21년 1회차

나중 온도는 216 K, 즉 −57 °C이다.

몰 수가 일정하므로 보일·샤를 법칙 $\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_2V_2}{T_2}$를 쓰며, 온도는 반드시 절대온도로 바꿔 대입한다.

$T_1=15+273=288\,\mathrm{K}$
$T_2=T_1\cdot\dfrac{P_2V_2}{P_1V_1}=288\times\dfrac{15\times5}{10\times10}=216\,\mathrm{K}$
$216-273=-57\,^{\circ}\mathrm{C}$

섭씨온도를 그대로 넣어 계산하면 전혀 다른 값이 나오므로 켈빈 변환이 핵심이다.

분자당 평균 병진 운동 에너지는 $\dfrac{3}{2}k_{\mathrm{B}}T$이다.

에너지 등분배 정리에 따라 자유도 하나당 $\dfrac{1}{2}k_{\mathrm{B}}T$가 배분되고, 3차원 병진 운동의 자유도는 $x,y,z$ 세 개다.

• $k_{\mathrm{B}}T$: 자유도 2개(2차원 병진)에 해당하는 값이다.
• $\dfrac{5}{2}k_{\mathrm{B}}T$: 이원자 분자의 병진과 회전을 합한 평균 운동 에너지다.
• $\dfrac{7}{2}k_{\mathrm{B}}T$: 이원자 분자에 진동 자유도까지 더한 값으로, 병진 성분만의 값이 아니다.

두 번째 거울에서 반사된 빛은 지면의 법선과 15°를 이룬다.

첫 번째 거울에서 입사각 45°로 반사되므로 광선은 수평면 위 45° 방향으로 진행한다. 두 거울이 120°를 이루므로 두 번째 거울은 수평면 위 60°로 기울어 있다.

경사각 $\alpha$인 거울에 각 $\beta$로 진행하던 빛의 반사 방향은 거울면에 대한 대칭이므로 $2\alpha-\beta=2(60^\circ)-45^\circ=75^\circ$이다.
따라서 연직선과의 각은 $\theta=90^\circ-75^\circ=15^\circ$이다.

• 10°는 반사 방향을 80°로 잘못 잡은 값이다.
• 20°, 25°는 거울 기울기를 120°에서 바로 대입하는 등 경사각 처리를 잘못한 결과로, 75° 반사 방향과 맞지 않는다.

백색광이 색깔별로 갈라지는 현상은 분산이다.

프리즘 매질의 굴절률이 파장에 따라 달라 짧은 파장(보라)일수록 더 크게 굴절하므로 색이 분리된다.

• 반사: 경계면에서 빛이 되돌아오는 현상으로, 색을 분리하지 않는다.
• 회절: 빛이 장애물이나 좁은 틈 뒤로 퍼져 들어가는 현상이다.
• 간섭: 두 파동이 겹쳐 보강·상쇄되는 현상이다.

추가 입자의 위치벡터는 $-\dfrac{a}{2}\hat{x}+a\hat{y}$이다.

질량중심이 원점이려면 $\sum m_i\vec{r}_i=0$이어야 한다.

$m(\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3)=m(a\hat{x}-2a\hat{y})$
$2m\vec{r}_4=-m(a\hat{x}-2a\hat{y})$
$\vec{r}_4=-\dfrac{a}{2}\hat{x}+a\hat{y}$

• $a\hat{x}-2a\hat{y}$: 세 입자 위치의 합 자체로, 부호와 질량비를 반영하지 않았다.
• $-a\hat{x}+2a\hat{y}$: 부호는 맞지만 추가 입자의 질량 $2m$로 나누지 않았다.
• $-\dfrac{a}{2}\hat{x}-a\hat{y}$: $y$성분 부호가 반대라 합이 0이 되지 않는다.

화살의 속력은 50 m/s이다.

2 m 높이에서 수평으로 던져진 물체의 낙하 시간은 $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2(2)}{10}}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}\,\mathrm{s}$이다.
충돌 직후 속력은 $V=\dfrac{5\sqrt{10}}{2/\sqrt{10}}=25\,\mathrm{m/s}$이다.

완전 비탄성 충돌에서 운동량 보존: $(0.1)v=(0.1+0.1)(25)$이므로 $v=50\,\mathrm{m/s}$이다.

• 75 m/s, 150 m/s는 충돌 직후 속력 25 m/s와 질량 비 2배 관계에 맞지 않는다.
• 100 m/s는 낙하 시간이나 질량 합을 잘못 적용한 값이다.

무한 퍼텐셜 우물의 에너지는 n의 제곱에 비례하므로 $E_3-E_2=\dfrac{5}{3}E_o$이다.

$E_n=n^2E_1$이므로 $E_2-E_1=4E_1-E_1=3E_1=E_o$, 즉 $E_1=\dfrac{E_o}{3}$이다.
$E_3-E_2=9E_1-4E_1=5E_1=\dfrac{5}{3}E_o$이다.

