21년 1회차

탄성계수가 큰 가운데 재료 B의 외곽에서 최대 휨응력 500 MPa이 발생한다.

환산단면법: 탄성계수비 $n = E_B / E_A = 2$이므로 B의 폭을 2배로 환산하면 환산 폭은 $10 + 20 + 10 = 40\ \mathrm{mm}$이다.
$I_t = \dfrac{40 \times 60^3}{12} = 7.2 \times 10^5\ \mathrm{mm^4}$

재료 A 외곽: $\sigma_A = \dfrac{M y}{I_t} = \dfrac{6 \times 10^6 \times 30}{7.2 \times 10^5} = 250\ \mathrm{MPa}$
재료 B 외곽: $\sigma_B = n \sigma_A = 2 \times 250 = 500\ \mathrm{MPa}$

• 250 MPa: 재료 A 외곽의 응력으로, 같은 변형률에서 탄성계수가 2배인 재료 B의 응력이 더 크다.
• 300 MPa: 환산단면으로 구한 어느 재료의 외곽 응력과도 일치하지 않는다.
• 600 MPa: 재료 B 응력 500 MPa보다 크며 환산단면 계산에서 나오지 않는 값이다.

A단면의 최대 인장응력은 축인장응력과 휨인장응력의 합인 10.05 MPa이다.

축력: 300 N 수평력이 A단면에 축인장력으로 작용한다.
$\sigma_N = \dfrac{300}{60 \times 100} = 0.05\ \mathrm{MPa}$

휨모멘트: 200 N은 팔길이 8 m, 300 N은 보 축선에서 2 m 아래에 작용해 반대 방향 모멘트를 만든다.
$M = 200 \times 8 - 300 \times 2 = 1000\ \mathrm{N \cdot m} = 1.0 \times 10^6\ \mathrm{N \cdot mm}$
$Z = \dfrac{60 \times 100^2}{6} = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{mm^3}$, $\sigma_b = \dfrac{M}{Z} = 10.00\ \mathrm{MPa}$
인장 연단: $\sigma_{max} = 10.00 + 0.05 = 10.05\ \mathrm{MPa}$

• 9.90 MPa: 축력과 휨의 조합으로 나오지 않는 값이다.
• 9.95 MPa: 압축 연단의 응력 크기(휨압축에서 축인장을 뺀 값)이다.
• 10.00 MPa: 휨응력만 고려하고 축인장응력을 빠뜨린 값이다.

(b)단면과 (d)단면의 단면계수는 모두 $h^3/3$으로 같아 비가 1이므로, 비가 2라는 설명이 옳지 않다.

단면2차모멘트: (a) $\dfrac{h(2h)^3}{12} = \dfrac{2h^4}{3}$, (b) 대각선이 2h인 정사각형(한 변 $\sqrt{2}h$) $\dfrac{(\sqrt{2}h)^4}{12} = \dfrac{h^4}{3}$, (c) $\dfrac{\pi h^4}{4}$, (d) $\dfrac{2h \cdot h^3}{12} = \dfrac{h^4}{6}$

단면계수: (b) $\dfrac{h^4/3}{h} = \dfrac{h^3}{3}$, (c) $\dfrac{\pi h^4/4}{h} = \dfrac{\pi h^3}{4}$, (d) $\dfrac{h^4/6}{h/2} = \dfrac{h^3}{3}$

• (a)와 (b)의 단면2차모멘트 비: $\dfrac{2/3}{1/3} = 2$로 옳다.
• (a)와 (d)의 단면2차모멘트 비: $\dfrac{2/3}{1/6} = 4$로 옳다.
• (b)와 (c)의 단면계수 비: $\dfrac{1/3}{\pi/4} = \dfrac{4}{3\pi}$로 옳다.

전단 변형으로 구한 전단탄성계수를 환산하면 탄성 지지판의 탄성계수는 125 MPa이다.

전단응력: $\tau = \dfrac{V}{A} = \dfrac{10000}{100 \times 200} = 0.5\ \mathrm{MPa}$
전단변형률: $\gamma = \dfrac{0.5}{50} = 0.01$
$G = \dfrac{\tau}{\gamma} = 50\ \mathrm{MPa}$

탄성계수와 전단탄성계수의 관계: $E = 2G(1 + \nu) = 2 \times 50 \times 1.25 = 125\ \mathrm{MPa}$

• 100 MPa: 포아송비를 빼고 $2G$만 계산한 값이다.
• 50 MPa: 전단탄성계수 G 자체로, E로 환산하지 않은 값이다.
• 25 MPa: G보다도 작아 탄성계수 관계와 맞지 않는다.

