22년 1회차

사면하단의 압성토를 제거하면 활동에 저항하는 힘이 줄어 사면 안정성이 오히려 낮아진다.

압성토는 사면 끝에 흙을 쌓아 활동면 하부의 저항 모멘트를 키우는 억지 공법이므로, 이를 없애는 것은 안정성 향상 요소가 아니다.

• 흙의 전단강도 증가: 활동에 저항하는 힘이 커져 안전율이 높아진다.
• 사면의 경사 완화: 활동을 일으키는 흙 자중 성분(활동 모멘트)이 줄어든다.
• 배수시설 설치: 간극수압을 낮춰 유효응력과 전단강도를 높인다.

비압밀비배수(UU) 시험에서 포화 점토의 비배수 전단강도는 파괴 시 축차응력의 절반이다.

$c_u = \dfrac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$
$= \dfrac{100}{2} = 50\ \mathrm{kN/m^2}$

포화 점토의 UU 시험은 구속압력을 바꿔도 Mohr 원의 크기가 같아 $\phi_u = 0$ 이므로, 구속압력은 강도 계산에 쓰이지 않는다.

• 40은 구속압력을 그대로 강도로 본 값이다.
• 100은 축차응력 전체, 즉 Mohr 원의 지름에 해당한다.

완전보상기초는 굴착으로 제거한 흙의 무게가 건물 총하중과 같아 지반의 순증가응력이 0이 되는 기초로, 필요한 근입깊이는 10 m이다.

조건: $Q = \gamma \cdot A \cdot D_f$
대입: $40000 = 20 \times (10 \times 20) \times D_f$
결과: $D_f = \dfrac{40000}{4000} = 10\ \mathrm{m}$

• 2 m: 제거되는 흙 무게가 8,000 kN으로 하중의 1/5만 보상한다.
• 5 m: 제거되는 흙 무게가 20,000 kN으로 하중의 절반만 보상한다.
• 15 m: 제거되는 흙 무게가 60,000 kN으로 하중보다 커서 과보상이 된다.

2:1 분포법에서 작용 압력이 q의 25 %가 되는 깊이는 1.0B 이다.

하중은 깊이 z에서 한 변이 B+z인 정사각형으로 퍼지므로
$\Delta\sigma = \dfrac{qB^2}{(B+z)^2}$

$\dfrac{B^2}{(B+z)^2} = 0.25$ → $B+z = 2B$ → $z = B$

• 1.5B 깊이에서는 $\dfrac{1}{2.5^2} = 0.16$, 즉 16 %에 불과하다.
• 2.0B 깊이에서는 $\dfrac{1}{3^2} \approx 0.11$ 이다.
• 2.5B 깊이에서는 $\dfrac{1}{3.5^2} \approx 0.08$ 이다.

압밀계수·체적변화계수로 구한 투수계수는 $2.0\times10^{-6}\ \mathrm{m/min}$ 이다.

압밀계수: 양면배수이므로 배수거리 $H_{dr} = 20\ \mathrm{mm} = 0.02\ \mathrm{m}$
$c_v = \dfrac{T_v H_{dr}^2}{t} = \dfrac{0.2\times0.02^2}{2} = 4\times10^{-5}\ \mathrm{m^2/min}$

체적변화계수: $a_v = \dfrac{\Delta e}{\Delta\sigma\prime} = \dfrac{0.5}{50} = 0.01\ \mathrm{m^2/kN}$
$m_v = \dfrac{a_v}{1+e_0} = \dfrac{0.01}{2} = 0.005\ \mathrm{m^2/kN}$

투수계수: $k = c_v m_v \gamma_w = 4\times10^{-5}\times0.005\times10 = 2.0\times10^{-6}\ \mathrm{m/min}$

• 배수거리는 시료 두께 전체가 아니라 절반을 써야 하며, 전체를 쓰면 압밀계수가 4배로 커진다.
• 체적변화계수의 분모는 초기 간극비 기준 $1+e_0 = 2.0$ 이다.

A－A 단면의 유효응력은 하향침투 시 30 $kN/m^{2}$, 상향침투 시 10 $kN/m^{2}$이다.