• $\dfrac{1}{3}E_o$는 바닥상태 에너지 자체이다.
• $\dfrac{1}{2}E_o$, $2E_o$는 에너지 간격이 준위가 높을수록 커진다는 점(3:5)과 맞지 않는다.

옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

진공 중 전자기파는 $E=cB$를 만족하고, 에너지 흐름은 포인팅 벡터 $\vec{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}$의 방향이다.

• ㄱ(옳음): 에너지 전달 방향은 $\vec{E}\times\vec{B}$ 방향, 곧 파동의 진행 방향이다.
• ㄴ(틀림): 비 $\dfrac{E}{B}$는 $\dfrac{c}{2}$가 아니라 $c$이다.
• ㄷ(옳음): $\dfrac{1}{2}\varepsilon_0E^2=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0c^2B^2=\dfrac{B^2}{2\mu_0}$이므로 두 에너지 밀도는 같다.

각속도는 $\omega=\dfrac{mv}{\left(\frac{M}{2}+m\right)R}$이다.

사람이 접선 방향으로 가장자리에 올라타는 과정에서 축에 대한 외부 돌림힘이 없으므로 각운동량이 보존된다. 사람의 처음 각운동량은 $mvR$이다.

원판의 관성모멘트는 $\dfrac{1}{2}MR^2$, 가장자리의 사람은 $mR^2$이므로 $mvR=\left(\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2\right)\omega$에서 결과가 나온다.

• 분모가 $(M+m)R$인 것은 원판을 고리($MR^2$)로 본 경우이다.
• 분모가 $(2M+m)R$, $(4M+m)R$인 것은 원판 관성모멘트를 과대 적용한 값이다.

분자 수의 비는 1 : 3이다.

칸막이가 정지해 있으므로 양쪽 기체의 압력이 같다. 이상기체 상태방정식 $PV=NkT$에서 압력과 온도가 같으면 분자 수는 부피에 비례한다.

$N_{\mathrm{A}}:N_{\mathrm{B}}=V:3V=1:3$이며, 분자 1개의 질량은 결과에 영향을 주지 않는다.

• 2 : 3은 분자 질량 비를 반영한 값이지만, 같은 압력·온도에서 분자 수는 분자 질량과 무관하다.
• 3 : 2, 4 : 3은 부피가 큰 쪽의 분자 수가 더 적다는 결과로, 같은 압력·온도 조건과 모순된다.

용수철 상수가 2배가 되면 진동수는 $\sqrt{2}f$가 된다.

용수철 진자의 진동수는 $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$이며, 연직으로 매달아도 중력은 평형점만 옮길 뿐 진동수에는 영향을 주지 않는다.

$f'=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{2k}{m}}=\sqrt{2}f$

• $\dfrac{f}{2}$: 진동수가 $k$에 반비례한다고 잘못 본 값이다.
• $\dfrac{f}{\sqrt{2}}$: 주기 변화($T\propto\dfrac{1}{\sqrt{k}}$)와 혼동한 값이다.
• $f$: 진동수가 $k$와 무관하다고 본 것으로, 단진자와 혼동한 경우다.

진행파의 속력은 $\dfrac{b}{a}$이다.

$y=A\sin(kx-\omega t)$와 비교하면 파수 $k=a$, 각진동수 $\omega=b$이고, 파동의 속력은 $v=\dfrac{\omega}{k}$이다.

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{b}{a}$

• $ab$: 파수와 각진동수를 곱한 값으로 속력의 차원이 아니다.
• $c(a+b)$: 진폭 $c$는 파동의 속력과 무관하다.
• $\dfrac{a}{b}$: 비를 거꾸로 잡은 값으로, 속력의 역수에 해당한다.

옳지 않은 설명은 강자성체가 퀴리 온도보다 낮은 온도에서 상자성체가 된다는 것이다.

강자성체는 퀴리 온도보다 높은 온도에서 열운동으로 자기 구역의 정렬이 깨져 상자성체가 된다.

• 철·코발트·니켈은 대표적인 강자성체이므로 옳다.
• 상자성체에는 외부 자기장과 같은 방향으로 알짜 자기 쌍극자모멘트가 생기므로 옳다.
• 반자성체에는 외부 자기장과 반대 방향으로 알짜 자기 쌍극자모멘트가 생기므로 옳다.

질량 중심의 속력은 $\sqrt{\dfrac{8}{3}\dfrac{FL}{M}}$이다.

힘이 원통 꼭대기에 작용하고 미끄러짐 없이 구르므로 꼭대기 점의 속력은 중심의 2배이고, 중심이 $L$ 이동할 때 실은 2L 풀린다. 정지마찰력은 일을 하지 않으므로 힘이 한 일은 $2FL$이다.