T형 단면의 소성모멘트는 $M_P = 6\sigma_y a^3$이고 고정단 모멘트가 PL이므로 $P = \dfrac{6\sigma_y a^3}{L}$이다.

소성중립축은 단면적을 이등분한다. 플랜지 $3a \times a = 3a^2$, 웨브 $a \times 3a = 3a^2$로 같으므로 소성중립축은 플랜지와 웨브의 경계에 놓인다.

$M_P = \sigma_y\left(3a^2 \cdot \dfrac{a}{2} + 3a^2 \cdot \dfrac{3a}{2}\right) = 6\sigma_y a^3$
$PL = M_P$ → $P = \dfrac{6\sigma_y a^3}{L}$

• $\dfrac{12\sigma_y a^3}{L}$: 소성모멘트를 2배로 과대평가한 값이다.
• $\dfrac{18\sigma_y a^3}{L}$: 소성모멘트를 3배로 과대평가한 값이다.
• $\dfrac{24\sigma_y a^3}{L}$: 소성모멘트를 4배로 과대평가한 값이다.

B점 수직반력은 $\dfrac{3\alpha \Delta T EI}{2hL}$이다.

선형 온도차에 의한 곡률은 $\kappa = \dfrac{\alpha \Delta T}{h}$이고, B점 지점이 없으면 자유단 처짐은 $\delta_T = \dfrac{\kappa L^2}{2} = \dfrac{\alpha \Delta T L^2}{2h}$이다.

적합조건: 반력 R에 의한 처짐 $\dfrac{RL^3}{3EI}$가 이를 상쇄해야 한다.
$R = \dfrac{3EI}{L^3} \cdot \dfrac{\alpha \Delta T L^2}{2h} = \dfrac{3\alpha \Delta T EI}{2hL}$

• $\dfrac{\alpha \Delta T EI}{2hL}$: 캔틸레버 처짐 계수 3을 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{\alpha \Delta T EI}{hL}$: 온도 처짐과 하중 처짐의 계수를 맞추지 않은 값이다.
• $\dfrac{2\alpha \Delta T EI}{hL}$: 적합조건에서 나오지 않는 값이다.

C점 수평변위는 $\dfrac{2PL^3}{3EI}$이다.

부재 CD는 양단이 힌지이고 하중이 없는 2력 부재라 수평반력이 0이므로, A점 수평반력이 P이고 A점 모멘트 평형으로 D점 수직반력은 P이다.
휨모멘트: 기둥 AB는 A에서 높이 y인 곳에서 $M = Py$(B에서 PL), 보 BC는 B의 PL에서 C의 0으로 선형 감소, 기둥 CD는 0이다.

축변형을 무시하므로 C점 수평변위는 B점 수평변위와 같다. 단위하중법(C점 수평 단위하중의 모멘트는 M/P):
$\delta_C = \dfrac{1}{EI}\left(\int_0^L P y^2\,dy + \int_0^L P x^2\,dx\right) = \dfrac{2PL^3}{3EI}$

• $\dfrac{PL^3}{3EI}$: 기둥 AB의 기여만 계산하고 보 BC를 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{PL^3}{EI}$: 두 부재 적분의 합과 맞지 않는다.
• $\dfrac{4PL^3}{3EI}$: 두 부재 기여를 2배로 계산한 값이다.

순수 비틀림에서는 최대 주인장응력이 전단응력과 같아 허용인장응력 80 MPa이 지배하므로 최대 비틀림모멘트는 $5\pi\ \mathrm{kN \cdot m}$이다.

순수전단 상태의 주응력: $\sigma_1 = \tau$, $\sigma_2 = -\tau$. 인장 조건 $\tau \le 80$, 압축 조건 $\tau \le 100$, 전단 조건 $\tau \le 100$ 중 가장 작은 $\tau = 80\ \mathrm{MPa}$이 허용값이다.

$T = \dfrac{\tau I_p}{d/2} = \dfrac{\pi d^3}{16}\tau = \dfrac{\pi \times 100^3}{16} \times 80 = 5\pi \times 10^6\ \mathrm{N \cdot mm}$
$T = 5\pi\ \mathrm{kN \cdot m}$

• $2\pi$: 허용응력에 도달하지 않는 작은 값이라 최대값이 아니다.
• $3\pi$: 허용응력에 도달하지 않는 작은 값이라 최대값이 아니다.
• $4\pi$: 허용응력에 도달하지 않는 작은 값이라 최대값이 아니다.