동수경사: $i = \dfrac{\Delta h}{z} = \dfrac{1}{2} = 0.5$
침투압: $i \gamma_w z = 0.5 \times 10 \times 2 = 10\ \mathrm{kN/m^2}$

하향침투(침투압 가산): $\sigma' = (20 - 10) \times 2 + 10 = 30$
상향침투(침투압 차감): $\sigma' = (20 - 10) \times 2 - 10 = 10$

• 10과 30 조합: 하향과 상향의 값이 서로 뒤바뀌었다.
• 20과 40 조합: 하향침투 값이 침투가 없을 때의 유효응력 20에 머물러 침투압을 반영하지 않았다.
• 40과 20 조합: 상향침투 값이 침투가 없을 때의 유효응력 20에 머물러 침투압을 반영하지 않았다.

두 흙이 물 흐름 방향으로 직렬 연결되어 있으므로 등가투수계수를 구해 다르시 법칙을 적용하면 유량은 4.0 $cm^{3}/sec$이다.

등가투수계수: $k_v = \dfrac{L_A + L_B}{\dfrac{L_A}{k_A} + \dfrac{L_B}{k_B}} = \dfrac{300}{\dfrac{200}{0.1} + \dfrac{100}{0.2}} = \dfrac{300}{2500} = 0.12\ \mathrm{cm/sec}$

동수경사: $i = \dfrac{100}{300} = \dfrac{1}{3}$
유량: $q = k_v i A = 0.12 \times \dfrac{1}{3} \times 100 = 4.0\ \mathrm{cm^3/sec}$

• 4.4: 두께 가중 산술평균 투수계수(약 0.133 cm/sec)를 쓴 값으로, 수평 흐름에 해당하는 계산이다.
• 5.0: 두 투수계수의 단순 산술평균(0.15 cm/sec)을 쓴 값이다.
• 5.6: 직렬 흐름의 등가투수계수로 계산한 값과 맞지 않는다.

피에조미터 수위가 10 m에서 4 m로 내려가면 평균압밀도 60 %이고, 하부가 불투수층인 일면배수이므로 배수거리 20 m를 써서 시간은 $0.60 \times 10^{7}$ min이다.

초기 과잉간극수압: $100 / 10 = 10\ \mathrm{m}$ 수두
압밀도: $U = 1 - \dfrac{4}{10} = 0.6$ → 표에서 $T_v = 0.30$

시간: $t = \dfrac{T_v H^2}{c_v} = \dfrac{0.30 \times 20^2}{2 \times 10^{-5}} = 6 \times 10^{6} = 0.60 \times 10^{7}\ \mathrm{min}$

• $0.36 \times 10^{7}$: 수위비 4/10을 그대로 압밀도 40 %로 보아 시간계수 0.18을 쓴 값이다.
• $0.80 \times 10^{7}$: 압밀도 70 %의 시간계수 0.40을 쓴 값이다.
• $1.20 \times 10^{7}$: 압밀도 80 %의 시간계수 0.60을 쓴 값이다.

수심 증가는 지반 전체에 정수압이 똑같이 더해지는 것과 같아, 옳은 설명은 간극수압 증가 하나뿐이다.

수심이 5 m 늘면 A점의 전응력과 간극수압이 모두 $5 \times \gamma_w$만큼 증가하므로 유효응력은 변하지 않는다.

• A점 유효응력 감소: 전응력과 간극수압이 같은 양만큼 늘어 유효응력은 그대로다.
• 침하량이 수심 증가량에 비례: 유효응력 변화가 없으므로 압밀침하가 생기지 않는다.
• 과압밀비 증가: 현재 유효응력과 선행압밀응력이 모두 변하지 않아 과압밀비도 그대로다.

전도 안전율은 옹벽 자중에 의한 저항모멘트에 비례하며 이는 두께의 제곱에 비례하므로, 안전율을 2배로 하려면 두께를 √2배로 늘려야 한다.

저항모멘트: $M_r = W \cdot \dfrac{D}{2} = (\gamma_c H D) \cdot \dfrac{D}{2} = \dfrac{\gamma_c H D^2}{2}$

높이가 같으면 토압에 의한 전도모멘트는 일정하므로 $F_s \propto D^2$이고, $D^2$이 2배가 되려면 $D$는 $\sqrt{2}$배가 되어야 한다. 이처럼 두께의 제곱에 비례함이 핵심이다.

• 1배: 두께를 그대로 두면 안전율도 변하지 않는다.
• 2배: 저항모멘트가 4배가 되어 안전율도 4배가 된다.
• 4배: 저항모멘트가 16배가 되어 안전율이 16배가 된다.