운동 에너지는 $\dfrac{1}{2}Mv^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}MR^2\right)\left(\dfrac{v}{R}\right)^2=\dfrac{3}{4}Mv^2$이다.
$2FL=\dfrac{3}{4}Mv^2$에서 $v^2=\dfrac{8FL}{3M}$이다.

• $\sqrt{\frac{4}{3}\frac{FL}{M}}$는 일을 $FL$로 잡은 경우이다.
• $\sqrt{\frac{10}{7}\frac{FL}{M}}$는 일을 $FL$로 잡고 속이 찬 구의 관성모멘트를 쓴 값이다.
• $\sqrt{\frac{2FL}{M}}$는 일을 $FL$로 잡고 회전 운동 에너지까지 무시한 경우이다.

점 P의 전기장 크기는 $k\dfrac{\sqrt{3}q}{4r^2}$이다.

각 전하에서 P까지의 거리는 $\sqrt{(\sqrt{3}r)^2+r^2}=2r$이므로, 각 전하가 만드는 전기장 크기는 $k\dfrac{q}{4r^2}$이다.

두 전기장의 수직 성분은 상쇄되고, 두 전하를 잇는 방향 성분만 더해진다. 그 방향과 이루는 각의 코사인은 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $E=2\cdot k\dfrac{q}{4r^2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=k\dfrac{\sqrt{3}q}{4r^2}$이다.

• $k\frac{q}{4r^2}$는 한 전하의 전기장만 고려한 값이다.
• $k\frac{q}{2r^2}$는 두 전기장을 성분 분해 없이 단순히 더한 값이다.
• $k\frac{\sqrt{3}q}{2r^2}$는 성분 합을 두 배로 과대 계산한 값이다.

외부에서 한 일은 $\dfrac{mA^4t^2}{8}$이다.

$v^2=A^2s$를 등가속도 관계 $v^2=2as$와 비교하면 가속도가 $\dfrac{A^2}{2}$로 일정하다.

$v=\dfrac{A^2}{2}t$
$W=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m\cdot\dfrac{A^4t^2}{4}=\dfrac{mA^4t^2}{8}$

• $\dfrac{mA^4t^2}{4}$: 운동 에너지의 $\dfrac{1}{2}$을 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{mA^4t^2}{2}$: 가속도를 $A^2$로 잘못 잡은 값이다.
• $mA^4t^2$: 가속도를 $A^2$로 잡고 $\dfrac{1}{2}$까지 빠뜨린 값이다.

전기장의 크기는 $\dfrac{mg}{Q}\tan\theta$이다.

공에는 중력 $mg$, 전기력 $QE$(수평), 실의 장력 $T$가 작용하며 힘의 평형을 이룬다.

연직 방향 $T\cos\theta=mg$, 수평 방향 $T\sin\theta=QE$이므로 두 식을 나누면 $\tan\theta=\dfrac{QE}{mg}$, 즉 $E=\dfrac{mg}{Q}\tan\theta$이다.

• $\frac{mg}{Q}\sin\theta$는 장력을 $mg$로 잘못 둔 경우이다.
• $\frac{mg}{Q}\cos\theta$, $\frac{mg}{Q}\sin\theta\cos\theta$는 두 평형 조건을 연립해서 나오지 않는 형태이다.

옳은 것은 ㄱ뿐이다.

불확정성 원리는 서로 교환되지 않는 물리량 쌍에만 적용된다($\Delta x\,\Delta p\geq\dfrac{\hbar}{2}$).

• ㄱ(옳음): 위치와 운동량은 교환되지 않는 짝이므로 동시에 정확히 측정할 수 없다.
• ㄴ(틀림): 자유 입자의 해밀토니안은 운동량만의 함수라서 에너지와 운동량을 동시에 정확히 정할 수 있는 경우가 있다.
• ㄷ(틀림): 교환 가능한 물리량(예: 위치의 $x$성분과 $y$성분)은 동시에 정확히 측정할 수 있다.

최저점에서의 장력은 $1.8mg$이다.

최고점(진폭 끝)에서는 속력이 0이라 구심력이 필요 없으므로 장력은 $T=mg\cos\theta_0$이다.

$mg\cos\theta_0=0.6mg\Rightarrow\cos\theta_0=0.6$
$v^2=2gL(1-\cos\theta_0)=0.8gL$
$T=mg+\dfrac{mv^2}{L}=mg+0.8mg=1.8mg$

최저점 장력은 중력과 구심력의 합이므로, 역학적 에너지 보존으로 최저점 속력을 먼저 구하는 것이 핵심이다.

레이저가 초당 방출하는 광자는 $1\times10^{16}$개이다.

광자 1개의 에너지는 $E=\dfrac{hc}{\lambda}$이고, 광자 수는 총 에너지를 이 값으로 나눈 것이다.

$E=\dfrac{(6\times10^{-34})(3\times10^{8})}{600\times10^{-9}}=3\times10^{-19}\,\mathrm{J}$
$N=\dfrac{3\times10^{-3}}{3\times10^{-19}}=1\times10^{16}$