케이블 CD가 항복해 20 kN만 부담하므로 케이블 AB의 인장력은 35 kN이다.

대칭 하중이고 막대가 강체이므로 세 케이블의 신장량이 같다. 모두 탄성이라 가정하면 각 30 kN이고, 이때 CD 응력은 $\dfrac{30000}{100} = 300\ \mathrm{MPa} > 200\ \mathrm{MPa}$로 항복한다.

CD 부담력: $F_{CD} = 200 \times 100 = 20000\ \mathrm{N} = 20\ \mathrm{kN}$
AB·EF 분담: $F_{AB} = \dfrac{90 - 20}{2} = 35\ \mathrm{kN}$

• 25 kN: 평형식을 만족하지 않는 값이다.
• 30 kN: 세 케이블이 모두 탄성이라 보고 균등 분배한 값으로, CD의 항복을 무시했다.
• 40 kN: CD가 10 kN만 받는다는 뜻이 되어 항복하중 20 kN과 맞지 않는다.

스프링 힘이 $\dfrac{6W}{5}$이므로 스프링 신장량은 $\dfrac{6W}{5k}$이다.

보 전체 길이는 $2b + \dfrac{b}{2} = \dfrac{5b}{2}$이므로 무게를 길이 비로 나누면 수평부 $\dfrac{4W}{5}$(A에서 b 위치), 수직부 $\dfrac{W}{5}$(A에서 2b 위치)이다.

A점 모멘트 평형: $F_s b = \dfrac{4W}{5} b + \dfrac{W}{5} \cdot 2b$ → $F_s = \dfrac{6W}{5}$
$\delta = \dfrac{F_s}{k} = \dfrac{6W}{5k}$

• $\dfrac{5W}{6k}$: 스프링 힘을 역수로 뒤집은 값이다.
• $\dfrac{3W}{5k}$: 모멘트 평형에서 나오지 않는 과소값이다.
• $\dfrac{5W}{3k}$: 모멘트 평형에서 나오지 않는 과대값이다.

A점 수직반력이 B점의 2배인 40 kN이 되려면 P = 20 kN이어야 한다.

부재 CD는 양단 힌지이고 하중이 없는 2력 부재라 힘이 CD 방향으로만 전달된다. 보 DB에서 B점 모멘트 평형(D의 수평분력은 B와 같은 높이라 모멘트 0):
$V_D \times 4 = 40 \times 2$ → $V_D = 20\ \mathrm{kN}$, $V_B = 40 - 20 = 20\ \mathrm{kN}$

캔틸레버 AC에는 C점에서 20 kN이 아래로 전달되므로
$V_A = P + 20 = 2V_B = 40$ → $P = 20\ \mathrm{kN}$

• 15 kN: A점 반력이 35 kN이 되어 B점의 2배가 아니다.
• 25 kN: A점 반력이 45 kN이 되어 B점의 2배가 아니다.
• 30 kN: A점 반력이 50 kN이 되어 B점의 2배가 아니다.

세 힘은 도심을 지나는 10 kN과 우력 160 kN·mm로 정리되며, 합력 작용선이 x-x축과 만나는 점은 도심에서 $16\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$ 떨어져 있다.

두 4 kN은 크기가 같고 방향이 반대인 우력이며 팔길이는 40 mm: $M = 4 \times 40 = 160\ \mathrm{kN \cdot mm}$
10 kN은 대각선 방향으로 도심 O를 지나므로 O에 대한 모멘트가 0이다.

합력 크기는 10 kN(45° 방향)이고 연직성분은 $R_y = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\ \mathrm{kN}$이다. x-x축 위 교차점까지 거리 x에 대해
$R_y x = 160$ → $x = \dfrac{160}{5\sqrt{2}} = 16\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$

• $12\sqrt{2}$: 우력 모멘트 160 kN·mm를 만족하지 않는다.
• $14\sqrt{2}$: 우력 모멘트 160 kN·mm를 만족하지 않는다.
• $18\sqrt{2}$: 우력 모멘트 160 kN·mm를 만족하지 않는다.

구간별 내부 비틀림모멘트로 $U = \sum \dfrac{T^2 l}{2GJ}$를 계산하면 비는 6 : 8 : 3이다.

