $C_1$ 직렬)로는 전류가 흐르지 않는다. 따라서 전류는 $R_1$과 $R_2$만 지난다.

$I=\dfrac{6}{2+R_2}=2$ → $R_2=1\,\Omega$
$R_3$에 전압강하가 없으므로 축전기 전압은 $R_2$ 양단 전압 $2\times1=2\,\mathrm{V}$, $C_1=\dfrac{8}{2}=4\,\mu\mathrm{F}$

• 2 Ω으로 보면 전류가 1.5 A가 되어 조건과 맞지 않는다.
• 2 μF는 축전기 전압을 4 V로 잘못 잡을 때의 값이다.

등압과정에서는 샤를 법칙($V\propto T$)에 따라 체적이 절대온도에 비례하므로 3배가 된다.

$T_1=273\ \mathrm{K},\ T_2=546+273=819\ \mathrm{K}$
$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{819}{273}=3$

• 1배는 압력이 일정한데 체적도 변하지 않는다고 본 것으로, 온도가 오르면 체적은 늘어난다.
• 2배는 섭씨온도 546을 273으로 나눈 값으로, 절대온도로 바꾸지 않은 오류이다.
• 5배는 온도 비와 관계없는 값이다.

B가 A에 작용한 힘의 크기는 4 N이다.

질량은 $m_A=\dfrac{6}{2}=3\,\mathrm{kg}$, $m_B=\dfrac{6}{3}=2\,\mathrm{kg}$이다.
붙인 상태의 가속도는 $a=\dfrac{10}{5}=2\,\mathrm{m/s^2}$이다.

그림처럼 힘이 A쪽에 작용하면 B를 가속하는 힘은 A가 B에 준 힘 $2\times2=4\,\mathrm{N}$이고, 작용·반작용으로 B가 A에 작용한 힘도 4 N이다.

• 6 N은 A가 받는 알짜힘($3\times2$)으로, 접촉력이 아니다.
• 1 N, 2 N은 B를 $2\,\mathrm{m/s^2}$로 가속하는 데 필요한 힘보다 작다.

핵반응에서 질량수와 원자번호가 보존되므로 남는 원자핵은 ${}^{7}\mathrm{Li}$이다.

${}^{10}_{5}\mathrm{B}+{}^{1}_{0}\mathrm{n}\rightarrow{}^{4}_{2}\mathrm{He}+{}^{A}_{Z}\mathrm{X}$
질량수: $A=11-4=7$, 원자번호: $Z=5-2=3$ → 리튬

• ${}^{4}\mathrm{He}$는 방출된 알파 입자 자체이다.
• ${}^{12}\mathrm{C}$는 질량수가 반응 전 합 11을 넘어 보존을 위반한다.
• ${}^{14}\mathrm{N}$도 질량수·원자번호 모두 보존을 만족하지 않는다.

상대론적 운동량은 고전 운동량의 로렌츠 인자 $\gamma$배이고, $v=0.6c$에서 $\gamma=\dfrac{5}{4}$이다.

$p=\gamma m v,\quad \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0.36}}=\dfrac{1}{0.8}=\dfrac{5}{4}$

• $\dfrac{6}{5}$는 $\gamma=1.2$에 해당해 속력 0.6c에서의 값 1.25보다 작다.
• $\dfrac{8}{7}$는 약 1.14로 실제 $\gamma$보다 작다.
• $\dfrac{7}{6}$은 약 1.17로 역시 실제 $\gamma$보다 작다.

발머 계열의 최장 파장은 $n=3\to2$, 최단 파장은 $n=\infty\to2$ 전이로, 비는 1.8이다.

뤼드베리 식 $\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)$
최장: $\dfrac{1}{\lambda_{\max}}=R\cdot\dfrac{5}{36}$, 최단: $\dfrac{1}{\lambda_{\min}}=R\cdot\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}=\dfrac{1/4}{5/36}=\dfrac{9}{5}=1.8$

• 1.4는 계산한 비 $\dfrac{9}{5}$보다 작아 맞지 않는다.
• 2.3은 계산한 비보다 커서 맞지 않는다.
• 2.6도 계산한 비보다 커서 맞지 않는다.

반지름 $2R$인 고리의 돌림힘은 $2\tau$이다.

고리 면이 자기장과 나란하므로 돌림힘은 $\tau=\mu B=IAB$이다.

작은 고리: $2I\cdot\pi R^2 B=\tau$
큰 고리: $I\cdot\pi(2R)^2B=4I\pi R^2B=2\tau$

• $\tau$는 전류 차이만 보고 면적 차이를 빼먹은 값이다.
• $4\tau$, $8\tau$는 전류가 절반인 점을 무시한 값이다.

전기장은 $\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\left[\dfrac{r^3-b^3}{a^3-b^3}\right]$이다.

반지름 $r$인 구면에 가우스 법칙을 쓰면 둘러싼 전하만 기여한다. 전하가 부피에 균일하므로 둘러싼 전하는 부피 비에 비례한다.

$Q_{in}=Q\dfrac{r^3-b^3}{a^3-b^3}$, $E=\dfrac{Q_{in}}{4\pi\epsilon_0 r^2}$

• 제곱 비를 쓴 식은 부피가 아닌 면적 비율로, 구 껍질 사이 부피 분포와 맞지 않는다.
• 지수 3/2가 붙은 식들은 둘러싼 전하량의 비율 형태가 아니다.

각진동수는 $20\ \mathrm{rad/s}$, 최대 운동에너지는 $16\ \mathrm{J}$로 옳고, 용수철 상수는 800 N/m이므로 ㄴ, ㄷ만 옳다.

ㄴ: $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{\pi/10}=20\ \mathrm{rad/s}$
ㄱ: $k=m\omega^2=2\times 20^2=800\ \mathrm{N/m}$
ㄷ: $E_{k,\max}=\dfrac{1}{2}kA^2=\dfrac{1}{2}\times 800\times 0.2^2=16\ \mathrm{J}$

• ㄱ은 용수철 상수를 실제의 2배로 제시해 틀린 설명이다.
• ㄴ은 주기에서 구한 각진동수와 같아 옳다.
• ㄷ은 진폭 0.2 m에서의 최대 탄성 에너지가 모두 운동에너지로 바뀐 값과 같아 옳다.

매질 A의 굴절률은 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$이다.

반사광이 완전 편광되었으므로 입사각이 브루스터 각이다: $\tan\theta_B=\dfrac{n_A}{n}$

$n_A=1.5\tan60^\circ=1.5\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

• $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$은 $1.5\tan60^\circ$와 맞지 않는다.
• $\dfrac{3}{2}$는 처음 매질과 같아 반사가 일어나지 않는다.
• $\sqrt{3}$은 처음 매질을 공기로 볼 때의 값이다.

옳은 것은 전기장 크기 진술과 전기장 방향 진술 두 가지이다.

직진하려면 전기력과 자기력이 평형: $eE=evB$ → $E=vB=5\times10^5\times0.4=2\times10^5\,\mathrm{V/m}$

오른쪽으로 움직이는 음전하가 지면에 들어가는 자기장에서 받는 자기력은 아래 방향이다. 따라서 전기력은 위 방향이어야 하고, 전자는 전기장과 반대로 힘을 받으므로 전기장은 위 판에서 아래 판으로 향한다.

• 전기장 크기가 $2\times10^5\,\mathrm{V/m}$라는 진술은 옳다.
• 전기장이 위 판에서 아래 판으로 향한다는 진술은 옳다.
• 자기력이 아래 판에서 위 판으로 향한다는 진술은 틀리다(양전하 기준 방향이다).