상대밀도 정의식에 대입하면 지반의 간극비는 0.6 이다.

$D_r = \dfrac{e_{\max} - e}{e_{\max} - e_{\min}}$
$0.5 = \dfrac{0.7 - e}{0.7 - 0.5}$ → $e = 0.7 - 0.1 = 0.6$

상대밀도 50 %는 최대·최소 간극비의 정중앙에 해당한다.

• 0.5는 최소 간극비로, 가장 조밀한 상태(상대밀도 100 %)이다.
• 0.7은 최대 간극비로, 가장 느슨한 상태(상대밀도 0 %)이다.
• 0.4는 최소 간극비보다 작아 상대밀도가 100 %를 넘는, 성립할 수 없는 값이다.

두 시험점을 잇는 파괴포락선의 절편인 점착력은 $200\ \mathrm{kN/m^2}$ 이다.

포락선 기울기: $\tan\phi = \dfrac{1800-1000}{2400-1200} = \dfrac{2}{3}$

$c = \tau - \sigma\tan\phi = 1000 - 1200\times\dfrac{2}{3} = 200\ \mathrm{kN/m^2}$

• 다른 시험점으로 검산하면 $1800 - 2400\times\dfrac{2}{3} = 200$ 으로 같다.
• 기울기를 원점 기준($\dfrac{1000}{1200}$)으로 잡으면 점착력이 0이 되어 두 시험점을 동시에 만족하지 못한다.

액상화는 느슨하고 포화된 모래(사질토)에서 일어나는 현상이므로, 배수가 잘 되지 않는 포화 점토지반에서 발생하기 쉽다는 설명은 옳지 않다.

점토는 점착력이 있어 유효응력이 크게 줄어도 전단강도가 0이 되지 않으므로 액상화가 잘 일어나지 않으며, 액상화는 입자 간 마찰로만 저항하는 사질토에서 유효응력이 0에 가까워질 때 생긴다.

• 지진동에 의한 모래의 수축 경향 → 간극수압 상승 → 유효응력 감소라는 발생 기구 설명은 옳다.
• 퇴적 이력이 짧고 느슨하며 지하수위가 지표 부근인 모래지반이 취약하다는 설명은 옳다.
• 액상화로 비탈면의 횡방향 이동(측방유동)과 사면파괴가 일어날 수 있다는 설명은 옳다.

선단지지력과 주면마찰력을 더해 안전율 3으로 나누면 허용지지력은 $174.4\ \mathrm{kN}$ 이다.

비배수 점착력: $c_u = \dfrac{q_u}{2} = 40\ \mathrm{kN/m^2}$
선단: $Q_p = 9c_uA_p = 9\times40\times(3\times0.2^2) = 43.2\ \mathrm{kN}$

주면: $Q_s = \alpha c_u(\pi D)L = 1\times40\times(3\times0.4)\times10 = 480\ \mathrm{kN}$
$Q_a = \dfrac{43.2+480}{3} = 174.4\ \mathrm{kN}$

• 523.2는 안전율을 적용하기 전의 극한지지력이다.
• 일축압축강도는 비배수 점착력의 2배이므로, 이를 그대로 쓰면 지지력이 과대평가된다.

수동토압상태는 연직응력은 그대로 두고 수평응력이 증가해 파괴에 이르는 상태이므로, 응력경로는 아래쪽 파괴선으로 향하는 OD이다.

$p = \dfrac{\sigma_v + \sigma_h}{2}$, $q = \dfrac{\sigma_v - \sigma_h}{2}$로 두면, 수평응력만 증가할 때 p는 증가하고 q는 같은 양만큼 감소해 오른쪽 아래 45° 방향으로 이동한다. 그림에서 오른쪽 아래로 향해 아래쪽 파괴선에 닿는 경로가 이에 해당한다.

• OA: 연직응력이 증가하는 압축 재하 경로로, 위쪽 파괴선에 도달한다.
• OB: 연직응력은 그대로 두고 수평응력이 감소하는 주동토압 경로다.
• OC: 수평응력은 그대로 두고 연직응력이 감소하는 연직 제하 경로로, 수평응력 증가에 의한 수동토압 경로가 아니다.