(a) 전 구간 T: $U_a \propto T^2 L$
(b) 고정단 쪽 L/3 구간만 2T, 나머지 0: $U_b \propto 4T^2 \cdot \dfrac{L}{3} = \dfrac{4}{3}T^2 L$
(c) 자유단 쪽 2L/3 구간은 T/2, 고정단 쪽 L/3 구간은 반대 방향 하중이 겹쳐 $\dfrac{T}{2} - \dfrac{3T}{2} = -T$: $U_c \propto \dfrac{T^2}{4} \cdot \dfrac{2L}{3} + T^2 \cdot \dfrac{L}{3} = \dfrac{1}{2}T^2 L$

$1 : \dfrac{4}{3} : \dfrac{1}{2} = 6 : 8 : 3$

• 6 : 8 : 11: (c)의 에너지가 (a)보다 커지는데, 고정단 쪽 구간 비틀림모멘트가 T로 상쇄되는 점과 맞지 않는다.
• 6 : 16 : 3: (b)의 에너지를 2배로 과대평가한 비이다.
• 6 : 16 : 11: (b)와 (c)를 모두 과대평가한 비이다.

A점 원주방향 변형률이 지배하며 최대 내부 압력은 0.20 MPa이다.

얇은 원통 응력: $\sigma_\theta = \dfrac{pr}{t} = 100p$, $\sigma_x = \dfrac{pr}{2t} = 50p$ (바깥면 반경방향 응력 0)

원주방향 변형률: $\varepsilon_\theta = \dfrac{\sigma_\theta - \nu \sigma_x}{E} = \dfrac{100p - 0.2 \times 50p}{180000} = \dfrac{90p}{180000}$
$\dfrac{90p}{180000} \le 1 \times 10^{-4}$ → $p \le 0.20\ \mathrm{MPa}$
축방향 변형률 $\dfrac{30p}{E}$는 이보다 작아 지배하지 않는다.

• 0.18 MPa: 포아송 효과를 무시하고 $\varepsilon_\theta = \sigma_\theta / E$로 계산한 값이다.
• 0.15 MPa: 원주방향 변형률 조건에서 나오지 않는 과소값이다.
• 0.10 MPa: 원주방향 변형률 조건에서 나오지 않는 과소값이다.

스프링이 $\dfrac{P}{3}$를 부담하므로 지점 A의 반력모멘트는 $\dfrac{2PL}{3}$이다.

스프링력을 R, C점 순하중을 $F = P - R$, $a = L/2$로 두면 B점에는 전단력 F와 모멘트 Fa가 작용한다.
$\delta_B = \dfrac{Fa^3}{3EI} + \dfrac{Fa \cdot a^2}{2EI} = \dfrac{5Fa^3}{6EI}$, $\theta_B = \dfrac{Fa^2}{2EI} + \dfrac{Fa \cdot a}{EI} = \dfrac{3Fa^2}{2EI}$
강체 BC: $\delta_C = \delta_B + \theta_B a = \dfrac{7Fa^3}{3EI} = \dfrac{7FL^3}{24EI}$

스프링 적합조건: $R = k\delta_C = \dfrac{12EI}{7L^3} \cdot \dfrac{7FL^3}{24EI} = \dfrac{F}{2}$ → $R = \dfrac{P}{3}$, $F = \dfrac{2P}{3}$
$M_A = FL = \dfrac{2PL}{3}$

• $\dfrac{PL}{4}$: 스프링 분담을 과대평가한 값이다.
• $\dfrac{3PL}{4}$: 스프링 분담을 과소평가한 값이다.
• $\dfrac{PL}{3}$: 스프링 분담과 보 분담을 뒤바꾼 값이다.

고정단 부모멘트로 하연에 생기는 1.00 MPa이 최대 휨압축응력이다.

힌지~롤러 걸친 보(6 m) 중앙의 2 kN: 양단 반력 1 kN, 하중점 정모멘트 $M^{+} = 1 \times 3 = 3\ \mathrm{kN \cdot m}$
힌지 반력 1 kN이 캔틸레버로 전달되어 고정단 부모멘트 $M^{-} = 1 \times 2 = 2\ \mathrm{kN \cdot m}$

정모멘트는 상연 압축(중립축에서 0.5 m): $\sigma = \dfrac{3 \times 0.5}{2.0 \times 10^{-3}} = 750\ \mathrm{kPa} = 0.75\ \mathrm{MPa}$
부모멘트는 하연 압축(중립축에서 1 m): $\sigma = \dfrac{2 \times 1}{2.0 \times 10^{-3}} = 1000\ \mathrm{kPa} = 1.00\ \mathrm{MPa}$

• 0.75 MPa: 정모멘트 구간의 상연 압축만 본 값이다.
• 1.25 MPa: 두 위치의 압축응력 어느 것과도 일치하지 않는다.
• 1.50 MPa: 정모멘트 3 kN·m에 하연 거리 1 m를 쓴 값으로, 이는 인장응력이다.

전단력이 0이 되는 위치가 지점 A에서 3 m이므로 그곳에서 휨모멘트가 최대이다.

하중 합력: 왼쪽 삼각형 $\dfrac{1}{2} \times 1 \times 12 = 6\ \mathrm{kN}$(A에서 2/3 m), 오른쪽 삼각형 $\dfrac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36\ \mathrm{kN}$(A에서 3 m)
B점 모멘트 평형: $7R_A = 6 \times \dfrac{19}{3} + 36 \times 4 = 182$ → $R_A = 26\ \mathrm{kN}$

최대 하중강도 지점에서 s만큼 떨어진 곳의 하중강도는 $12 - 2s$이므로
$V = 26 - 6 - (12s - s^2) = 0$ → $s^2 - 12s + 20 = 0$ → $s = 2\ \mathrm{m}$
A에서의 거리: 1 + 2 = 3 m

• 1 m: 하중강도가 최대인 위치로, 이곳의 전단력은 20 kN으로 0이 아니다.
• 2 m: 전단력이 아직 양(+)이라 모멘트가 증가하는 구간이다.
• 4 m: 전단력이 이미 음(-)이 된 구간이다.

정정 트러스라 온도변화로 부재력이 생기지 않고 자유팽창만 일어나며, B점 수직처짐은 $3\alpha \Delta T L$이다.

부재 신장량: CB $4\alpha \Delta T L$, AB $5\alpha \Delta T L$
CB가 수평이므로 B점 수평변위는 $u = 4\alpha \Delta T L$(오른쪽)이다.

AB 방향 적합조건: A→B 방향 성분은 수평 0.8, 하향 0.6이므로 하향 처짐을 v라 하면
$0.8 \times 4\alpha \Delta T L + 0.6v = 5\alpha \Delta T L$ → $0.6v = 1.8\alpha \Delta T L$ → $v = 3\alpha \Delta T L$

• $2\alpha \Delta T L$: 적합조건을 만족하지 않는 과소값이다.
• $4\alpha \Delta T L$: 부재 CB의 신장량(수평변위)과 혼동한 값이다.
• $5\alpha \Delta T L$: 부재 AB의 신장량과 혼동한 값이다.

탄성핵 반높이가 h/4가 되는 곡률에서 $R = 250h$이다.

그림에서 중립축 위아래 h/4까지만 응력이 선형(탄성)이고 바깥은 항복응력으로 일정하므로, 탄성핵 경계의 변형률이 항복변형률이다.
$\varepsilon_y = \dfrac{\sigma_y}{E} = \dfrac{200}{200000} = 0.001$

곡률과 변형률의 관계 $\varepsilon = \dfrac{y}{R}$에서 $y_e = \dfrac{h}{4}$:
$R = \dfrac{h/4}{0.001} = 250h$

• 150h: 곡률이 커져 탄성핵이 h/4보다 얇아진다.
• 350h: 곡률이 작아 탄성핵이 h/4보다 두꺼워진다.
• 450h: 곡률이 작아 탄성핵이 h/4보다 두꺼워진다.

왼쪽 트러스는 상현재만 힘을 전달하므로 부재 AB와 부재 DF의 부재력이 같다.

왼쪽 절점: B에서 BA·BD가 일직선이라 BC=0, F에서 FG=0, C에서 CA·CE가 일직선이라 CD=0, G에서 GE·GH가 일직선이라 GD=0, D에서 DB·DF가 일직선이라 DE=0이다. 남은 상현재 AB·BD·DF·FH가 같은 힘을 전달한다.

오른쪽 절점: J에서 JH·JL이 일직선이라 JI=0, I에서 IH·IK가 일직선이라 IL=0이다. L의 수평하중 P는 상현재 방향과 어긋나므로 KL이 힘을 받는다.

• 부정정 구조라는 설명: 절점 15, 부재 26, 반력 4로 $26 + 4 = 2 \times 15$이고, 두 트러스가 H에서 핀으로 연결된 3힌지 구조라 정정이다.
• DE와 KL이 0이라는 설명: DE는 0이지만 KL은 하중 P를 받아 0이 아니다.
• IL의 부재력이 P라는 설명: IL은 영부재이다.