파괴면 각도로부터 $\phi = 30^\circ$ 를 얻고, 이를 이용하면 구속압력은 $60\ \mathrm{kN/m^2}$ 이다.

$\theta = 45^\circ + \dfrac{\phi}{2} = 60^\circ$ → $\phi = 30^\circ$

모래이므로 c = 0,
$\sigma_1 = \sigma_3\tan^2\left(45^\circ+\dfrac{\phi}{2}\right) = 3\sigma_3$
$\sigma_1 - \sigma_3 = 2\sigma_3 = 120$ → $\sigma_3 = 60\ \mathrm{kN/m^2}$

• 120은 축차응력 자체로, 구속압력과는 다른 값이다.
• 파괴 시 최대주응력은 $\sigma_1 = 180\ \mathrm{kN/m^2}$ 이므로 구속압력과 혼동하지 않아야 한다.

지하수위 하강 후 A점은 부분포화 상태가 되어 부(−)의 간극수압이 생기고 흙의 단위중량은 줄어들어, 유효응력 증가량은 약 24 $kN/m^{2}$이다.

하강 전(포화): $\gamma_{sat} = \dfrac{G_s + e}{1 + e}\gamma_w = \dfrac{3.4}{1.7} \times 10 = 20$
$\sigma' = (20 - 10) \times 2 = 20\ \mathrm{kN/m^2}$

하강 후: 0~2 m 구간 평균 포화도 0.25
$\gamma = \dfrac{2.7 + 0.25 \times 0.7}{1.7} \times 10 \approx 16.91$, $\sigma \approx 2 \times 16.91 = 33.82$
A점 포화도 0.5: $u = -0.5 \times 10 \times 2 = -10$
$\sigma' = 33.82 + 10 = 43.82\ \mathrm{kN/m^2}$

증가량: $43.82 - 20 = 23.82 \approx 24\ \mathrm{kN/m^2}$

• 30: 단위중량을 포화상태 그대로 두고 부의 간극수압만 반영한 값으로, 포화도 감소에 따른 단위중량 감소를 빠뜨렸다.
• 26: 포화도 선형 분포로 계산한 결과와 맞지 않는다.
• 28: 포화도 선형 분포로 계산한 결과와 맞지 않는다.

안정수 정의식에서 연직 굴착 한계깊이는 약 8.33 m 이다.

Taylor 안정수 $N_s = \dfrac{c_u}{\gamma H_c}$ 이므로 $H_c = \dfrac{c_u}{\gamma N_s}$

안전율 1을 적용하면
$H_c = \dfrac{25}{15\times0.2} = \dfrac{25}{3} \approx 8.33\ \mathrm{m}$

• 1.67은 안정수를 빼고 $\dfrac{c_u}{\gamma}$ 만 계산한 값이다.
• 안정수를 분모가 아닌 분자에 두면 한계깊이가 1 m 미만으로 지나치게 작아진다.

현재 포화도가 $\dfrac{2}{3}$ 이므로 완전 포화 시 간극수 중량은 1.5배가 된다.

$Se = wG_s$ → $S = \dfrac{0.2\times2.7}{0.81} = \dfrac{2}{3}$

간극 부피와 흙 입자량은 그대로이므로 간극수 중량은 포화도에 비례한다.
$\dfrac{W_1}{W_0} = \dfrac{1}{S} = 1.5$

• 포화 함수비로 검산하면 $w_{sat} = \dfrac{e}{G_s} = \dfrac{0.81}{2.7} = 0.3$, $\dfrac{0.3}{0.2} = 1.5$ 로 같다.
• 비어 있는 간극은 전체의 1/3이므로 추가되는 물은 현재 양의 절반이다.

모래지반 지표면 기초는 지지력식에서 폭 항만 남으므로, 폭을 2배로 하면 극한지지력은 $120\ \mathrm{kN}$ 이 된다.

모래(c = 0), 지표면 설치(q = 0)이므로 $q_u = \dfrac{1}{2}B\gamma N_\gamma$ 로, 단위면적당 지지력이 B에 비례한다.

총 지지력 $Q_u = q_u\times B\times L \propto B^2$
$Q_u = 30\times\left(\dfrac{6}{3}\right)^2 = 120\ \mathrm{kN}$

• 60은 단위면적당 지지력 증가와 기초 면적 증가 중 한 가지만 반영한 값이다.
• 30은 폭 변화를 전혀 반영하지 않은 값이다.